正态分布中μ区间估计概率论例题

正态分布中μ的区间估设X~N(μ,σ2)，σ2=σ02，求参数μ的置信度正态分布中μ的区间估设X~N(μ,σ2)，σ2=σ02，求参数μ的置信度例1-α的置信区间分析要估计参数，就涉及统计量；而选取统计量据优良性质准则来选它是无偏、有效X考察统计量所服从的分布2N(这X~ 0n里统计量化为常用分布，再通过临界值确定区间 N(0,1这n0里n1XX 是μ的优良估计2解niN(X~ 0n 令从 ~N(0,1n0n1XX 是μ的优良估计2解niN(X~ 0n 令从 ~N(0,1n0Uu2}1P{u12由标准正态分布的对称性可222从而，前式可化为2}1u1/u/P{即1XuP22n002u12PX从nnμ的置信度为1-α的置信区间为由此可得002u12PX从nnμ的置信度为1-α的置信区间为由此可得 ,X u unn22特别，当σ0=1，样本观测值：u，α的置信区间为#估计量的选例设X~N(μ,σ2)，求参数σ2的置信度为1-α分析当μ未知时，应选统计量为2S要化至常用分估计量的选例设X~N(μ,σ2)，求参数σ2的置信度为1-α分析当μ未知时，应选统计量为2S要化至常用分布，由抽样分布定理可知n~ (n122S2 当μ已知时，应选统计量为i~N(0,12 nn (n2iX~i2ii原因：它是最简单的无偏、有效、相合估量#未知参数的设X~N(μ,σ2)，σ2未知，求参数μ的置信度1-α的置信区间例n21~N( 是μ的优未知参数的设X~N(μ,σ2)，σ2未知，求参数μ的置信度1-α的置信区间例n21~N( 是μ的优良估计，且分析：1.X)nni 思考：是否仍选统计 ~N(0,1n1UP令求得置信区间22选一个统计量去替代：选哪一个较好因为它是σ2的无偏、有效、相合估选 因为σ2未知U不是统计不化至常用分布，应为分布，据抽样分布定X有T~t(n1)SnT的置信区间2(n1)Tt2(n化至常用分布，应为分布，据抽样分布定X有T~t(n1)SnT的置信区间2(n1)Tt2(n1)1t12(n1t2(n1)由分布的对称性Pt2(n1)Tt2(n1)1μ代换后可的置信区间 XSSt(n1),Xt(nnn22比较σ2σ02时，μ的置信区间X#uX00u2nn2零件长度的例从自动机床加工的同类零件中任取16件测得长度为(单位求方差的估计值和置信区间(α=0.05)解设零件长度为X，零件长度的例从自动机床加工的同类零件中任取16件测得长度为(单位求方差的估计值和置信区间(α=0.05)解设零件长度为X，可认为X服从正态分布，用作为方差的估1ixx 12.08(x x 20i1iˆ22故方差的估计值为x)(i下面计算方差的置信区间由于μ未知S2是σ2的优良估计，相应的常用分为12(n22~S2相应的置信区间为n(n1)}1P由于μ未知S2是σ2的优良估计，相应的常用分为12(n22~S2相应的置信区间为n(n1)}1P{22(n1)2S222[(n1)S(n1221),(n1)S(n22查(n1)222(15)22(n1)2(15)12σ2的置信度为0.95的置信区间为[0.0761,即#比较：σ2的估计值婴儿体重的例、假定初生婴儿的体重服从正态分布，随机抽取12名婴儿体重的例、假定初生婴儿的体重服从正态分布，随机抽取12名试以的置信度估计初生婴儿的平均体重以及差解：设初生婴儿体重为XX~N(,2(1)需估计,而2=0.05，n=12，有t0.025(11)= X~t(n QXS3057375.32.201,3057375.3即[2818,3296(2)需估计2,(n1)S，~22(n取2(2)需估计2,(n1)S，~22(n取2(11)=21.92(11)=3.816Q11S22的置信区间为[1549000,1549000[70666,405922.4即#两稻种产量的期望差的置信区例甲、乙两种稻种分别种在10块试验田中，每块田中甲、乙稻种各种一半。假设两种稻种产量X、Y服从10块田中的产量如下表(单位：公斤)，两稻种产量的期望差的置信区例甲、乙两种稻种分别种在10块试验田中，每块田中甲、乙稻种各种一半。假设两种稻种产量X、Y服从10块田中的产量如下表(单位：公斤)，求两稻种产量1-2的置信区间(α=0.05)。解：设，Y~N(2, ，2=22=，)1要估计1-2，取统计(XY)(1 T~t( 221211Snn12甲乙(n1)S2(n1)S 其中 (Y)2 X)2wijnij12由样本表可计nxy11n(n1)S2(n1)S 其中 (Y)2 X)2wijnij12由样本表可计nxy11n 916.9339从而w查tt0.025(18)=可得两稻种产量期望差的置信度为95%的置信区间为1111[XY (n]tt,XY(n12w12wnnnn22121222[140.6126.82.10096],140.6126.82.10096#即[7.536,20]P1WX~N(,22参条统计(枢轴变量置信区μP1WX~N(,22参条统计(枢轴变量置信区μ已UX~ X u,X u 2μ未TX~t(n n X t(n1),X t n n μ已X i2 ~ 2 X X i ,i 2(n 12(n μ未2(n (n1)S (n1)S (n1), (n1) 1 常见的区间估P1