2021-2022学年辽宁省朝阳市育英高考补习学校高一（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年辽宁省朝阳市育英高考补习学校高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜﹣1或x＞4}，B＝{x|﹣2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为（）A．{x|﹣2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4} C．{x|﹣2≤x≤﹣1} D．{x|﹣1≤x≤3}2．（5分）已知命题p：“∀x∈R，|x﹣1|＞0”，则￢p为（）A．∃x∈R，|x﹣1|≤0 B．∀x∈R，|x﹣1|＜0 C．∃x∈R，|x﹣1|＜0 D．∀x∈R，|x﹣1|≤03．（5分）使不等式|x|≤2成立的一个必要不充分条件是（）A．|x+1|≤3 B．|x+1|≤2 C．log2（x+1）≤1 D．4．（5分）记a＝log2，b＝20.1，c＝log32，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a5．（5分）函数f（x）＝的图象大致是（）A． B． C． D．6．（5分）函数f（x）＝x﹣2+log2x的零点所在的一个区间是（）A．（4，5） B．（3，4） C．（2，3） D．（1，2）7．（5分）2021年4月13日，日本政府不顾国内外的质疑和反对，单方面决定以排海的方式处置福岛核电站事故的核污水，这种极不负责任的做法将严重损害国际公共健康安全和周边国家人民的切身利益．福岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知3H的质量M（kg）随时间t（年）的指数衰减规律是：M＝M0•2﹣0.008t（其中M0为3H的初始质量）．则当3H的质量衰减为最初的时，所经过的时间为（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．125年 B．175年 C．255年 D．1050年8．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．若实数a满足f（log2a）+f（）≤2f（2），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．（0，4] C． D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）下列函数中，是偶函数，且在区间（0，1）上为增函数的是（）A．y＝|x| B．y＝1﹣x2 C．y＝﹣ D．y＝2x2+4（多选）10．（5分）已知函数y＝f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x（x﹣1），则下列说法正确的是（）A．函数y＝f（x）有2个零点 B．当x＜0时，f（x）＝﹣x（x+1） C．不等式f（x）＜0的解集是（0，1） D．∀x1，x2∈[﹣1，1]，都有（多选）11．（5分）若ca＜cb＜c，0＜c＜1，则（）A．ac＜bc B．abc＞bac C．ln（a2+1）＞ln（b2+1） D．logac＜logbc（多选）12．（5分）[x]表示不大于x的最大整数，设函数f（x）＝[x]﹣[﹣x]（）A．f（x）为增函数 B．f（x）为奇函数 C．[f（x）]＝f（x） D．f（x+1）﹣f（x）＝2三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域为．14．（5分）已知a，b∈R+，且2a+b＝ab，则a+b的最小值为．15．（5分）若函数y＝ax（a＞0，且a≠1）在[2，3]上的最大值比最小值大，则a＝．16．（5分）已知函数，若方程f（x）＝m有三个不同的根分别设为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则的取值范围为．四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）；（2）已知x+x﹣1＝4（0＜x＜1），求．18．（12分）已知集合A＝{x|m﹣1＜x＜m2+1}，B＝{x|x2﹣4＜0}．（1）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19．（12分）已知幂函数f（x）＝x，（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是增函数．函数g（x）＝（log2x）2﹣log4xm，x∈[1，]．（1）求m的值；（2）求g（x）的最小值．20．