上海中学、复旦附中等八校2024届高一数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析

上海中学、复旦附中等八校2024届高一数学第二学期期末综合测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（）A．7 B．6 C．5 D．92．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3，6，10记为数列，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列，可以推测:（）A．1225 B．1275 C．2017 D．20183．设，满足约束条件，则目标函数的最大值是（）A．3 B． C．1 D．4．已知数列的前项和为，且，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知，则比多了几项（）A．1 B． C． D．6．已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°.则球O的体积为（）A． B． C． D．7．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①②③与为异面直线④以上四个命题中，正确的序号是（）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④8．已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（）A． B． C． D．49．在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为()A． B． C． D．10．函数（）的部分图象如图所示，其中是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是______.12．在中，角所对的边分别为，若，则=______．13．若角的终边过点，则______.14．在直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义：，称“”为“的正余弦函数”，若，则_________．15．若把写成的形式，则______.16．若满足约束条件，则的最小值为_________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）求在区间上的最值.18．甲乙两地生产某种产品，他们可以调出的数量分别为300吨、750吨.A，B，C三地需要该产品数量分别为200吨，450吨，400吨，甲地运往A，B，C三地的费用分别为6元/吨、3元/吨，5元/吨，乙地运往A，B，C三地的费用分别为5元/吨，9元/吨，6元/吨，问怎样调运，才能使总运费最小？19．已知向量满足，且向量与的夹角为.（1）求的值；（2）求.20．设数列的前项和为，点均在函数的图像上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.21．四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，为正三角形．（1）证明．（2）若，，求二面角的大小的余弦值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

由,可得成等比数列，即有＝4；讨论成等差数列或成等差数列，运用中项的性质，解方程可得，即可得到所求和．【题目详解】由，可得成等比数列，即有＝4，①若成等差数列，可得，②由①②可得，1；若成等差数列，可得，③由①③可得，1．综上可得1．故选：C．【题目点拨】本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题．2、A【解题分析】

通过寻找规律以及数列求和，可得，然后计算，可得结果.【题目详解】根据题意可知：则由…可得所以故选：A【题目点拨】本题考查不完全归纳法的应用，本题难点在于找到，属难题，3、C【解题分析】

作出不等式组对应的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数的最大值．【题目详解】作出不等式组对应的平面区域，如阴影部分所示；平移直线，由图像可知当直线经过点时，最大．，解得，即，所以的最大值为1．故答案为选C【题目点拨】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划，也考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题．4、B【解题分析】即对任意都成立，当时，当时，当时，归纳得：故选点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列的前项和为，为求的取值范围则根据为奇数和为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果5、D【解题分析】

由写出，比较两个等式得多了几项.【题目详解】由题意，则，那么：，又比多了项.故选：D.【题目点拨】本题考查对函数的理解和带值计算问题，属于基础题.6、D【解题分析】

计算可知三棱锥P－ABC的三条侧棱互相垂直，可得球O是以PA为棱的正方体的外接球，球的直径，即可求出球O的体积.【题目详解】在△PAC中，设，，，，因为点E，F分别是PA，AB的中点，所以，在△PAC中，，在△EAC中，，整理得，因为△ABC是边长为的正三角形，所以，又因为∠CEF=90°，所以，所以，所以.又因为△ABC是边长为的正三角形，所以PA,PB,PC两两垂直，则球O是以PA为棱的正方体的外接球，则球的直径，所以外接球O的体积为.故选D.【题目点拨】本题考查了三棱锥的外接球，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.7、D【解题分析】

作出直观图,根据正方体的结构特征进行判断.【题目详解】作出正方体得到直观图如图所示:由直观图可知,与为互相垂直的异面直线,故①不正确;,故②正确;与为异面直线,故③正确;由正方体性质可知平面,故,故④正确.故选:D【题目点拨】本题考查了正方体的结构特征,直线,平面的平行于垂直,属于基础题.8、A【解题分析】本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知==，所以应选A．9、A【解题分析】由题意，可以点为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点的坐标分别为，直线的方程为，不妨设点的坐标分别为，，不妨设，由，所以，整理得，则，即，所以当时，有最小值，当时，有最大值.故选A.点睛：此题主要考查了向量数量积的坐标运算，以及直线方程和两点间距离的计算等方面的知识与技能，还有坐标法的运用等，属于中高档题，也是常考考点.根据题意，把运动（即的位置在变）中不变的因素（）找出来，通过坐标法建立合理的直角坐标系，把点的坐标表示出来，再通过向量的坐标运算，列出式子，讨论其最值，从而问题可得解.10、D【解题分析】函数的周期为，四分之一周期为，而函数的最大值为，故，由余弦定理得，故.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

