广东省东莞市重点中学2023-2024学年高三第一次模拟考试数学试卷

东莞重点中学2023-2024年高三第一次模拟考试（新课标Ⅰ卷）数学

试卷类型：A本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（本题5分）已知集合，，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（本题5分）已知复数满足，，若为纯虚数，则（

）A．0 B． C．1 D．23．（本题5分）在中，，，，则（

）A． B．16 C． D．94．（本题5分）在斜中，若，则（

）A．1 B． C． D．25．（本题5分）已知等差数列与等差数列的前项和分别为与,且,则（

）A． B． C． D．6．（本题5分）中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（

）．A．20% B．23% C．28% D．50%7．（本题5分）若直线与圆及圆共有3个公共点，则所有符合条件的a的和为（

）A．0 B． C． D．8．（本题5分）已知，则（

）A． B．C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（本题5分）小明参加唱歌比赛，现场8位评委给分分别为:15，16，18，20，20，22，24，25.按比赛规则，计算选手最后得分成绩时，要先去掉评委给分中的最高分和最低分.现去掉这组得分中的最高分和最低分后，下列数字特征的值不会发生变化的是（

）A．平均数 B．极差 C．中位数 D．众数10．（本题5分）已知函数在处取得最大值2，的最小正周期为，将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度得到的图象，则下列结论正确的是（

）A．是图象的一条对称轴 B．C．是奇函数 D．方程有3个实数解11．（本题5分）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为底面内的一动点（含边界），则下列说法正确的是（

）A．过点，，的平面截正方体所得的截面周长为B．存在点，使得平面C．若平面，则动点的轨迹长度为D．当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为12．（本题5分）已知为双曲线上一点，为其左右焦点，则（

）A．若，则的面积为B．若，则的周长为C．双曲线上存在一点，使得成等差数列D．有最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（本题5分）设的小数部分为，则.14．（本题5分）设为等差数列的前项和，且，则．15．（本题5分）已知椭圆与双曲线（，）具有相同的左、右焦点、，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为.16．（本题5分）已知函数（），若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题10分）从下列条件中选择一个条件补充到题目中：①，其中为的面积，②，③．在中，角，，对应边分别为，，，_______________．(1)求角；(2)若为边的中点，，求的最大值．18．（本题12分）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若，求的前1012项和．19．（本题12分）如图，在直三柱中，，分别为，的中点．

(1)若，求的值；(2)求与平面所成角的正弦值．20．（本题12分）春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A、B、C三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A中奖的概率是，项目B和C中奖的概率都是.(1)若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A、B、C三个项目，如果A、B、C三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券.求每位顾客获得奖券金额的期望；(2)若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目.已知某顾客中奖了，求他参加的是A项目的概率.21．（本题12分）已知双曲线C：（，）的右顶点为A，左焦点为F，过点F且斜率为1的直线与C的一条渐近线垂直，垂足为N，且．(1)求C的方程．(2)过点的直线交C于，两点，直线AP，AQ分别交y轴于点G，H，试问在x轴上是否存在定点T，使得？若存在，求点T的坐标；若不存在，请说明理由．22．（本题12分）设，为函数（）的两个零点．(1)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；(2)证明：．答案详解一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（本题5分）已知集合，，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用集合间的关系，建立不等式求解,注意集合B中元素的互异性．【详解】由题意得，所以由，得，解得且，所以实数的取值范围是.故选:D．2．（本题5分）已知复数满足，，若为纯虚数，则（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】A【分析】应用复数除法运算及复数分类即可求解.【详解】由，得，因为纯虚数，则，解得.故选：A3．（本题5分）在中，，，，则（

）A． B．16 C． D．9【答案】D【分析】由得，两边平方后得到，从而利用求出答案.【详解】由题意得在中，，故由，，，得，，即，即，故.故选：D.4．（本题5分）在斜中，若，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】根据给定条件，利用和角正切公式求解即得.【详解】斜中，，所以.故选：D5．（本题5分）已知等差数列与等差数列的前项和分别为与,且,则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由等差数列性质可得，由等差数列前项和公式可得、，即可令，代入计算即可得.【详解】因为数列、都是等差数列,所以,又，，故，，即有,在中，令，得，故.故选：D.6．（本题5分）中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（

