江苏省扬州名校2022年高考数学全真模拟密押卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”,

亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）•类比“赵

爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角

形.设。尸=2AF=2,若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）

2.函数/(幻=以+,在(2,+8)上单调递增，则实数”的取值范围是()

x

C[「11ri(1

A.-,+ooB.-,+ooC.D.-oo,-

U)L4)I4

3.某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该

校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图:

2016年高考数据统计2019年高考数据统计

则下列结论正确的是（）.

A.与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加

B.与2016年相比，2019年一本达线人数减少

C.与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍

D.2016年与2019年艺体达线人数相同

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（）

A.6+2&B.6+272C.4+4及D.4+473

5.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已

知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自

内切圆的概率是（）

717171

A.—B.—C.-D.一

12369

6.集合A={-2,-1,1},8={4,6,8},M={x|x=a+"Ae8,xe5},则集合加的真子集的个数是

A.1个B.3个C.4个D.7个

11

7.设复数Z[=1+1/2=l-i,则一+—=（）

Z]z2

A.1B.-1C.iD.-i

8.已知数列{a“}满足4+402+76+...+（3〃-2）。“=4〃，则a2a3+4%+…+%%=（）

9.执行如图所示的程序框图，若输入的f=3,则输出的z.=（）

A.9B.31C.15D.63

10.下列四个结论中正确的个数是

(1)对于命题〃：切)eR使得考-1W0,则都有/—I〉。；

(2)已知X〜N(2,b?),贝I」P(X＞2)=0.5

(3)已知回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为夕=2x-3；

(4)“xNl”是“x+，N2”的充分不必要条件.

x

A.1B.2C.3D.4

11.已知函数/(幻满足当xWO时，2/(x-2)=/(%),且当xe(—2,0］时，/(x)=|x+l|-l；当了＞0时,

/(%)=log.x(。＞0且aH1).若函数.f(x)的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则。的取值范围是()

A.(625,+QO)B.(4,64)C.(9,625)D.(9,64)

12.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五

类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2

1

D.-

5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.正方体ABC。-AgG。的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的

弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，丽.西的取值范围是.

14.已知关于x的不等式I-x-aln尤21对于任意工€(1,+8)恒成立，则实数"的取值范围为

x

15.若［五一之］的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是______

Ix)

16.已知函数/(%)=217%~<0)，则/(-2)=________；满足/(x)>0的x的取值范围为_______.

12-3x(%>0)

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x=2mH-----

17.(12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线。的参数方程为:(机为参数)，以坐标点。为极点，x轴

y=2m------

、6m

TT

的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为ACOS(0+y)=1.

（I）求直线/的直角坐标方程和曲线C的普通方程；

（2）已知点M（2,0）,若直线/与曲线C相交于P、。两点，求Z^+口岛的值.

18.（12分）在平面直角坐标系直为中，以。为极点，X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程

X=-2H---1

为夕=25皿。+2。85仇。＞0）；直线/的参数方程为｛2C为参数），直线/与曲线C分别交于”,N

y="r

两点.

（i）写出曲线。的直角坐标方程和直线/的普通方程；

（2）若点P的极坐标为（2,万），\PM\+\PN\=5y[2,求。的值.

19.（12分）如图1,A4DC与43。是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，

ZACB=ZACD=30°ZABC=ZADC=90°»AB=2,连接是边8c上一点，过E作EFI/BD,交CD

于点F,沿EF将ACE尸向上翻折，得到如图2所示的六面体P-A8EED,

(1)求证：BD1AP;

____

（2）设5E=/lEC（/leR）,若平面PEF_L底面ABEFD，若平面Q43与平面尸＞。尸所成角的余弦值为手，求2的

值；

（3）若平面尸£尸，底面ABEH）,求六面体的体积的最大值.

20.（12分）如图，在四棱锥P-A」BCD中,四边形A8CO是直角梯形，A8_L4。,他//8,尸。_1底面43。。

AB=2A。=28=4,PC=2a,E,是的中点.

B

(1).求证:平面E4C_L平面P8C；

(2).若二面角P-AC-E的余弦值为半，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.

21.（12分）在三棱柱ABC-中，AB=2,BC=BB]=4,AC=AB,=275,且NBCG=60°.

(1)求证：平面ABG，平面8CG4；

(2)设二面角C-AC-B的大小为。，求sin。的值.

1

x二—COS。

:］(。为参数)，以原点。为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系

22.(10分)曲线G的参数方程为

y=—+—sin(p

中，曲线G的极坐标方程为0cos2e=3sin6.

