某中学高三自主练习试题(二)(理数)

2016届新泰一中高三自主练习试题

数学(理)

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.

2.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B铅笔.要

字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.

3.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，

只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上.

1.已知i是虚数单位，若复数Z满足二-=i,则忆

2-i

A.2B.y∣2C.√3D.√5

2.设全集U=R,若集合A={X∣y=log?(4-xj},集合B={)，y=2"-l,x∈R},则

集合CU(ACB)=

A.(-1,2)B.[-1,2)

C.(—8,-1]U[2,+oo)D.(-8,-1)U[2,+OO)

3.为估测某校初中生的身高情况，现从初四.二班的全体同学中随机

抽取10人进行测量，其身高数据如右茎叶图所示，则这组数据的数和

中位数分别为

A.172,172B172,169C.172,168.5D.169,172

4.若命题p∙ZxGR,不等式2&x+a>0恒成立，命题

q:X/x&R,不等式/一1∣+x+l∣>a恒成立，则命题一IP是夕的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

5.某程序框图如右图所示，则输出的S的值为

A.ʌ/ɜB.—C.0D.--

22

6.已知a,b为空间两条不重合的直线,α,β为空间两个不重合的平面，则以下结论

正确的是

A.若α_Lβ,aua,则a_LP

B.若a_Lβ,a_LB,贝IJa//a

C.若aua,a∕∕β,则a〃B

D.若aua,aJ_P,则a_LP

7.看函数/(x)在定义域内满足条件：①/(%)+/(T)=0；②/(%)-/(%+，)<0

(其中t>O),则函数/(x)的解析式可以是

12

A.y=x+一B.y=tanXC-y=-D.y=χ3

XX

x-2γ≤0

土土L的最小值为

8.已知x,y满足线性约束条件-x+j-4≤0,则目标函数Z

y+2

2%+y-4≥0

1111310

A-B.—C.—D.—

6101411

22

9.椭圆二+1=l(a>b>O)的左右焦点分别为F∣,F2,若椭圆上存在一点P使得

NFIPB=90°，且尸用是PF2和FiF2∖的等差中项，则椭圆的离心率e为

524√3

A.-B.-C.-D.

7354

10.设函数/(x)的定义域为R,若不等式/(x)≤X对任意的实数X均成立，则称函

2χ2

数/(X)为“『'函数，给出下列四个函数：①/(X)=F—，②力(％)=xsinx,③

x'+1

X

ɔP

A(x)=ln(jΓ+l),@f^x\=-—淇中，“T”函数的个数是

e÷1

A.1B.2C.3D.4

2

二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡的相

应位置.

11.若α=joSin%dχ,则x--的展开式中的常数项为(用数字作答)

12.已知函数/(x)=CoS(2x+(P)的图象关于点对称，若将函数/(%)的图象

向右平移m(m>0)个单位得到一个偶函数的图象，则实数m的最小值为

13.给定两个单位向量OA,OB^它们的夹角为60°.点C在以。为圆弧上运动，

若庆>=%O5+y痂，其中x,ywR,则Xy的最大值为

22

14.已知圆C:(x-2)+(y-3)=1,(0,3)且斜率为k的直线/与圆C有两个不同的

--------------84

交点M,N,且OMOON=—，则实数k的值为

15.设定义在R上的函数

cos2x20162015

(1)

+•••+f—+∕(θ)+∕(2)+∙∙∙+/(2015)+/(2016)=

三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程

或推理步骤.

16.(本小题满分12分)

在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b≠c,且

sin2C-sin2B=ʌ/ɜsinBcosB->∕3sinCcosC.

(1)求角A的大小；

(2)若Q二书,sinC=—,求ΔAfiC的面积.

3

17∙(本小题满分12分)

YI

已知函数/(%)=-----,数列｛4｝的前n项和为工，若四=一，

2x+12

Se=∕(S")("cN*)∙

⑴求数列｛4｝的通项公式:

⑵设7；=S：+S；+…+S；,当∕≥2时，求证：AT11<2--.

n

18.(本小题满分12分)

如图，菱形ABCD的棱长为2,ZBAD=60°,CPl

底面ABCD,E为边AD的中点.

⑴求证：平面PBE_L平面BCP；

(2)当直线AP与底面ABCD所成的角为30°时，求

二面角A—产B-C的余弦值.

19.(本小题满分12分)

甲乙两人进行象棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分.若其中的一方比对方多得2

21

分或下满5局时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率为三，乙在每局中获胜的概率为上，

33

且各局胜负相互独立.

(1)求没下满5局甲即获胜的概率；

(2)设比赛停止时已下局数为ξ,求1的分布列和数学期望Eξ.

20.(本小题满分13分)

已知点(，闿是等轴双曲线C：4一0=1上一点，抛物线丁=20；(〃〉0)的焦点

与双曲线C的一个焦点重合.

(1)求抛物线的方程：

(2)若点P是抛物线上的动点，点A,B在X轴上,

ɔ2

圆X-+(y-I)-=I内切于APAB,求aPAB面积

的最小值.

4

21.(本小题满分14分)

已知函数/(8=in(一(》糊i图象上点P(l,∕(l))处的切线方程为

y=—3X+21π2—1.

(1)求α,I的值,并判断了(x)的单调性；

(2)若方程/(X)-/=O在--∖,e-∖内有两个不等实数根，求实数t的取值范围(其中e

\_e_

为自然对数的底数，e=2.71828…)；

(3)设g(%)=-2f+x+加一1,若对任意的x∈(-l,2)J(*)≤g(X)恒成立，求实数m

的取值范围.

