信号与系统ch3-连续信号正交分解33-南航

连续信号的正交分解第三章1内容正交函数集1傅里叶级数2周期信号频谱3非周期信号频谱4帕色伐尔定理与能量频谱5傅里叶变换62傅里叶变换性质引子付里叶变换与反变换，使时间函数f(t)与频谱函数F(jw)建立了相互转换的关系，一个信号既可用时域信号f(t)表示，也可在频域用F(jw)表示付里叶变换性质，进一步阐明了信号时域特性与频域特性的关系。傅里叶变换性质用途①加深对时域，频域特性的理解

②使复杂函数的变换与反变换的运算简便可行53一、线性二、延迟特性信号在时域延迟t0，在频域中所有频率分量都产生ωt0的相移，而振幅谱没有变化傅里叶变换性质4例：求f(t)的频谱函数。傅里叶变换性质5傅里叶变换性质例：求f(t)的频谱函数。幅度谱完全相同，相位谱则产生

/2

的线性相移比较门函数6傅里叶变换性质延伸7三、移频特性傅里叶变换性质例：已知求的频谱。以门函数为例，可以画出它的示意图。8傅里叶变换性质9傅里叶变换性质信号f(t)被载波cosωct调幅，则调幅信号的频谱是将f(t)频谱一分为二向左右两边各搬移ωc通信中的调制概念三、移频特性10例：求的频谱函数。解：傅里叶变换性质三、移频特性11四、尺度变换特性（时域脉宽与频域频宽成反比）扩展扩展压缩压缩傅里叶变换性质12傅里叶变换性质门函数在时域上的压缩与扩展及其频谱函数在频域的变化有一定比例关系扩展压缩四、尺度变换特性（时域脉宽与频域频宽成反比）13例：已知f(t)的频谱函数求f1(t)的频谱函数F1(jω)傅里叶变换性质四、尺度变换特性（时域脉宽与频域频宽成反比）14例：已知f(t)的频谱函数求f1(t)的频谱函数F1(jω)傅里叶变换性质四、尺度变换特性（时域脉宽与频域频宽成反比）15压缩延迟1.5τ傅里叶变换性质16傅里叶变换性质解：

例：已知f(t)的频谱函数求f1(t)的频谱函数F1(jω)四、尺度变换特性（时域频域成反比）17五、对称特性傅里叶变换性质18延伸傅里叶变换性质五、对称特性-f(t)实偶函数19傅里叶变换性质五、对称特性-f(t)实奇函数延伸20傅里叶变换性质五、对称特性延伸21例：

求频谱函数。

解：

傅里叶变换性质五、对称特性22证明：六、微分性质-时域微分性质推广到n阶导数傅里叶变换性质23六、微分性质-频域微分性质证明：推广到n阶导数傅里叶变换性质24七、卷积定理-时域卷积

时域中二个信号的卷积，在频域中等效于二个信号频谱函数的乘积傅里叶变换性质25时域中二个信号的乘积，在频域中等效于二个信号频谱函数的卷积七、卷积定理-频域卷积

傅里叶变换性质26证明：傅里叶变换性质27例：解：前面已求得求频谱函数F(jω)。傅里叶变换性质28傅里叶变换性质例：三角脉冲的频谱29八、积分性质-时域积分性质证明：傅里叶变换性质30例：求f(t)的频谱函数。

解：对f(t)进行两次微分，变为三个冲激，而冲激的傅里叶变换最容易求。然后再用时域积分性质求出f(t)的频谱函数。傅里叶变换性质31傅里叶变换性质32傅里叶变换性质例：求g(t)的频谱函数。

33傅里叶变换性质34傅里叶变换性质35傅里叶变换性质例：求g(t)的频谱函数。

36傅里叶变换性质证明：37

八、积分性质-频域积分性质傅里叶变换性质38傅里叶变换性质重要性质线性、延迟、移频、尺度变换、对称性质微分（时域、频域）、卷积定理（时域、频域）、积分性质（时域、频域）奇偶性在解题时一般很少直接使用傅里叶变换和反变换公式，而是利用少数几个常用变换对，再结合上述重要性质来求傅里叶变换和反变换39帕色伐尔定理与能量频谱周期信号和非周期信号的频谱（包括振幅谱和相位谱），是在频域中描述信号的一种方法，它反映信号所含分量的幅度和相位在频域中的分布情况。在频域中还可以用功率谱和能量谱来描述信号的特性。它反映信号的功率或能量在频域中的分布情况，这又是一种在频域中描述信号的方法。对于确定信号可表示为一个确知函数，可用频谱函数也可用能量谱或功率谱，但一般用频谱比较多。对于随机信号无法表示为确知函数，也就无法用频谱描述，因此，一般用功率谱或能量谱。640帕色伐尔定理与能量频谱瞬时功率在某一时刻的信号功率，与时间有关平均功率瞬时功率对时间的平均一般功率信号为周期信号，因此平均是在信号一周内平均。41帕色伐尔定理与能量频谱平均功率其中I，V称有效值。对于正弦电流或电压则对于一般的信号f(t)功率或能量一般是指在单位电阻上消耗的功率或能量。42帕色伐尔定理与能量频谱时域中计算信号能量和功率的计算公式由此，推导计算功率和能量公式的频域表现形式43帕色伐尔定理与能量频谱周期信号的平均功率被积函数是和式的平方运算，展开后包含因指数函数在