⑴求曲线C\的极坐标方程和曲线G的直角坐标方程;

⑵若直线/：丁=依与曲线G，G的交点分别为A、B(A、8异于原点)，当斜率丘［等,6］时，求1°川+血

的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可.

【详解】

在AABD中，AD=3,BD=\,ZADB=120°,由余弦定理，得AB=[AD2+Blf-2AD•3Dcos120°=屈，

DF2

所以布=瓦.

所以所求概率为基处=(-=—.

S&ABC\'s/13)13

故选A.

【点睛】

本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题.

2.B

【解析】

对“分类讨论，当函数f(x)在(0,+O单调递减，当。〉0,根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可

求解.

【详解】

当a40时，函数/(x)=or+，在(2,+8)上单调递减，

x

1(1>

所以。>0,/(尤)=依+—的递增区间是下,物，

X\y]a)

所以即

故选:B.

【点睛】

本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.

3.A

【解析】

设2016年高考总人数为x,则2019年高考人数为L2x,通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.

【详解】

设2016年高考总人数为x,则2019年高考人数为L2x,2016年高考不上线人数为0.3x,

2019年不上线人数为1.2xx0.28=0.336x>0.3x,故A正确；

2016年高考一本人数0.3尤，2019年高考一本人数1.2xx0.26=0.312x>0.3x,故B错误；

2019年二本达线人数1.2xx0.4=0.48x,2016年二本达线人数0.34x,增加了

0.48x—0.34%

。0.41倍,故C错误;

0.34%

2016年艺体达线人数0.06x,2019年艺体达线人数1.2xx0.06=0.072%,故D错误.

故选：A.

【点睛】

本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.

4.C

【解析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可.

【详解】

解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，P-ABC,

正方体的棱长为2,

该几何体的表面积：

—x2x2+—x2x2+—x2x2^2+—x2x2>/2=4+40.

2222

故选C.

【点睛】

本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.

5.C

【解析】

利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公

式，即可求解.

【详解】

由题意，直角三角形的斜边长为庐万=10,

AxQ

利用等面积法，可得其内切圆的半径为r=----------=2,

6+8+10

nr_n

所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为1=。=%.

—x6x8

2

故选：C

【点睛】

本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径

是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

6.B

【解析】

由题意，结合集合A,5,求得集合“，得到集合”中元素的个数，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，集合4={-2,-1,1},5={4,6,8},xeA,

则M={x|x=a+"xe3}={4,6},

所以集合M的真子集的个数为2?-1=3个，故选B.

【点睛】

本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合加，再由真子集个数

的公式2"-1作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

7.A

【解析】

根据复数的除法运算，代入化简即可求解.

【详解】

复数Z1=l+i,Z2=l—i,

11

贝!!一+一

Z|z2

11

=---------1---------

1+z1-z

1-z1+z

=-----------------------1-----------------------

(I+i)(j)(1-/)(1+O

1-z1+iI

=------1------=1

22

故选：A.

【点睛】

本题考查了复数的除法运算与化简求值，属于基础题.

8.C

【解析】

利用（3〃-2）4的前〃项和求出数列｛（3〃-2）%｝的通项公式，可计算出凡，然后利用裂项法可求出

a2a3+。3a44---卜〃21%的值.

【详解】

,.,6+4%+7%+・・・+（3〃-2）。〃=4〃.

当〃=1时，4=4；

当场22时，由q+44+7%+・・・+(3〃-2”〃=4〃,

可得q+4ao+76+,••+(3〃-5)•=4(〃—1),

两式相减，可得鹿故

(3—2)4=4,4=3r

3九一2

4

因为4=4也适合上式，所以%=------.

3〃一2

1616f11)

aa=9

依题意，n+\n2-/.I\/Q,A\VQ.1Q<A

+(3Q〃+l)(3〃+4)313〃+l3/2+4)

.16111111111、16(1

故出—+…+4%=可匕7+1历+记-值+…+6-句=5匕

故选：C.

【点睛】

本题考查利用s“求勺，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.

9.B

【解析】

根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.

【详解】

执行程序框，=3,i=0；/=8,z=1；t—23,i=3

t—68,j=7；t=203,i=15；t=608,4=31,

满足f>606,退出循环，因此输出i=31,

故选:B.

【点睛】

本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.

10.C

【解析】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可

判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要

条件的判定方法，即可判定.

【详解】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题〃与不€/?使得其-140,则「〃：VxeR都有

f一1>0,是错误的；

（2）中，已知X~N（2,CT2）,正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为x=2,所以P（X>2）=0.5是正确的;

（3）中，回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为（4,5）,由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得

回归直线方程为$=2x—3是正确；

（4）中，当工»1时，可得x+=2成立，当x2时，只需满足x>0,所以“X之1”是22”

X，XXX

成立的充分不必要条件.