令，可得，从而将问题转化为和的图象有两个不同交点，作出图形，可求出答案.【题目详解】由题意，令，则，则和的图象有两个不同交点，作出的图象，如下图，是过点的直线，当直线斜率时，和的图象有两个交点.故答案为：.【题目点拨】本题考查函数零点问题，考查函数图象的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.12、【解题分析】根据正弦定理得13、-2【解题分析】

由正切函数定义计算.【题目详解】根据正切函数定义：.故答案为－2.【题目点拨】本题考查三角函数的定义，掌握三角函数定义是解题基础.14、【解题分析】试题分析：根据正余弦函数的定义，令，则可以得出，即.可以得出，解得，.那么，，所以故本题正确答案为.考点：三角函数的概念.15、【解题分析】

将角度化成弧度，再用象限角的表示方法求解即可．【题目详解】解：．故答案为：．【题目点拨】本题考查弧度与角度的互化，象限角的表示，属于基础题．16、3【解题分析】

在平面直角坐标系内，画出可行解域，平行移动直线，在可行解域内，找到直线在纵轴上截距最小时所经过点的坐标，代入目标函数中，求出目标函数的最小值.【题目详解】在平面直角坐标系中，约束条件所表示的平面区域如下图所示：当直线经过点时，直线纵轴上截距最小，解方程组，因此点坐标为，所以的最小值为.【题目点拨】本题考查了线性目标函数最小值问题，正确画出可行解域是解题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）最大值为，最小值为.【解题分析】

（1）利用两角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式将函数的解析式化简为，然后解不等式可得出函数的单调递增区间；（2）由，可计算出，然后由余弦函数的基本性质可求出函数在区间上的最大值和最小值.【题目详解】（1），解不等式，得，因此，函数的单调递增区间为；（2）当时，.当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值.【题目点拨】本题考查三角函数单调区间以及在定区间上最值的求解，解题时要利用三角恒等变换思想将三角函数的解析式化简，并借助正弦函数或余弦函数的基本性质进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18、甲到B调运300吨，从乙到A调运200吨，从乙到B调运150吨，从乙到C调运400吨，总运费最小【解题分析】

设从甲到A调运吨，从甲到B调运吨，则由题设可得，总的费用为，利用线性规划可求目标函数的最小值.【题目详解】设从甲到A调运吨，从甲到B调运吨，从甲到C调运吨，则从乙到A调运吨，从乙到B调运吨，从乙到C调运吨，设调运的总费用为元，则.由已知得约束条件为，可行域如图所示，平移直线可得最优解为.甲到B调运300吨，从乙到A调运200吨，从乙到B调运150吨，从乙到C调运400吨，总运费最小.【题目点拨】本题考查线性规划在实际问题中的应用，属于基础题.19、（1）（2）【解题分析】

（1）根据，得到，再由题中数据，即可求出结果；（2）根据向量数量积的运算法则，以及（1）的结果，即可得出结果.【题目详解】解：（1）因为，所以，即.因为，且向量与的夹角为，所以，即.（2）由（1）可得.【题目点拨】本题主要考查平面向量的数量积，熟记模的计算公式，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.20、（Ⅰ）（Ⅱ）10【解题分析】

解：（I）依题意得，即．当n≥2时，;当所以．（II）由（I）得，故=．因此，使得<成立的m必须满足，故满足要求的最小正整数m为10.21、（1）证明见解析．（2）二面角的余弦值为．【解题分析】

（1）作于点，连接，根据面面垂直性质可得底面ABCD，由三角形全等性质可得，进而根据线面垂直判定定理证明平面，即可证明.（2）根据所给角度和线段关系，可证明以均为等边三角形，从而取中点，连接，即可由线段长结合余弦定理求得二面角的大小.【题目详解】（1）证明：作于点，连接，如下