三线合一在解几中的应用讲义 高三数学一轮复习

三线合一的顶级作用空间立体几何八大垂直中的第一个模型就是等腰三角形的三线合一，见到等腰连中线，见到长度相等想等腰，构造等腰三角形，再取中线即可。那在解析几何中的地位又如何呢？超然也是排在了重要地位之上，解析几何也就是解析（坐标运算）+几何（平面几何），明显的发现三线合一要体现出来，但是试题中往往不会直接给出的，需要自己去构造、去联想，从而用上，再去求解。下面以两道模拟题目为例说明：例1（2020·湖南长沙·长郡中学校考二模改编）已知，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，且在轴的左侧，过点作的角平分线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则，.试题分析：题目中没有图像，首先做出图像来，发现角平分线+垂线，这就是明显的三线合一，从而需要延长交于点Q，结合原点为的天然中点，就根据中位线得到的长，则后续问题就是考查椭圆的定义问题。解析如图，延长，相交于点，由题意知：，且平分，，为的中点，为的中点，，.由椭圆定义知：，，，又，，，.故答案为：；.变式1：已知，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，且在轴的左侧过点作的角平分线的垂线，垂足为，若（为坐标原点）则等于（

）A．4 B．2 C． D．解析：延长交的延长线于点,作图如下：因为为的角平分线，且，所以，所以，因为分别为的中点，所以为的中位线，所以，所以.故选：A2．已知O为坐标原点，双曲线C：的左右焦点分别为，，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则b＝（

）A． B． C．1 D．2【解析】设半焦距为，延长交于点，连接，

由于是的平分线，，所以是等腰三角形，所以，且是的中点.根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点，所以是的中位线，所以，又双曲线的离心率为，故，所以，所以.故选：C.3．（2022上·河南新乡·高三统考期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点P在该双曲线的右支上，且，过点作的角平分线的垂线，垂足为A．若，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【解析】如图，延长并交于点B，由平分，且，可得，由，可得．又，，所以，故，，在中，，整理得，即，解得，即该双曲线的离心率为．故选：C4．（原创题）已知O为坐标原点，双曲线C：的左右焦点分别为，，直线与C的右支交于一点P，过作的平分线的垂线，垂足是M，则（

）A． B． C． D．【解析】延长交于点，连接，

由于是的平分线，，所以是等腰三角形，所以，且是的中点.根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点，所以是的中位线，所以，又直线过双曲线C的左焦点，故,可知，在中，所以.故选：C.例2(2022·湖南雅礼中学二模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若C与直线y=x有交点,且双曲线上存在不是顶点的P,使得∠PF2F1=3∠PF试题分析：本题难点∠PF2F1=3∠PF1F2，如何去处理联想到初中的内容构造等角方法，这是23年上半年给思宇讲题时想出来的方法，如何出现等角，就是结合等腰三角形的低角相等，从而构造等腰三角形，做大角还是小角的等角，正常应该造小角的等角，从而作线段的中垂线，也就是y轴，从而题目立刻变成了两个等角的问题，从而结合定义，答案立得.解析：双曲线C与直线y=x有交点,则ba>1,b2a2=双曲线上存在不是顶点的P,使得∠PF2F1=3∠PF1F2,则点P在右支上.设PF1与y轴交于点Q,由对称性|QF1|=|QF2|,所以∠QF1F2=∠QF2F1,所以∠PF2Q=∠PF2F1-∠QF2F1=2∠PF1F2=∠PQF2,所以|PQ|=|PF2|,所以|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PQ|=|QF1|=2a.由|QF1|>|OF1|得2a>c,所以e=ca<2又在△PF1F2中,∠PF1F2+∠PF2F1=4∠PF1F2<180°,∠PF1F2<45°,所以c2a=cos∠PF1F2>22,即e=ca>2解题后的野路子猜题收获：两道题目都是特殊的情况，例1是最后一个直角三角形，例2中e的范围为2<e<2，正常也可以猜得右侧为2，当然这只是一种猜测，也可以不正确，一个可能的答案方式.变式：已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点，满足且，求的值．【解析】椭圆C：的顶点，，如图，

由整理得，则，即，设直线PA，PB的斜率分别为，，则，于是有，设，则，，即有，则，，解得，则，而，解得，在中，由正弦定理得，所以．反思：改题与前面的例题看着及其相似，也是构造等角的模型，但是构造等角后发现只是出现了三角形的相似，也出现了∠B的角平分线，但是没法正确的应用上，考虑其原因是A、B两点是顶点而不是焦点，故而没法利用第一定义，从而考虑的是第三定义，从而问题顺利转化为斜率问题，此时就与条件中的二倍角建立关系，从而结合正弦定理，问题得解.所犯错误究其原因，还是盲目自大，一味的想当然，导致问题无法解决，从而出现卡脖.变式2：（2023上·山东·高三校联考开学考试）如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的