【点睛】

本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性

质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于

基础题.

11.C

【解析】

先作出函数/（x）在（-*0］上的部分图象，再作出/（外=log“x关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点

时满足的条件，解之即可.

【详解】

先作出函数/（X）在（-8,0］上的部分图象，再作出了（X）=log"X关于原点对称的图象,

如图所示，当0＜。＜1时，对称后的图象不可能与/（X）在（-8,0］的图象有3个交点;

当。＞1时，要使函数fM关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，

a＞1

-log”3〉-g,解得9＜QV625.

Tog“5＜一；

故选I：C.

【点睛】

本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.

12.A

【解析】

列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式

可得结果.

【详解】

金、木、水、火、土任取两类，共有：

金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，

其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，

所以2类元素相生的概率为a=故选A.

102

【点睛】

本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的

关键，基本事件的探求方法有（1）枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；（2）树状图法：适合于较

为复杂的问题中的基本事件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先（4，旦），（4，与）….（4,4）,

再（&,即,（%也）.....（&,纥）依次（4,4）（4出）....（4纥）...这样才能避免多写、漏写现象的发生.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.[0,2]

【解析】

由弦的长度最大可知MN为球的直径.由向量的线性运用所表示出丽.丽，即可由|所|范围求得两■.丽

的取值范围.

【详解】

连接PO,如下图所示：

设球心为0,则当弦的长度最大时，为球的直径，

由向量线性运算可知

PMPN=[pd+OM^{pd+ON^

+PO-ON+OMPO+OMON

=PO2+PO（ON+OM^+OM-ON

正方体ABC。-AA的棱长为2,则球的半径为1,ON+OM=Q,OM-ON=,

所以司2+所.（丽+丽）+丽.丽

=所2-1，

而|叫

所以所,―le[0,2],

即同7.丽40,2]

故答案为：[0,2].

【点睛】

本题考查了空间向量线性运算与数量积的运算，正方体内切球性质应用，属于中档题.

14.(-oo,-3]

【解析】

x

eA-3lnx_,

先将不等式x-aln九21对于任意xw(L”)恒成立，转化为④------口任意xe(l,+s)恒成立，设

A-Inx

x-31nx_

f(x)=-——士L求出/(X)在(1，+8)内的最小值卸可求出。的取值范围.

Inx

【详解】

解：由题可知，不等式《—X-alnxNl对于任意xw(l,+co)恒成立，

x

即了一“x-3ex-x-le-3'nxe'-x-lex-3'nx-x-l,

④--------------------=------------------------------=-----------------------------------=---------------------------------

InxInxInxInx

又因为xc(l,+8),Inx>0,

r-3lnx_i

.•・凡......一对任意X£(l,+8)恒成立，

Inx

x-3lnx_i

设£——士A,其中xe(l,4w),

Inx

由不等式e'Nx+l，可得：e^3lnj>x-31nx+l,

cx3lnA—x—1x—31nx4-1—x—1

贝！l〃x)=--------------->----------------------=—o5f

InxInx

当x-31nx=()时等号成立，

又因为x-3Inx=0在(l,+8)内有解,

••・"%,7

贝！而”=一3,即：a<-3,

所以实数。的取值范围：(一叫一3].

故答案为：(-8,-3].

【点睛】

本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围，考查转化思想和计算

能力.

15.1

【解析】

由题意得出展开式中共有U项，”=10；再令x=l求得展开式中各项的系数和.

【详解】

由1“一看)的展开式中只有第六项的二项式系数最大，

所以展开式中共有11项，所以〃=10；

令x=l,可求得展开式中各项的系数和是：

(1-2严=1.

故答案为：1.

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，考查二项式展开式各项系数和的求法，属于基础题.

16.-(-oo,4)

4

【解析】

首先由分段函数的解析式代入求值即可得到了(-2),分x〉0和xWO两种情况讨论可得;

【详解】

2r(x<0)

解：因为/(x)=,

12-3尤(X〉0)'

所以yq,

V/(x)>0,

...当x<0时，0</(%)=2*41满足题意，，了《0；

当x>0时，由/(x)=12-3x>0,

解得x<4.综合可知：满足/。)>0的x的取值范围为(-℃,4).

故答案为：—；(-8,4).