）．A．20% B．23% C．28% D．50%【答案】B【分析】由已知公式，将信噪比看作整体，分别取求出相应的值，再利用对数运算性质与换底公式变形求解增加率即可.【详解】由题意，将信噪比从1000提升至5000，则最大信息传递速率从增加至，所以.故选：B.7．（本题5分）若直线与圆及圆共有3个公共点，则所有符合条件的a的和为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根据两圆的位置关系，结合图形，得要与一圆相切或过两圆的交点.【详解】，圆心，半径由，得，圆心，半径，圆心距为，，故两圆相交，直线与圆及圆共有3个公共点，情形一，与圆在下方相切时，则，得，情形二，与圆在上方相切时，则，得，情形三，过两圆的交点时，两圆相减得，代入圆得：，则两交点分别为，代入直线，得，或则所有符合条件的a的和为.故选：D8．（本题5分）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】变形a，b，构造函数比较a，b的大小，构造函数比较的大小，利用极值点偏移的方法判断的大小作答.【详解】依题意，，，令，，当时，，即，函数在上单调递减，，即，因此，令，，当时，，当时，，函数在上单调递减，，而，函数在上单调递增，显然，则方程有两个不等实根，，有，，而，则有，令，，，即函数在上单调递减，当时，，即，因此，即有，而，在上单调递增，于是得，即，取，，于是得，又，在上单调递增，从而，所以，D正确.故选：D【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.二、多选题（共20分）9．（本题5分）小明参加唱歌比赛，现场8位评委给分分别为:15，16，18，20，20，22，24，25.按比赛规则，计算选手最后得分成绩时，要先去掉评委给分中的最高分和最低分.现去掉这组得分中的最高分和最低分后，下列数字特征的值不会发生变化的是（

）A．平均数 B．极差 C．中位数 D．众数【答案】ACD【分析】根据给定的条件，利用平均数、极差、中位数、众数的意义逐一判断即可.【详解】对于A，去掉最高分和最低分之前，8个数据的平均分为，去掉最高分和最低分之后，6个数据的平均分为，A正确；对于B，去掉最高分和最低分之前，8个数据的极差为10，去掉最高分和最低分之后，6个数据的极差为8，B错误；对于C，去掉最高分和最低分之前，8个数据的中位数为20，去掉最高分和最低分之后，6个数据的中位数为20，C正确；对于D，去掉最高分和最低分之前，8个数据的众数为20，去掉最高分和最低分之后，6个数据的众数为20，D正确.故选：ACD10．（本题5分）已知函数在处取得最大值2，的最小正周期为，将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度得到的图象，则下列结论正确的是（

）A．是图象的一条对称轴 B．C．是奇函数 D．方程有3个实数解【答案】ACD【分析】由的最小正周期为，求出，由最值点和最值，求出，得的解析式，判断AB选项；由函数图象的变换，求的解析式，验证C选项，数形结合验证D选项．【详解】，其中，的最小正周期为，则有，故，函数在处取得最大值2，则，解得，则，B选项错误；函数在处取得最大值2，则是图象的一条对称轴，A选项正确；将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得函数的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得到的图象，，函数为奇函数，C选项正确；在同一直角坐标系下作出函数和函数的图象，如图所示，两个函数图象有3个交点，可知方程有3个实数解，D选项正确.故选：ACD11．（本题5分）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为底面内的一动点（含边界），则下列说法正确的是（

）A．过点，，的平面截正方体所得的截面周长为B．存在点，使得平面C．若平面，则动点的轨迹长度为D．当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为【答案】ACD【分析】取的中点，然后证明截面为，求出周长即可判断A；假设存在点F，根据，分别判断点F位置即可得到矛盾，B错误；根据平面平面即可确定动点的轨迹，可判断C；由AC判断点F位置，然后建立空间直角坐标系，利用空间两点距离公式确定球心位置，然后可判断D.【详解】A选项，如图，取的中点，连接，因为为的中点，所以，，所以过点，，的平面截正方体所得的截面为梯形，其周长为，故A选项正确；B选项，假设存在点，使得平面，则，得只能在线段上，再由，得只能在线段上，即与重合，不符合题意，故B选项错误；C选项，如图，取的中点M，的中点，连接，，，可得，，又平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又，所以平面平面，所以动点的轨迹为线段，其长度为，故C选项正确；D选项，由A，C选项可得，平面平面，所以当在点时，到平面的距离最大，此时为等边三角形，因为平面，所以三棱锥的外接球球心一定在直线上，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，由得，，解得，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故D选项正确．故选：ACD．12．（本题5分）已知为双曲线上一点，为其左右焦点，则（