（12分）已知函数f（x）＝log2（x2﹣2x+a）的定义域是R．（1）求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式a﹣3x﹣11＜．21．（12分）已知函数f（x）＝2x﹣a•2﹣x．（1）若f（x）为偶函数，求f（x）的最小值；（2）当a＞0时，判断f（x）的单调性（不用证明），并借助判断的结论求关于x的不等式f（log2a﹣x）+f（2﹣x2）＞0的解集．22．（12分）已知函数f（x）＝log2（+ax），g（x）＝mx2﹣（m2﹣3）x+m．（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若a＞0，函数y＝f（x）为奇函数，且对任意x1∈（0，+∞），存在x2∈[0，1]，使得f（x2）＜g（x1），求实数m的取值范围．

2021-2022学年辽宁省朝阳市育英高考补习学校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜﹣1或x＞4}，B＝{x|﹣2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为（）A．{x|﹣2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4} C．{x|﹣2≤x≤﹣1} D．{x|﹣1≤x≤3}【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B当不属于A的元素构成，所以用集合表示为B∩（∁UA）．则∁UA＝{x|﹣1≤x≤4}，则B∩（∁UA）＝{x|﹣1≤x≤3}，故选：D．【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．2．（5分）已知命题p：“∀x∈R，|x﹣1|＞0”，则￢p为（）A．∃x∈R，|x﹣1|≤0 B．∀x∈R，|x﹣1|＜0 C．∃x∈R，|x﹣1|＜0 D．∀x∈R，|x﹣1|≤0【分析】根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，命题p：“∀x∈R，|x﹣1|＞0”是全称命题，其否定为：∃x∈R，|x﹣1|≤0，故选：A．【点评】本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．3．（5分）使不等式|x|≤2成立的一个必要不充分条件是（）A．|x+1|≤3 B．|x+1|≤2 C．log2（x+1）≤1 D．【分析】根据题意，求出不等式|x|≤2的解集，依次求出选项中不等式的解集，分析其是不是不等式|x|≤2成立的必要不充分条件，即可得答案．【解答】解：根据题意，不等式|x|≤2即﹣2≤x≤2，不等式的解集为[﹣2，2]；依次分析选项：对于A，|x+1|≤3⇔﹣4≤x≤2，不等式的解集为[﹣4，2]，是不等式|x|≤2成立的必要不充分条件，符合题意；对于B，|x+1|≤2⇔﹣3≤x≤1，不等式的解集为[﹣3，1]，不是使不等式|x|≤2成立的必要不充分条件，不符合题意；对于C，log2（x+1）≤1，解可得﹣1＜x≤1，即不等式的解集为（﹣1，1]，是不等式|x|≤2成立的充分不必要条件，不符合题意；对于D，≥，变形可得，解可得﹣2≤x＜0或0＜x≤2，即不等式的解集为[﹣2，0）∪（0，2]，是不等式|x|≤2成立的充分不必要条件，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及不等式的解法，属于基础题．4．（5分）记a＝log2，b＝20.1，c＝log32，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵，∴a＜0，∵20.1＞20＝1，∴b＞1，∵0＝log31＜log32＜log33＝1，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b，故选：B．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5．（5分）函数f（x）＝的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用当x＞0时，f（x）＞0进行判断即可．【解答】解：f（﹣x）＝＝﹣f（x），即f（x）是奇函数，排除A，C，当x＞0时，f（x）＞0恒成立，排除B，故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性是解决本题的关键，是基础题．6．（5分）函数f（x）＝x﹣2+log2x的零点所在的一个区间是（）A．（4，5） B．（3，4） C．（2，3） D．（1，2）【分析】由函数解析式，判断f（1）f（2）＜0，由零点的存在性定理进行分析求解即可．