盘点求最值的六种方法-2023年高考数学二轮复习《方法与题型》讲解专训（新高考专用）（解析版）

2023高考二轮复习讲与练

专题07盘点求最值的六种方法

配方法

导数法

数形结合法

圆

锥

基本不等式法

交

汇

的

导数与立体几何交汇的最值问题

一、利『法中

导数中极值与最值交汇的问题

1.已夕古量$4+）夹角为。，则COS。的最小值是

导数中不等式恒成立最值问题

1

A.-

3C请

【答案】D

,+0=J(q+Z?)2=小或+2a.b+£=Jl+2+f=&+3,

=X,则

<2

力(。+。)a・b+b1+x?0)2

cose=

2,令/+1=/，则

M|a+©x-+3Xyjx+3x2(x2+3)

1

cos6=由/>1得0<1<1,

t>\,("1)(1+2)-2+1+1

则-2|：1+±1+1=-21-11(\19

+=一时，_2-1取得最大值一,

U4li,4Iv

r2V2

，cos。的最小值为」9

8

2.已知双曲线。：《-彩=1（。＞0）的左、右焦点分别为写、F2,过C的左顶点A作一条与

渐近线平行的直线与y轴相交于点8,点M为线段48上一个动点，当分别取得

最小值和最大值时，点M的纵坐标分别记为〃?、"，则二=（）

m

43-

A.-B.-C.3D.4

32

【答案】D

【分析】设点"的坐标为1，g（x+a）），其中-aWxWO,可得出例/MF；关于x的二次函

数关系式，利用二次函数的基本性质可求得当9-Mg取最小值和最大值时对应的工值，

可求得皿、”的值，即可得解.

【详解】由题意可得匕=扃，c=2a，6（-2。,0）、月（2〃0）,双曲线C的渐近线方程为

y=±y/3x,

不妨设直线AB的斜率为5则直线A3的方程为y=6（x+。），易得可。,后），设点”的

坐标为（x，G（x+。）），其中一aVxKO,MR=（-a-x,->/3（x+,MF?=（a-x,-6（x+a））,

222

所以，MFX-MF2=（-<7-X）（<7-X）+3（X+6Z）=4X+6ax+2a=4故当

x=-；a时,MJA/g取得最小值,此时帆=6{“一司=曰a,当x=0时,MFt-MF2^

得最大值，此时〃=JGa,因此，—=4.

m

3.抛物线y=4f上一点到直线y=4x-5的距离最短，则该点的坐标是.

【答案】（g，l

【分析】设抛物线上y=4/任意一点的坐标为（f,4f2）,利用二次函数的配方法可求出该

抛物线上一点到直线>=4%-5的最小值及其对应的t值，进而求出所求点的坐标.

【详解】设抛物线上y=4d任意一点尸的坐标为。,4/），则点2到直线4x-y-5=0的

版一4产一5||4r2-4z+5|（2/-1V+414/i7

距离为"二西才=』^=1^'当'=5时’d取得最小值爷’

此时点尸的坐标为［;』）.

4.在A/WC中，角A,B,C所对边分别为a,8,c,a=l,bcosA+cosB=2Z?,则£=

b

AABC的面积的最大值为.

答案：2,g

解析：a=l,则Z?cosA+cos3=〃cosA+acosjB=2Z?,由正弦定理得

sinBcosA+sinAcosB=2sinB,sin(A+=2sinB,即

sinC=2sinB=>c=2/?=>—=2,由余弦定理得

b

c°s.七吐M户+4/—15h2-i

4b2n一4从所以

2bc

所以5诩0=LsinAJx241-(也=」J_9〃+10._i

MBC22N4b24

16

+一.

49

当即匕=无时，S1BC取得最大值」.

933

5、在边长为1的等边三角形ABC中，£＞为线段BC上的动点，OELA8且交AB于点E.