4

【点睛】

本题考查分段函数的性质的应用，分类讨论思想，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1।1_3^3

17.(1)I：x-技—2=0,C方程为-x2--y2=l(2)

t\MP\\M\Q\丁

【解析】

(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.

(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.

【详解】

x=2m4------

⑴曲线。的参数方程为(机为参数),

「1

y=2m------

6m

33

两式相加得到4/?2=x+y,进一步转换为二/

44

直线，的极坐标方程为pcos(<?+—)=1,则「(cos夕cos色-sin8sin工)=1

333

转换为直角坐标方程为x-A一2=0.

V3

x=2+

2

(2)将直线的方程转换为参数方程为a为参数),

1

33

代入一-/=1得至！］3『+12®+16=0Qi和度为P、。对应的参数),

44

所以4+=-4有，4，=彳，

如“

1+1\MP\+\MQ\\t,+t2\373

\MP\\M\Q\\MP\\MQ\|r/2|4'

【点睛】

本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运

算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

18.(1)曲线C的直角坐标方程为即(％-。)2+&-1)2=4+1,直线/的普通方程为y=x+2；(2)a=2.

【解析】

(1)利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线/的普通方程，极坐标方程两边同乘以「利用

p2=xi+y\pcosO=x,ps\nO=y即可得曲线C的直角坐标方程；(2)直线/的参数方程代入圆C的直角坐标方

程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.

【详解】

(1)由夕=2sin6+2acos6g>0),得夕？=2psin(9+2apeos6(a>0),

所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2^2y+2ax,

即(x—a)2+(y—l)2=/+i,直线/的普通方程为y=x+2.

f_oV2

⑵将直线/的参数方程十/代入必+：/=2/+2改并化简、整理，

V=——t

[2

得/一(3及+后。>+4。+4=0.因为直线/与曲线C交于N两点.

所以八=卜&+缶『一4(4a+4)>0,解得awl.

由根与系数的关系，得力+力=30+0。，/6=4。+4.

因为点P的直角坐标为(一2,0),在直线/上.所以忱制+|。叫=儿+4=3及+血。=5后，

解得。=2,此时满足a〉0.且aw1,故a=2..

【点睛】

参数方程主要通过代入法或者已知恒等式(如cos?a+sii？。=1等三角恒等式)消去参数化为普通方程，通过选取相

"222

X=PCQS0X+)_P

应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式.八，y等可以把极坐标方程与直角坐标方

y=psin0—=tan0

.x

程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题.

19.(1)证明见解析(2)2=-(3)也叵

49

【解析】

(1)根据折叠图形，BD1AC,PNLBQ,由线面垂直的判定定理可得8D_L平面PAN,再根据APu平面PAN,

得到LAP.

(2)根据PNLEF,EF_LAC,以N为坐标原点，NA,NE,NP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，根据

AB=AD=2,BD=BC=2y[3,AM=1,CM=3,诙=九或可知，EF=^~,PN=CN=,表示相应同

1+A1+Z

|5-4H—-

的坐标，分别求得平面45尸与平面OEP的法向量，代入卜os(，〃，D=

石・J12+(44+iy5求解.

⑶设所求几何体的体积为V，设CN=x(O<x<3)为高，则FN=^x,表示梯形8EF。和4ABD的面积由

2^+^Y~X(3-x)

1x2>/3xl=@(_/+]2*,再利用导数求最值.

【详解】

(1)证明：不妨设防与AC的交点为MBD与AC的交点为加

由题知，CO=BC,N0CA=NBCA=3O",则有BOLAC

又BD//EF,则有EF_LAC.

由折叠可知，PN±££所以可证PN±BD,

由ACcPN=N,ACu平面PAN,PNu平面PAN,

则有80_L平面PAN

又因为APu平面PAN,

所以BOLAP....

(2)解：依题意，有PN_LEF,平面在广，平AB£7Z)面，

又PNu平面PEF,

则有PN人平面ABEFD,PNYAC,又由题意知，EFA.AC

如图所示：

F

以N为坐标原点，NA,NE,NP为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系

由题意知AB=AO=2,5。=3。=20,AM=1,CM=3

由布可知，

EF=4=CN3

则N(0,0,0),P(0,0,«手?,0,0

,A

1+4

4o],o壬,-6,o'

B--,V3,0,F0,-

1+4)I1+4)1+A)

则有/=卜*03昌-6岛

，BP=

I1+丸1+4

叫。福岛）丽十

设平面43P与平面DFP的法向量分别为加=（玉,y,Z］）,“=（w,%，z?）

一AP•沅=0-(42+l)x1+3z1=0-八石/2A

则有<=>,[-&3-(2+1)乂+后=。=〃'=(疯)