【解答】解：因为f（x）＝x﹣2+log2x，所以f（1）＝1﹣2+log21＝﹣1＜0，f（2）＝2﹣2+log22＝1＞0，所以f（1）f（2）＜0，由零点的存在性定理可得，函数f（x）＝x﹣2+log2x的零点所在的一个区间是（1，2）．故选：D．【点评】本题考查了函数零点的问题，主要考查了函数零点的存在性定理的应用，属于基础题．7．（5分）2021年4月13日，日本政府不顾国内外的质疑和反对，单方面决定以排海的方式处置福岛核电站事故的核污水，这种极不负责任的做法将严重损害国际公共健康安全和周边国家人民的切身利益．福岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知3H的质量M（kg）随时间t（年）的指数衰减规律是：M＝M0•2﹣0.008t（其中M0为3H的初始质量）．则当3H的质量衰减为最初的时，所经过的时间为（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．125年 B．175年 C．255年 D．1050年【分析】由题意可知，M＝M0•2﹣0.008t＝，再结合对数函数的公式，即可求解．【解答】解：由题意可知，M＝M0•2﹣0.008t＝，则，两边取对数，即﹣0.008t•lg2＝lg3﹣3lg2，∴（3﹣0.008t）lg2＝lg3，∵lg2≈0.30，lg3≈0.48，∴3﹣0.008t＝，解得t≈175．故选：B．【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．若实数a满足f（log2a）+f（）≤2f（2），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．（0，4] C． D．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．【解答】解：∵f（x）是定义域为R上的偶函数，∴不等式，等价为2f（log2a）≤2f（2），即f（log2a）≤f（2），则f（|log2a|）≤f（2），∵在区间[0，+∞）上是单调递增函数，∴|log2a|≤2，即﹣2≤log2a≤2，解得≤a≤4，故选：D．【点评】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性之间的关系以及对数的运算性质是解决本题的关键．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）下列函数中，是偶函数，且在区间（0，1）上为增函数的是（）A．y＝|x| B．y＝1﹣x2 C．y＝﹣ D．y＝2x2+4【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝|x|，是偶函数，且在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；对于B，y＝1﹣x2，是二次函数，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；对于C，y＝﹣，是反比例函数，是奇函数，不符合题意；对于D，y＝2x2+4，为二次函数，是偶函数且在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；故选：AD．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．（多选）10．（5分）已知函数y＝f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x（x﹣1），则下列说法正确的是（）A．函数y＝f（x）有2个零点 B．当x＜0时，f（x）＝﹣x（x+1） C．不等式f（x）＜0的解集是（0，1） D．∀x1，x2∈[﹣1，1]，都有【分析】由奇函数的定义可得f（x）的零点为0，﹣1，1，可判断A；由奇函数的定义可得x＜0时，﹣x＞0，代入已知解析式可得，f（x）的解析式，可判断B；讨论x＜0，x＞0时，f（x）＜0的解集，可判断C；分别求得f（x）在0＜x≤1，﹣1≤x＜0的值域，可得f（x）的最值，可判断D．【解答】解：函数y＝f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x（x﹣1），可得f（0）＝0，f（1）＝0，f（﹣1）＝0，所以函数y＝f（x）有3个零点，故A错误；当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣x（﹣x﹣1）＝﹣f（x），则x＜0时，f（x）＝﹣x（x+1），故B正确；当x＞0时，由f（x）＜0，解得0＜x＜1，当x＜0时，由f（x）＜0，解得x＞0或x＜﹣1，即x∈∅，所以f（x）＜0的解集为（0，1），故C正确；当0＜x≤1时，f（x）＝x（x﹣1）的最小值为f（）＝﹣，所以当﹣1≤x＜0时，f（x）的最大值为，即有f（x）在[﹣1，1]的值域为[﹣，]，则|f（x1）﹣f（x2）|≤﹣（﹣）＝，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查命题的真假判断，主要是函数的奇偶性和解析式的求法、最值的判断，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．