DF//AB且交AC于点F,则|2射+万万的值为（万市+万行）•万才的最小值为

11

【答案】20

【解析】设HE=x,x&(0,0，:△ABC为边长为1的等边三角形，DELAB,:.NBDE

=30°,BD=2x,DE=y]3x,DC=\~2x,-：DF//AB,，△£)尸C为边长为1一2》的等

边三角形，

2222

DEA.DF,：.(2BE+~DF)=4BE+4BE-DF+DF=4x+4x(l-2r)Xcos00+E,

(1-2JV)2=1,.,.|2BE+DF|=1.V(DE+DF)DA=(DE+DFXDE+-EA)

=DE2+~DF-~EA=(y[3x)2+(\—2x)X(\—x)=5x2—3x+I=5(*一卷)+/,

3—>—>—»11

所以当*=而时，(OE+OQ-DA的最小值为弥.

6.如图，在长方体ABC。-A4G。中，E是AA的中点，点尸是A。上一点，

A8=A4,=2,BC=3,A少=1,动点P在上底面AdGA上，且满足三棱锥P—跳户

的体积等于1，则直线CP与DDI所成角的正切值的最小值为,

【分析】建立空间直角坐标系，设P(皿〃,2)(0<加<3,0<〃<2),通过向量法算出点P到

平面班E的距离，结合三棱锥P-班尸的体积等于1可得到2%-〃=2,再通过向量法计

算直线CP与。A所成角的余弦值的范围，继而算出答案.

【详解】以0为坐标原点，分别以。4DC,0A所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间

P(/«,n,2)(0<m<3,0<n<2),则尸(2,0,0),£(3,0,1),8(3,2,0),C(0,2,0),D、(0,0,2),

F5=(1,2,0),EE=(1,0,1),CP=(办〃一2,2),0〃=(0,0,2),设平面瓦芯的法向量为

a=(x,y,z),

。•斤B=x+2y=0-।

则《>，令x=2,则z=—2,y=-l,所以平面母上的一个法向量

a-FE=x+z=0

"七,|2/n-8-rt|

因为EP=(m—3,〃,l),所以点P到平面BFE的距离d=

lfll3

因为EF=JT+『=垃,BF=BE=&+*=5

所以在等腰/\BFE中，B到FE的高为(后-净、场，所以

2

°_1/3逝_3

S.BFE=,xJ2=—,

因为='xSxd='x3xd=1,所以d=l^_-_?1=2,所以2/n—〃=2或

3323

TT

2m-n=14(舍去)，设直线CP与。□所成的角为6，则所以

CPDD,4

2x^m2+(〃-2)2+4

222,6

Qm2+（2加-4）2+4,5/一16m+20/（租8尸।363，所以cos。的最大

值为立,

3

712

此时，最小，此时tan。最小，因为si/e+ccMenl，且6e[0,—],所以sin8=-,

23

2

32^52亚

所以tan6n=卡=不一，即直线CP与。2所成角的正切值的最小值为至3.

7、35

T

2S

7.记S“为数列｛4,｝的前〃项和.已知一+〃=2。,,+1.

n

（1）证明：｛《,｝是等差数列；（2）若4，%，4成等比数列，求S”的最小值.

【答案】（1）证明见解析；（2）-78.

【分析】⑴依题意可得2S“+/=2〃““+",根据a"=1二。.，作差即可得

到an-a,—=1,从而得证；

（2）由（1）及等比中项的性质求出%,即可得到｛4｝的通项公式与前w项和，再根据二

次函数的性质计算可得.

2S

【解析】（1）因为—^+〃=2々〃+1,即2S〃+〃~=2〃。〃+"①，

n

当〃22时，2s〃_]+（H-1）2=2（〃一1）4_]+（%一1）②，

①一②得，2S“十优-2S〃_1-（〃-1）=+〃-2（〃—1）«1-•（〃-1）,

=

即2tzz;+2/1—12/74/〃一2（〃-1）q?_]+1,即2（〃一1）一2（〃-1）〃〃_]=2（〃-1）,

所以凡一4.产1，a22且〃eN*,所以｛q｝是以1为公差的等差数列•

(2)由(1)可得%=4+3,%=。1+6,“9=4+8，又如，。7，。9成等比数列，所

以外,=a4-a9,

即3+6)2=(%+3>3+8),解得q=-12,所以4=〃-13,

由1”。12251(25丫625

所以S,=~12nd——---乙=一几-------n=—\n------------，所以，i〃=12或〃=13时

〃2222(2J8

(\S„n)/mi.n=-78.

v-21

8.已知椭圆三+>2=1上两个不同的点A,B关于直线丁=〃优+1对称.