BP-m=0

FPn=0回+3]。=>^(1,73,-1)

则__n<

DPn=0—Ax2—43(1+4)必+3z)=0

_|5-4勾=6

所以cos(m,n

6/2+(4几+1丫5

因为/U（O,1）,解得/l=；

⑶设所求几何体的体积为V,设CN=x（O<x<3）,

则FN=^x,

2Gxi

,.V=一身*2-4）=一等（》—2）（》+2）

二当0<x<2时，V'>0,当2<x<3时，V'<0

.•.V（x）在（0,2）是增函数，在（2,3）上是减函数

二当x=2时，V有最大值，

叽邛（-8+12x2）=竽

六面体P-AEBED的体积的最大值是世亘

9

【点睛】

本题主要考查线线垂直，线面垂直，面面垂直的转化，二面角的向量求法和空间几何体的体积，还考查了转化化归的

思想和运算求解的能力，属于难题.

6

20.（1）见解析；（2）—.

3

【解析】试题分析：（1）根据PC_L平面ABCD有PCLAC,利用勾股定理可证明故AC,平面P8C,

再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）在。点建立空间直角坐标系，利用二面角AC-£的余弦值为在建

3

立方程求得PC=2,在利用法向量求得PA和平面EAC所成角的正弦值.

试题解析：(I)•.•PC_L平面平面

因为AB=4,AD=CO=2,所以4c=BC=&,所以AC2+8C2=AB2,所以AC_LBC,又3CcPC=C,所以

AC_L平面P8C.因为ACu平面E4C,所以平面E4C,平面PBC.

(H)如图，

以点C为原点,万4,丽，丽分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则

C(0,0,0),A(2,2,0),8(2,—2,0).设P(0,0,2a)(a>0),则E(l,-1,a)

C4=(2,2,O),CP=(O,O,2a),CE=(l,-l,a)^m=(l,-l,O),则玩•心=玩=0,成为面PAC法向量.

设万=(x,y,z)为面EAC的法向量，则万•画=方•方=0,

x+y=0

叫一”二0取x=a,y=-a,z=—2,则乃二（a,—。,一2）

依题意向式成m-n'\砌=褊=&="

,则a=2.于是”=（2,—2,—2）,西=（2,2,7）.

3

设直线PA与平面EAC所成角为凡则sin。=\cos(PA,n)\=兽口=—

1附,同3

5

即直线PA与平面E4C所成角的正弦值为5-.

21.(1)证明见解析；(2)巫.

4

【解析】

(1)要证明平面ABG，平面BCC4,只需证明平面BCGg即可;

(2)取CG的中点。，连接B。，以口为原点，以丽，BB,,丽的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直

角坐标系,分别计算平面ACC,4的法向量为］与平面ABC,的法向量为麻，利用夹角公式cos夕,麻)=而需［计

算即可.

【详解】

(1)在AABC中，AB2+BC2=20=AC2,

所以NA5C=90，即

因为BC=BB],AC=ABt,AB=AB>

所以AABC丝

所以/ABB】=NABC=90,即AB，BBt.

又所以AB，平面BCG片.

又ABl平面ABC-所以平面ABC】_L平面BCG4•

(2)由题意知，四边形8CCg为菱形，且NBCG=60,

则ABCG为正三角形，

取CG的中点。，连接BO,则BO，CC「

以B为原点，以丽，BB］,丽的方向分别为x,y,z轴的正方向,

建立空间直角坐标系B-肛z,则

5（0,0,0）,耳（0,4,0）,A（0,0,2）,C（2>/3,-2,0）,C,（2^,2,0）.

设平面ACC,A的法向量为n=（x,y,z）,

且恁=（26,-2,-2）,Cq=（0,4,0）.

2百x-2y-2z=0,

由得取7=（1,0,回

4y=0,

由四边形BCG4为菱形，得

又A6_L平面BCG耳，所以AB_LBC；

又ABcBC[=B,所以片。_1平面ABC一

所以平面ABC,的法向量为^=（273,-6,0）.

n-B^C2A/3_1

所以cos（3,配）

何丽一4百x2*

故sin6»=姮.

4

【点睛】

本题考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的问题，在利用向量法时，关键是点的坐标要写准确,

本题是一道中档题.

22.（1）G的极坐标方程为夕=sin6；曲线6的直角坐标方程f=3〉.（2）也

【解析】

（1）消去参数，可得曲线G的直角坐标方程/+丁一〉=0,再利用极坐标与直角坐标的互化，即可求解.

（2）解法1：设直线/的倾斜角为C