（多选）11．（5分）若ca＜cb＜c，0＜c＜1，则（）A．ac＜bc B．abc＞bac C．ln（a2+1）＞ln（b2+1） D．logac＜logbc【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性，结合比较法、对数的换底公式进行判断即可．【解答】解：因为ca＜cb＜c，0＜c＜1，所以a＞b＞1，对于A，因为a＞b＞1，所以＞1，又因为0＜c＜1，所以＞1⇒＞1⇒ac＞bc，因此A错误；对于B，因为0＜c＜1，所以0＜1﹣c＜1，因为a＞b＞1，所以＝＞1⇒abc＞bac，因此B正确；对于C，因为a＞b＞1，所以a2＞b2＞1，可得a2+1＞b2+1＞2，所以ln（a2+1）＞ln（b2+1），故C正确；对于D，logac﹣logbc＝﹣＝，因为a＞b＞1，0＜c＜1，所以lga＞0，lgb＞0，lgb＜lga，lgc＜0，即＞0⇒logac﹣logbc＞0⇒logac＞logbc，因此D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，考查函数思想与逻辑推理能力，属于中档题．（多选）12．（5分）[x]表示不大于x的最大整数，设函数f（x）＝[x]﹣[﹣x]（）A．f（x）为增函数 B．f（x）为奇函数 C．[f（x）]＝f（x） D．f（x+1）﹣f（x）＝2【分析】根据题意，将函数的解析式写出分段函数的性质，依次分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝[x]﹣[﹣x]＝，依次分析选项：对于A，由函数解析式，f（x）不是增函数，A错误，对于B，f（x）的定义域为R，且f（﹣x）＝[﹣x]﹣[x]＝﹣（[x]﹣[﹣x]）＝﹣f（x），为奇函数，B正确，对于C，f（x）的函数值为整数，则[f（x）]＝f（x），C正确，对于D，由函数的解析式，f（x+1）﹣f（x）＝2正确，故选：BCD．【点评】本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数奇偶性、单调性的性质以及应用，属于基础题．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域为（2，3）．【分析】由根号内大于等于0，分母不等于0，真数大于0，计算即可．【解答】解：由题意有，解得2＜x＜3，即定义域为（2，3）．故答案为：（2，3）．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题．14．（5分）已知a，b∈R+，且2a+b＝ab，则a+b的最小值为2+3．【分析】由已知可得＝1，然后利用“1”的代换以及基本不等式即可求解．【解答】解：因为a，b∈R+，且2a+b＝ab，所以＝1，所以a+b＝（a+b）（）＝3+，当且仅当，即a＝时取等号，此时a+b的最小值为3+2，故答案为：3+2．【点评】本题考查了基本不等式的应用，涉及到“1”的代换，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．15．（5分）若函数y＝ax（a＞0，且a≠1）在[2，3]上的最大值比最小值大，则a＝或．【分析】分类讨论a的范围，利用指数函数的单调性，求得a的值．【解答】解：∵函数y＝ax（a＞0，且a≠1），在[2，3]上的最大值比最小值大，当a＞1时，函数为增函数，∴a3﹣a2＝，求得a＝；当0＜a＜1时，函数为减函数，∴a2﹣a3＝，求得a＝，故答案为：或．【点评】本题主要考查指数函数的单调性，属于基础题．16．（5分）已知函数，若方程f（x）＝m有三个不同的根分别设为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则的取值范围为（1，2]．【分析】结合方程f（x）＝m有三个不同的实数根，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，结合函数f（x）的图象，易知0＜m≤1；1＜x3≤2，x1+x2＝0，从而求得结论．【解答】解：画出函数，y＝m的图象如下，因为x1＜x2＜x3，易知0＜m≤1；1＜x3≤2，x1+x2＝0，故＝x3∈（1，2]．故答案为：（1，2]．【点评】本题考查了分段的函数的应用及数形结合的思想应用，同时考查了韦达定理的应用．