(I)求实数加的取值范围；(II)求A4OB面积的最大值(。为坐标原点).

【解析】(I)由题意知〃7#0,可设直线AB的方程为y=—

m

1,

y=x+0

,m消去y,得(,+-^)/一a"+加-1=0.

由《

x.2m~m

—+y-7=1

I2

1f

因为直线y=——x+b与椭圆—+y2=l有两个不同的交点，所以

m2

4

A=-2/?2+2+—>0,①

2mbm2b代入直线方程y=〃ir+g解得

设M为A3的中点，则M(-)

m~+2m~+2

2

,m+2八

②

由①②得加〈一YS或加

3>T-

」o3

、格rr____、-2，+2厂+—

(II)令^=一€(-空,0)1，(0,空)，则IA例=7^7?^------：~~2、

m22.1.1

IH--

2

21

r+-

且。到宜线A3的距离d=-7=.设AAOB的面积为S(f),所以

Vr+1

S(t)^-\AB\-d=-J-2(t2--)2+2,当且仅当*=!■时，等号成立.

22V222

故ZVIOB面积的最大值为立.

2

二、利用导数求最值

71

1.函数y=x+2cosx在区间0,—上的最大值是()

7T7Vnr八冗匚;71

A.—F1B.—卜<2C.—Fv3D.一

3462

【答案】C

式

【分析】利用导数分析函数y=x+2cosx在区加0,-上的单调性，进而可求得函数

兀

y=x+2cosx在区间0,—上的最大值.

JT

【详解】对于函数y=x+2cosx,V=l-2sinx.当0<x<一时，/=l-2sinx>0；

6

jrjrJl1

当一<九v—时，y'=l-2siniv0.所以，函数y=x+2cos］在区间0,丁上单调递增，

62L6J

［7171

在区间“，彳上单调递减.

2_

所L-以,，^max=7冗+〜2C0S7兀=T兀+^二-

666

【点睛】利用导数求解函数在区间上的最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别.求

解函数的最值时，要先求函数y=/(x)在k力］内所有使r(x)=o的点，再计算函数

>=“力在区间内所有使r(x)=o的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.

2.已知数列｛/｝中满足卬=15,冬±1二®=2,则@的最小值为()

nn

_27

A.7B.2V15-1C.9D.一

4

【答案】D

【解析】由题意知，an+l-an=2n,.二/一4=2・1,%一。2二2・2,

%一a,i=2(〃T)，将以上〃个式子相加，得

22

an-at=2(1+2+3H—=~~+〃~~—=n-n,所以a“=n—n+15,

二"=〃+"一1,令g(x)=x+3—1,g，(x)=i_l1=:L^,当xe[0,3]时，

nnxx~x

g'(x)<0，

当XW[4,H8),g'(x)>0,g(3)=3+5-l=7,g⑷=4+3-1=?，故最小最值?，

故答案为D.