内正交，所以它们的积分为零。而只有

积分不等于零。等于44帕色伐尔定理与能量频谱周期信号的平均功率用分量系数计算周期信号的平均功率；信号的功率等效于各频率分量功率之和。45帕色伐尔定理与能量频谱非周期信号的能量谱该式为用频谱函数表示的能量公式。46帕色伐尔定理与能量频谱非周期信号的能量谱定义一个能量谱密度函数，研究信号能量在频域中的分布情况，其意义为单位频带中的能量，用G(ω)表示能量谱的形状与幅度谱的平方相同，而与相位无关。可见信号在时间上的移位也不影响能量谱的形状。47调幅波及其频谱调制由声音、图象等消息转换成的电信号是不能直接以电磁波的形式辐射到空间进行远距离传输的，因为这些信号的频率较低，我们常称这些信号为基带信号。音频信号：20Hz~20KHz视频信号：0~6MHz为了利用电磁波传输信号，无线电技术中采用了“调制”技术。48调幅波及其频谱调制利用一个辐射能力强的高频振荡信号作为运载工具，将基带信号调制到这个高频信号上。所谓调制就是使高频信号中的参数随基带信号的变化而变化。常见的调制一般采用正弦信号作为运载工具。A0—振幅，ωc—载频，φ0—初相位。分别对任意参数进行调制就导致不同的已调波49调幅波及其频谱调制调幅（AM:AmplitudeModulation）调频（FM:FrequencyModulation）调相（PM:PhaseModulation）A0—振幅，ωc—载频，φ0—初相位。分别对任意参数进行调制就导致不同的已调波50调幅波及其频谱调幅波若高频振荡的振幅随调制信号的变化而变化就成为调幅波。A(t)=A0+ke(t),k—为比例系数,e(t)—为调制信号。51调幅波及其频谱调幅波1、调幅系数调幅系数反映了受调制程度的深浅，用m表示。对于对称调制定义为m一般应小于1，若大于1则称为过调制，调幅波的包络将与调制信号的包络不同而产生失真假定调制信号是单一的正弦信号，即52调幅波及其频谱调幅波1、调幅系数假定调制信号是单一的正弦信号，即53调幅波及其频谱调幅波1、调幅系数如果调制信号是非正弦信号，即e(t)是有许多频率分量组成的信号，可表示为54调幅波及其频谱调幅波1、调幅系数调制信号n次谐波分量对载波的调幅系数，称部分调幅系数。55调幅波及其频谱调幅波2、调幅波的功率关系讨论单一的正弦调幅波电流在1欧姆电阻上的功率调幅波电流瞬时功率：载波功率:56调幅波及其频谱调幅波2、调幅波的功率关系调幅波在载波一周内的平均功率包络随时间变化，但与载波相比变化缓慢，所以在载波一周内可看作振幅不变的调幅信号。57调幅波及其频谱调幅波2、调幅波的功率关系峰值功率：平均功率：58调幅波及其频谱调幅波2、调幅波的功率关系主要的是指载波功率Pc、峰值功率Pmax和平均功率例如：当m=1时，Pmax=4Pc。如果我们要设计一个调幅发射机，根据发射机的覆盖距离可计算出载波功率。假定载波功率为1KW，则发射机的功率容量应按4KW来设计实际使用中平均功率只用到1.5KW，因而设备利用率很低。对于FM和PM为等幅波Pc=P=Pmax,所以设备利用率也就高。59调幅波及其频谱调幅波3、调幅波频谱①正弦调制一个正弦调制的调幅波由三个正弦分量组成60调幅波及其频谱调幅波3、调幅波频谱①正弦调制信号带宽B=2Ω61调幅波及其频谱调幅波3、调幅波频谱

非正弦调制-如果调制信号是非正弦信号，即e(t)是有许多频率分量组成的信号，可表示为62调幅波及其频谱调幅波3、调幅波频谱

非正弦调制63调幅波及其频谱调幅波3、调幅波频谱

非正弦调制在调幅波的频谱中，有一载频分量，还有许多边频分量，在调制信号e(t)中的每一个频谱分量在AM波中就有一对边频分量。这样就构成上、下两个边带，称上边带和下边带。64调幅波及其频谱小结调制信号中任一频率分量（Ωn）在调幅波频谱中有一对与之对应的上、下边频分量ωc+Ωn，ωc-Ωn。调幅波的频谱结构与调制信号的频谱结构相同，仅将频谱搬移ωc。如果调制信号的频带宽度为Bsm，则调幅波的频带宽度Bs=2Bsm。65调幅波及其频谱小结对于一般的调制信号e(t)其频谱也可用傅里叶变换（频谱密度函数）表示66调幅波及其频谱小结对于一般的调制信号e(t)其频谱