属中档题．四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）；（2）已知x+x﹣1＝4（0＜x＜1），求．【分析】（1）根据对数的运算性质计算即可；（2）先求出x﹣x﹣1，即可求得x2﹣x﹣2，根据，即可求得，进而可得出答案．【解答】解：（1）原式＝；（2）因为x2﹣x﹣2＝（x+x﹣1）（x﹣x﹣1）＝4（x﹣x﹣1），所以（x﹣x﹣1）2＝（x+x﹣1）2﹣4＝12，因为0＜x＜1，则x＜x﹣1，所以，所以，又因为，所以，所以．【点评】本题主要考查对数、指数的运算性质，属于基础题．18．（12分）已知集合A＝{x|m﹣1＜x＜m2+1}，B＝{x|x2﹣4＜0}．（1）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）由A∩B＝∅，可能有以下几种情况：A＝∅，A≠∅时，可能m2+1≤﹣2，或2≤m﹣1，进而得出实数m的取值范围．（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，可得A⫋B，进而得出实数m的取值范围．【解答】解：（1）集合A＝{x|m﹣1＜x＜m2+1}，B＝{x|x2﹣4＜0}＝（﹣2，2）．由A∩B＝∅，可能有以下几种情况：A＝∅，则m﹣1≥m2+1，m2﹣m+2≤0，解集为空集，此种情况不可能；A≠∅时，可能m2+1≤﹣2，或2≤m﹣1，解得：m∈∅，或m≥3．综上可得：实数m的取值范围是[3，+∞）．（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⫋B，∴，等号不能同时成立，解得：﹣1＜m≤1，∴实数m的取值范围是（﹣1，1]．【点评】本题考查了不等式的解法、集合之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19．（12分）已知幂函数f（x）＝x，（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是增函数．函数g（x）＝（log2x）2﹣log4xm，x∈[1，]．（1）求m的值；（2）求g（x）的最小值．【分析】（1）由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值．（2）令t＝log2x，根据x∈[1，]，求得t∈[0，]，故g（x）＝h（t）＝t2﹣，利用二次函数的性质，求出它的最小值．【解答】解：（1）∵已知幂函数f（x）＝x，（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是增函数，∴﹣m2+2m+3＞0且﹣m2+2m+3为偶数，即﹣1＜m＜3且﹣m2+2m+3为偶数，故m＝1，f（x）＝x4．（2）函数g（x）＝（log2x）2﹣log4xm＝（log2x）2﹣log4x1＝（log2x）2﹣log2x，令t＝log2x，∵x∈[1，]，∴t∈[0，]，故g（x）＝h（t）＝t2﹣t＝﹣，故当t＝时，g（x）有最小值为﹣．【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，二次函数的性质，属于基础题．20．（12分）已知函数f（x）＝log2（x2﹣2x+a）的定义域是R．（1）求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式a﹣3x﹣11＜．【分析】（1）转换成x2﹣2x+a＞0恒成立来解决；（2）根据（1）可知a＞1，利用指数函数单调性即可．【解答】（1）函数f（x）＝log2（x2﹣2x+a）的定义域是R．∴x2﹣2x+a＞0恒成立，则Δ＝4﹣4a＜0，解得a＞1，∴实数a的取值范围是（1，+∞）；（2）a﹣3x﹣11＜，即a﹣3x﹣11＜a﹣2，∵a＞1，∴﹣3x﹣11＜﹣2，解得x＞﹣3，故不等式a﹣3x﹣11＜的解集为（﹣3，+∞）．【点评】本题考查函数的性质，属于基础题．21．（12分）已知函数f（x）＝2x﹣a•2﹣x．（1）若f（x）为偶函数，求f（x）的最小值；（2）当a＞0时，判断f（x）的单调性（不用证明），并借助判断的结论求关于x的不等式f（log2a﹣x）+f（2﹣x2）＞0的解集．【分析】（1）利用偶函数的定义即可求解a，再根据基本不等式可得最小值；（2）通过单调性性可知f（x）单调递增，即可脱去“f”，从而求解不等式的解集．【解答】解：（1）函数f（x）＝2x﹣a•2﹣x．f（x）为偶函数，可得f（﹣x）﹣f（x）＝0，即2x﹣a•2﹣x﹣2﹣x+a•2x＝0，可得（2x﹣2﹣x）（a+1）＝0可得a＝﹣1，那么f（x）＝2x+•2﹣x．令t＝2x（t＞0），则y＝（当且仅当t＝1，即x＝0时取等号）．∴f（x）的最小值为2；（2）令m＝2x（m＞0）单调递增函数，则g