3.(多选)下列说法正确的是()

A.”x)=x+e的最小值为1B./(x)=J(x>0)的最小值为1

£X

c.f(x)=x-lnx(x>0)的最小值为1D.〃_1)=泥：(》>0)的最小值为1

【答案】AC

【详解】对于A,因为〃x)=x+所以:(力=1一/=_!,所以函数〃x)在(7,0)上

单调递减，在(0,+e)上单调递增，故函数f(x)的最小值为f(O)=l,A选项正确；

对于B因为f(x)=C(x>o),所以r(x)=.(：]),所以函数因为)在(0,1)上单调递减,

XX

在(1，日)上单调递增，故函数/(X)的最小值为f(l)=e,B选项错误；

对于C,因为〃x)=x—lnx(x>0),所以r(x)=l-：=?,所以函数/(x)在(0,1)上单

调递减，在(1，+~)上单调递增，故函数的最小值为了⑴=1,C选项正确；

对于D,因为/(x)=/(x>0)，所以广冒=1+妻卜()=4〔”1所以函数广⑺在

(0,1)上单调递减，在(1，内)上单调递增，故函数f(x)的最小值为/1(l)=e,D选项错误.

4.若正项递增等比数列｛4｝满足1+(生一%)+几3-%)=°(几e段，则«8+阳的最小

值为()

992727

A.---B.-C.—D.----

4444

【答案】C

【解析】设等比数列的公比为q(q>D,1+(a2-a4)+X(a3-a5)=0,可得X

则as+Xa,产++—+唾一。必=%++“汹-4%=%+冬_一4=_jL,

a、一a、%—CLyq—1%—%q~—1q~—1

令t=q2―1,

(t>0),q2=t+l,贝ij设f(t)=

/”+1)3a)=3/(/+1丁+1丫

.21-,・2

当1;>一时，f(t)递增；当0<t<一时，f(t)递减.可得t=一处，此时q=---,f(t)

2222

2727

取得最小值,且为彳，—的最小值为7

5.已知一正四棱柱(底面为正方形的直四棱柱)内切于底面半径为1,高为2的圆锥，当正四

棱柱的体积最大时该正四棱柱的底面边长为()

A迫B盅

A.3D.3

C.V2D.2yf2

【答案】A

【解析】如图，圆锥的高PV分别交正四棱柱上下底面于M,N两点,

NE=1,PN=2.令正四棱柱的底面边长为a,则8M=3-".易知就不=赤,

ZML)N匕

PN

：.PM=—MB=yf2af，MN=2—也a,工V正值枝柱=层(2—也0,其中

£(0,6).求导令y=4〃-3W屏，当0<〃<邛^时，),0,当时,

y<0,在(0,用上单调递增，在殍，啦)上单调递减，故当正四棱柱体积最大时,

该正四棱柱的底面边长为斗

6.函数式x)=|2x-l|-21nx的最小值为.

【答案】1

122x—2

【解析】当X>］时，7U)=2x-l—21nx,/(x)=2-.令/(x)>0,得x>1,令广(x)

<0,

得3Vx<1，所以人丁)在(J,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，所以7(X)min=/(l)

=1.

当0〈W时，,/(x)=l—2x—21nx"(》)=一2一5=匚尸<0，所以危)在(°，(上

单调递减，

所以./(x)min=(』)=-21n)=21n2>1.所以凡r)的最小值为1.

7.函数/(x)=(1-V)(x2+办+价的图像关于直线X=-2对称，则/(幻的最大值是一

【答案】16

解析：由/(无)图像关于直线X=-2对称,则0=/(-1)=/(-3)=[1-(-3)2][(—3>-3。+6，

0:/⑴=/(一5)=[l-(-5)2][(-5)2-5a+Z?],解得a=8,b=15,/(x)

(1—x2)(x2+8尤+15),

/'(x)=—2x(x~+8x+15)+(1—冗2)(2尤+8)=—4(/+6x?+7x—2)=

—4(x+2)(x+2+>/5)(x+2-Vs)

当x£(—8,—2—\[5)U(—2,-2+\/5)时，f>0,当x£(—2—V5,—2)U

(一2+石，+8)时，/a)vo,・・・/(%)在(-8,一2-石)单调递增，在(-2-右,

—2)单调递减，在(-2,-2+逐)单调递增，在(-2+石，+8)单调递减，故当工二-2-君

和x=—2+>/5时取极大值，/(—2—\[5)=/(—2+5/5)-16.

8.己知函数/.(x)=x2-ar-Inx.