5

高三适应性练习（一）数学理科参考答案及评分标准

一、选择≡!DCBBCDDAAC

二、填空题It112012.—

—,∙<∏八、ɪ×ɪ~ɑos2C1-cos2B.CDV3.

二、解答题1x6.解：(1)由a题意fi得a--------------------=—sin2β——sin2C,...........…,

2222

整理有且sin28-1cos28=巫sin2C-Lcos2C

2222

即

sin(28-[)=sin(2C-^),.........•♦4分

66

由b*c,得BNC,XJB÷C€(0,^r)»得28-—4∙2C-∙~■=/r•

66

即8+C=：”，所以彳=?..............6分

(2)因为α≡≡、石,sinC=一,由正弦定理,.，得c=3.

4sinJsinC2

由cva∙得C<∕,从而COgC=立，.........................8分

4

故SinB=Sin(/+C)=sinAcosC+cos∕lsinC

皂也3H叵10分

24248

所以Δ∕18C的面枳为S=LaCSinB=LXJjx三且=2（+J7）,…]2分

222832

17.雉（1）由题意可知，S"∣=Uj.两边取倒数得：一L-=竺!L±J=J-+2,

2Sκ+∖SΛ.,S.SIt

即一一-4-=2,又!=2∙所以数列｛』-｝是苫项为2,公差为2的等殆数列……3分

3”！，3∣SC

故《=2+2S-I）=2〃，所以.................5分

ɔ,2n

当“22时，

a≈S-S..=--------?—=-------?7分

2n2(∕ι-1)2n(n-l)

-,'∏=1

所以8分

-----------,n≥2

.2n(n-↑)

(2)由(I)可知，S：当〃22时，∙Λrv—?.........10分

4〃'4n*4n(n-l)

即47；<2-4，....................................

n

第1页共4页

6

18集：(I)连接B。，因为四边形Z8C。为陵长为2的菱形，^BAD^600.

所以MBD为等边三角形,又E为边｛。的中点，所以BE1/D.

16AD//BC.故.BELBJ........................................................2分

因为CPj•底面IECO.BEU底面.48CZ).

所以SE∙LPC,BCTCP=C,故BEJ.平面SCP,.................................4分

又BEU平面PBE,所以平SiPAEJL平面BC尸.............5分

<2)连接彳C,因为CPJ.底面/IHCO,所以NΛ4C就是直线/P与底面

48。)所成的角.故NP453。°.在RrA“T中，tanZPJC=(an30°=—=-⅛.可得

AC2√3

CP=2.建立空间且角审标系妇曳，此时∕8C>∙=20"■6分

可用QO,0,0).P(0.0,2)∙H(l.√JO)^(3,√3,O)，

UH_UUULk

CB=(l,√3.0λCP=(0,0,2),β√>-(2w0τ0)...........8分

^=(-l,-√3,2).设n=(x.y,z)为平面MC的一个法向量,则

U∣4y⅜⅜

有n*8=0.ngCP=0,

'1M°,XS可怨—，).

以建E穹平面/F8的一个法向量mu(0,2>A.3).

cos<m.n、---…=--*r;-J⅛g----------

m∙n∣√12√?]

5

所以二面角4-P8-C的余弦健为-牛.................................12分

19.露：(1)没打满5恸甲次胜行两种情况：

①是两局后甲获胜,此时........................2分

②是CS身后甲莎姓.此时E=(C；：Xg)XgXj0卷................4分

所以甲茨胜的微率尸=4+H=±+生=四.................5ft

1198181

(2)依题意知，f的所有可能值为2,4.5.............................6分

设前4局每两局比赛为一呢，则谖轮结束时比赛停止的概率为：

第2页共4页

7

Φι÷(∣)j=∣∙..............................7分

若该轮结束时比赛还将经续,则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结

果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有：

∕,(4=2)=∣'Λ^=4)=⅛∣)=jγ∙^(<=5)≡(⅛……1。分

77yOlY(M

所以4的分布列为：

由题意可知，-≈-.P=I,所以抛物线方程为x'=2y..........4分

22

(2)设P(Xi,%)"(α.o)j8(b.0)，不妨设A>α.F［线/M的方程:y=Is—(χ-α)•

Xo-a

化箱得>⅛x+(a-xc)y-q>⅛=0...............................6分

又圜心(0,1)到的距离为I，六%二则=I，

病+9-4)：

上式化筒得(y；-2%)fl2+2xjw-3；=0.同理有(W-2/W+2x3>⅛6-y;=0.......8分

所以a+gΞ⅛L=Ξ⅛L,ab≈.≠-ɪɪ.

yl-2ytyβ-2yi-2y9y0-2

岷(。-4=4片+4片-8刀................10分

(Λ-2)J

i4y

因P(X),%)是匏物线上的点，有父=2%,则(fl-⅛)≈"易知％>2,所以b-a=-⅛-.

(>β-2)*ya-2

所以Sg∙=2s-a)∙%=~Ar%=(%-2)+-^τ+4Z2C+4=8……12分

2ytt~2yt-2

当(乂-2)'=4时，上式取等号，此时九=4,七==2&•

因此Sy*的最小值为8...............................”分

8

21.解：(L)由题意可知.x6(-l,÷∞).

f(X)=—--2b(x+1),∕,(1)=--4¼∕(l)=αln2-4b,

Jx+l2

可得.--4Z>=-3,αln2-4δ=21n2-4.解得：α=2,6=l.........3分

2

...、2”，、-2(x1+2x)

此l时/(%)=------2(x+1)=-i----------,

x+1x+l

S⅛x∈(-l,+oc),当jew(-1,0),∕,(x)>0,f(x)单调递增，

当Xe(O,∙w>),∕,(x)<0./(x)单调递减...............5分

(