）A．若，则的面积为B．若，则的周长为C．双曲线上存在一点，使得成等差数列D．有最大值【答案】BD【分析】根据题意根据双曲线定义及余弦定理，可对A、B判断求解；根据等差数列性质及双曲线定义可对C判断求解；根据双曲线定义及二次函数求最值可对D判断求解.【详解】由题意得，，，不妨设且在双曲线的右支，如图.对A、B：由双曲线定义可得，设，在中由余弦定理得：，当时，可得，解得，故A错误；当时，，解得，所以的周长为，故B正确；对于C：假设存在点，不妨设在双曲线的右支，则，所以公差，且，当三点不共线时，设则，即，又因为，所以，又因为三点不共线，所以，故此种情况不符合；当三点共线时，则，故此种情况不符合；综上所述，则假设不成立，故不存在点，故C错误.对D：，令，则，因为，所以，所以，所以的最大值为，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：对C项利用双曲线定义及几何关系得到不成立，D项中利用二次函数法求出最值.三、填空题（共20分）13．（本题5分）设的小数部分为，则.【答案】7【分析】先得到的整数部分为3，得到，利用二项式定理将其展开，求出答案.【详解】因为，所以的整数部分为3，则，即，所以，故.故答案为：714．（本题5分）设为等差数列的前项和，且，则．【答案】【分析】根据等差数列下标和的性质可得，再利用等差数列前项和公式即可求得结果.【详解】由可得，所以.故答案为：15．（本题5分）已知椭圆与双曲线（，）具有相同的左、右焦点、，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为.【答案】/【分析】根据椭圆、双曲线的定义得，结合离心率得，在中利用余弦定理得，结合椭圆性质知：当为短轴顶点时取到最大值，分析求解即可.【详解】由题设，又，直线与轴的交点的坐标为，则，中，综上，，整理得，可得或（舍），由，则，由椭圆性质知：当为短轴顶点时取到最大，此时，由，则，即，故.

故答案为：【点睛】关键点点睛：关键在于找到的两种表达方式，构造了关于的方程，从而得解.16．（本题5分）已知函数（），若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为．【答案】【分析】不等式变形为，令，，求导得到其单调性，结合特殊函数值，得到若，则或，即或，再对求导，得到其单调性和最值，得到，求出答案.【详解】不等式对恒成立，等价于，即，所以,设，其中，则，令得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，又，，所以存在使得，所以若，则或，即或，，，所以在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以，所以只有才能满足要求，即，又，解得，所以实数a的取值范围为．故答案为：【点睛】思路点睛：隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.四、解答题（共70分）17．（本题10分）从下列条件中选择一个条件补充到题目中：①，其中为的面积，②，③．在中，角，，对应边分别为，，，_______________．(1)求角；(2)若为边的中点，，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）选①，利用余弦定理可得，再结合面积公式，可得，进而求解；选②，由结合正弦定理可得，再结合余弦定理可得，进而求解；选③，由结合正弦定理可得，进而得到，进而求解.（2）在中，设，由正弦定理可得，，进而得到，进而求解.【详解】（1）选①，由余弦定理得：，又，所以，得，因为，所以．选②，因为，由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理得：，因为，所以．选③，因为，由正弦定理得：，即，又因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，即．（2）在中，设，由正弦定理得，所以，，∴，其中，当时取等号，所以的最大值是．18．（本题12分）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若，求的前1012项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解；（2）由裂项相消法可求出前1012项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，又，则，，因为成等比数列，所以，即，得，又因为是公差不为零的等差数列，所以，即.（2）由（1）知，.19．（本题12分）如图，在直三柱中，，分别为，的中点．

(1)若，求的值；(2)求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的运算法则，化简得到，结合，即可求解；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）解：由向量的线性运算法则，可得，又由，所以．（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以．设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设与平面所成的角为，可得．

20．（本题12分）春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A、B、C三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A中奖的概率是，项目B和C中奖的概率都是.(1)若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A、B、C三个项目，如果A、B、C三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券.求每位顾客获得奖券金额的期望；(2)若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目.已知某顾客中奖了，求他参加的是A项目的概率.【答案】(1)16(2)【分析】（1）根据题意先写出获得奖券金额的可能取值，再根据相互独立事件的概率乘法公式计算得出对应的概率后即可计算数学期望；（2）根据条件概率定义及计算公式计算可得.【详解】（1）设一位顾客获得元奖券，则的可能取值为100，50，0，，，，所以每位顾客获得奖券金额的期望是（元）（2）设“该顾客中奖”为事件，参加项目A，，分别记为事件，，，则，所以，即已知某顾客中奖了，则他参加的是A项目的概率是.21．（本题12分）已知双曲线C：（，）的右顶点为A，左焦点为F，过点F且斜率为1的直线与C的一条渐近线垂直，垂足为N，且．(1)求C的方程．(2)过点的直线交C于，两点，直线AP，AQ分别交y轴于点G，H，试问在x轴上是否存在定点T，使得？若存在，求点T的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）结合题意由双曲线的性质计算即可得；（2）设出直线方程后与曲线联立消去纵坐标，可得与两交点横坐标有关韦达定理，结合及G，H两点坐标计算即可得.【详解】（1）因为FN的斜率为