(1)当。=—1时，求函数/(x)的单调区间；

(2)若函数/(x)的最小值为-求参数。的值.

【答案】(1)单调减区间为(og),单调增区间为(2)a=2e-J

【分析】

(1)对函数/(x)求导，然后说明每个区间导数的符号，进而求出函数的单调区间；

(2)求导尸(力=2/.一1,判断函数的单调性可知((力=0存在唯一根%>0,进而知

/(FLn=/(与)=一/,即x；-aro-lnxo=-e2,结合已知与?+111%-l-e?=0,令

/(x)=x2+lnx-l-^(x>0),判断函数的单调性且"e)=0,即可得解.

【详解】(1)当a=—1时，/(q=『+%-加宜%>0),求导/Q)=2x+1」=+1

XX

令/'(x)=0,HP2X2+X-1=(2X-1)(X+1)=0,则玉=-1(舍)；

团当小)<0,/(x)在区间(0,；)单调递减;当xeg+8),_f(x)>0,/(x)

在区间(：，+小调递增；回函数“X)的单调减区间为(0，；),单调增区间为(J，+8)；

(2)/(x)=x2-ax-lnx(x>0),求导得：fr(x)=2x-a--=^X~ax~^,

XX

令M%)=2%2-⑪-1,则A=/+8>0，且〃(X)开口向上，.0)=-1,回存在公>0,使得

当X£(O,X(J,/z(x)<0,/(%)在区间(0,为)单调递减;当X£(X0,+8),/(x)>0,/(X)在

区间(毛,M)单调递增；/(XLin=/(/)=",即年—畛一皿/二川，又2/2一/7=0,

2

两式相减得：x0+Inx0-1-=0,

令，(x)=%2+lnx-l-^2(x>0),求导/(%)=2尢+1>0(尤>0),

x

回函数心)在区间(0,+8)单调递增,且，(数=。团函数心)=0有唯•解Xo=e,

^e~—ae—\r\e=—e2»解得〃=2e—.

e

三、利用基本不等式求最值

1.在中，角A,8,C的对边分别为。渣,。，且2cos3=2a+b,若一ABC的面积为

s=Gc,则必的最小值为()

A.28B.36C.48D.56

【答案】C

〃2.「2_122.2_12

【解析】由条件及余弦定理的推理得2c・==2a+b,整理得

2aca

a2+b2—c2=—ab,cosC=——=——,可得C=^^.又

lab23

S=>]3c=—absin^-=^-ah,可得c=或.

2344

2乃

c1-a2+b2-2abcos——=a2+b2+ab>3ab,当且仅当a=b时等号成立,/.

3

^>3ab,解得彷248.故"的最小值为48.选C.

16

2、在△ABC中，点P满足”=2万不，过点尸的直线与AB,AC所在直线分别交于点M,

N,

若筋=加商，俞=〃就。〃>0,”>0),则帆+2”的最小值为()

A.3B.4

【答案】A

【详解】如图，易知41+BP=AB+1(AC—AB)=^AB+|AC=-^AM+^AN.

2〃n6序-3〃

,：M,P,N三点共线'二茄+五=1'：，m=3n-2,则团+2〃=3〃一2+2〃=3“一2

252

r(3n—2)2+T(3M-2)+T「iq

；-------―――加〃-2)+而乱］+冷s9X2+》s,

当且仅当(3〃-2)=77"二；，即，〃=”=1时等号成立.

(3〃-2)

3.已知抛物线C：V=4x的焦点为尸，过点尸分别作两条直线J4,直线。与抛物线C

交于A、B两点，直线A与抛物线C交于O、E两点，若4与6的斜率的平方和为1,则|阴+|。目

的最小值为()

A.16B.20C.24D.32

【答案】C

【详解】抛物线C：y2=4x的焦点F(L0),设直线［y=k^V),直线昨尸似尸1),由

题意可知，则蜡+%」=1,联立|)’,=4("T)整理得：k2xi-Q婷+4口+婷=0，设4%，y,),

2k2+444

Bg,%),则占+占=-^-=2+77,设。(如y3),£(X4,X.),同理可得：X3+玉=2+广，

攵1K1*2

由抛物线的性质可得：|A3|=X|+々+〃=4+与，。同=工3+工4+〃=4+［~,回

1一1444(婷+右2)44

AB\+DE\=8H-Hr=8H------z~z=8Hz~rN84-----z-----z—=24

III।62"2”2“22Ir2.2，

八］八＜］八八1］八,(八*1।、2、2

当且仅当⑹=妙=；时，上式“="成立.回明+|期的最小值24.

4.三棱柱A8C-48C1中，AB=BC=AC,侧棱A4i，底面ABC,且三棱柱的侧面积为34.

若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为.

【答案】4n

【解析】如图，：三棱柱为正三棱柱，.•.设AiG="，BBi=h,

二三棱柱的侧面积为3a-h=3小，小.

又球O的半径/?=

当且仅当卡=4，且ah=y13,即a=坐,〃=啦时，等号成立.球O的表面积5=

4兀/?224兀

5.已知菱形A5C。，AB=BD=2,现将A48O沿对角线BQ向上翻折，得到三棱锥

A-BCD,若点E是AC的中点，ABDE的面积为，，三棱锥A-5CO的外接球被平面

8OE截得的截面面积为S2,则S1•邑的最小值为

答案：2兀

解析：如图，取3。的中点尸，连接所，DE，BE，CF,A尸，因为CF=AF=J5，

E是中点，所以EFLAC,设NEFC=a(O<a<]),所以EE=Gcos。，

S,=-BDEF=y/3cosa,由ACJ_3E,AC_L£>E得AC_L平面3。石，由球心。到

2

点AC的距离相等，知球心0在平面或史上，又球心。到点氏。的距离相等，得球心O

在直线Er上，则三棱锥A-5CD的外接球被平面班史截得的截面圆的半径等于球的半

径，设为R,且R?=0/2+FO2=Qg2+A£2,

所以1+0尸=(685&-。尸)2+35m2。，得0/=-^-------，所以叱=―L-+1,

，3cosa3cosa

所以S,=4(一/+1),故

3cosa

5・邑二&4(----L-+1)・cosa=6万(——-——+cos022"，

3cos~a3cosa

当cosa='3时等号成立，故的最小值等于2%.

3

A

2Z?——c

6.在AA8C中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且cosC=-------.

2a

(1)求角A的大小；

(2)若A4BC的周长为6,求AA3C面积S的最大值.

【分析】

2Z?—c

(1)在cosC=-------中，利用余弦定理化角为边，可得。2+。2一。2=历，再结合

b1+c2-a2

cosA=,即得解;

2bc

(2)由余弦定理。2=。2+o2—2历cosM以及a+z?+c=6可得机'W4,再利用面积公式

3

S='仇'sinA即得解

2

【详解】⑴由余弦定理，得竺也二£1=丝二£,即〃+/—.2=2/一儿，

2ah2a

r222i

则02+02一。2=",，所以cosA=+C一。=工又0＜A＜一,所以4=工.

2bc23

JT

(2)由题意，a+b+c=6,根据余弦定理，得。2=b2+C?—28ccos1=〃+C?一人。，

则6=a-hb-hc=4b1-\-c2-be+b+c>\[bc+2\[bc=3>fbc9所以力c、<4，当旦仅当

0=c=2时取“=”.所以，AABC面积S=LbcsinA=@bc«J^，故AABC面积S

24

的最大值为6.

2222

7.已知。＞匕＞0,曲线「由曲线G：-+齐■=1(y20)和曲线G：~'＞'―表'=l(y＜0)组成，其

中曲线G的右焦点为月(2,0),曲线c2的左焦点F2(-6,0).

(1)求＞的值;

(2)若直线/过点心交曲线C1于点A,B,求48月面积的最大值.

【答案】⑴⑵最大值为峋叵.

【分析】(1)根据椭圆和双曲线的焦点即可列出式子求解；

(2)设出直线/的方程，与椭圆联立，利用韦达定理可表示出三角形的面积，即可求出最

值.

【详解】⑴由题意：耳(2,0),K(-6,0),J"：+?：=?,解得，=了即卜=2逐

“2-6=4\b2=16\b=4

22

(2)由(1)知，曲线G:L+^-=l(”0),点入(-6,0),设直线/的方程为：x=my-6(〃?>0),

2016

x=my-6

二联立y2得：(5+4/M2)y2-48/«^+64=0,A=(48w)2-4x64x(5+4w2)>0,

---F—=1

12016

又"2>0,m>\y

设人（芭，乂），3（孙必），；』+%=<>2，=2'

J4-4/7?3+4〃Z

仄一必|=Jbi+yjf%=，

-'-AB/面积S=1恒Fj|y_y2|=1x8x1自石-1=64后x'wl］，令t=［府.1>0,

21"T25+4/5+4m2

。646.64石16-r-

.•.相2=产+1,=f"丁，当且仅当f==,即〃?=丫”时等号成立，所以

4t+-22

t

A84面积的最大值为峋叵.

3

8.如图，已知点P（2,2）是焦点为尸的抛物线C:〉2=2px（p<0）上一点，A,B是抛物线C

上异于尸的两点，且直线用，PB的倾斜角互补，若直线雨的斜率为左任<1）.

⑴求抛物线方程；

⑵证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值；

⑶令焦点F到直线AB的距离d,求册一向的最大值.

【答案】⑴y?=2x⑵证明见解析，-;⑶竽

【分析】

（1）待定系数法求解抛物线方程；（2）设出直线方程，联立后得到A点纵坐标，同理得

到8点纵坐标，从而求出直线A8的斜率；（3）在前两间基础上用斜率/表达出

5k--

dd16

\F^~\FB\=45'7一亓—'换元后使用基本不等式求出最大值・

产力+16

【解析】

⑴将点P（2,2）代入抛物线方程可得：p=\,抛物线C：V=2x

⑵设PA-.y-2=k（x-2）（k>1），与抛物线方程联立可得：

,2、AAi八4-4Z2—2k皿2+24

始-2y+4-必=。'口科=7=%=7,用Zl可ZF得J：%=-丁

.=♦-%=%-%=2=」i

因此，"x-xy；y；”+为2,^\ik=--.

AH-----------ABz

22

1f2(l-«y2-2k'//、>>\

n2(1+%)--2+2k

（3）由（1）可知，kB-----7^-----,-----：-----

AB2k1k

\/

2-2A:U2(一)[2-2/

因止匕AB：y---:—=>x+2y-=0

k2

]_____J_=阀一回="4=XB-XA=32K

团网质T两画K+L+l%"(…少;25人2*16

16(5公_4快

0J__J__5^-4__32^___

|M|\FB\2回25k4-24^+16近25/-24r+16

44

5〜」65kl

164

3令1=5%—,由"1得，>1

25人24+工非,-"+16k

d____d__^_t_161<16I275

回国一画[yr+]6y2标一丁

当且仅当/=4=5%-，=4=々=＞普时取等号.向一向的最大值为手.

四、数形结合求最值

1.在矩形A8CO中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与8。相切的圆上,

若AP=2AB+4AO,则4+〃的最大值为（）

A.3B.2ac.75D.2

【解析】A

【解析】如图建立直角坐标系，

2

则4(0,1),3(0,0),。(2,1),P(x,y),山等面积法可得圆的半径为太，所以圆的方程

为3-2)2+9=1

，所以AP=(x,y—1),AB=((),—1),A。=(2,0),由

x=2〃

AP-AAB+/.lAD.得4

y—1=­X

YXX

所以；1+〃=1一丫+1,设2=力一丁+1,即耳一y+l—z=0,点P(x,y)在圆上，所以圆

心到直线

'—y+l—z=0的距离小于半径，所以解得1WZW3,所以z的最大值

25石

为3,即几