上海黄浦区2024届数学高一第二学期期末教学质量检测试题含解析

上海黄浦区2024届数学高一第二学期期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列是等差数列，，则(

)A．36 B．30 C．24

D．12．已知满足条件，则目标函数的最小值为A．0 B．1 C． D．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A． B． C． D．4．展开式中的常数项为（）A．1 B．21 C．31 D．515．如图，在三角形中，点是边上靠近的三等分点，则()A． B．C． D．6．样本中共有个个体，其值分别为、、、、.若该样本的平均值为，则样本的方差为（）A． B． C． D．7．已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°.则球O的体积为（）A． B． C． D．8．在等差数列{an}中，若a1+A．8 B．16 C．20 D．289．若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数在上的最小值是A． B． C． D．10．正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则的周长为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知角α的终边与单位圆交于点．则___________.12．如图，缉私艇在处发现走私船在方位角且距离为12海里的处正以每小时10海里的速度沿方位角的方向逃窜，缉私艇立即以每小时14海里的速度追击，则缉私艇追上走私船所需要的时间是__________小时.13．已知是第二象限角，且，且______.14．若，且，则__________．15．已知当时，函数（且）取得最小值，则时，的值为__________．16．若各项均为正数的等比数列，，则它的前项和为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知集合，数列的首项，且当时，点，数列满足.（1）试判断数列是否是等差数列，并说明理由；（2）若，求的值.18．设函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）若，求函数的值域.19．在中，已知角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.20．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC=2，点M，N分别是边AB，CD上的点，且MN∥BC，.若将矩形ABCD沿MN折起使其形成60°的二面角(如图)．(1)求证:平面CND⊥平面AMND；(2)求直线MC与平面AMND所成角的正弦值.21．在中，（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

通过等差中项的性质即可得到答案.【题目详解】由于，故，故选B.【题目点拨】本题主要考查等差数列的性质，难度较小.2、C【解题分析】作出不等式区域如图所示：求目标函数的最小值等价于求直线的最小纵截距.平移直线经过点A(-2,0)时最小为-2.故选C.3、C【解题分析】

通过三视图可以判断这一个是半个圆柱与半个圆锥形成的组合体，利用圆柱和圆锥的体积公式可以求出这个组合体的体积.【题目详解】该几何体为半个圆柱与半个圆锥形成的组合体，故，故选C.【题目点拨】本题考查了利用三视图求组合体图形的体积，考查了运算能力和空间想象能力.4、D【解题分析】常数项有三种情况，都是次，或者都是次，或者都是二次，故常数项为5、A【解题分析】

利用向量的三角形法则以及线性运算法则进行运算,即可得出结论.【题目详解】因为点是边上靠近的三等分点,所以,所以,故选:A.【题目点拨】本题考查向量的加､减法以及数乘运算,需要学生熟练掌握三角形法则和共线定理.6、D【解题分析】

根据样本的平均数计算出的值，再利用方差公式计算出样本的方差.【题目详解】由题意可知，，解得，因此，该样本的方差为，故选：D.【题目点拨】本题考查方差与平均数的计算，灵活利用平均数与方差公式进行求解是解本题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.7、D【解题分析】

计算可知三棱锥P－ABC的三条侧棱互相垂直，可得球O是以PA为棱的正方体的外接球，球的直径，即可求出球O的体积.【题目详解】在△PAC中，设，，，，因为点E，F分别是PA，AB的中点，所以，在△PAC中，，在△EAC中，，整理得，因为△ABC是边长为的正三角形，所以，又因为∠CEF=90°，所以，所以，所以.又因为△ABC是边长为的正三角形，所以PA,PB,PC两两垂直，则球O是以PA为棱的正方体的外接球，则球的直径，所以外接球O的体积为.故选D.【题目点拨】本题考查了三棱锥的外接球，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.8、C【解题分析】

因为an则a1所以a5故选C.9、C【解题分析】

由题意得，故得平移后的解析式为，根据所的图象关于点对称可求得，从而可得，进而可得所求最小值．【题目详解】由题意得，将函数的图象向左平移个单位长度所得图象对应的解析式为，因为平移后的图象关于点对称，所以，故，又，所以．所以，由得，所以当或，即或时，函数取得最小值，且最小值为．故选C．【题目点拨】本题考查三角函数的性质的综合应用，解题的关键是求出参数的值，容易出现的错误是函数图象平移时弄错平移的方向和平移量，此时需要注意在水平方向上的平移或伸缩只是对变量而言的．10、C【解题分析】

根据斜二测画法以及正余弦定理求解各边长再求周长即可.【题目详解】由斜二测画法可知,,,.所以.故..故.所以的周长为.故选：C【题目点拨】本题主要考查了斜二测画法的性质以及余弦定理在求解三角形中线段长度的运用.属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

直接利用三角函数的坐标定义求解.【题目详解】由题得.故答案为【题目点拨】本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.12、【解题分析】

设缉私艇追上走私船所需要的时间为小时，根据各自的速度表示出与，由，利用余弦定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．【题目详解】解：设缉私艇上走私船所需要的时间为小时，则，，在中，，根据余弦定理知：，或（舍去），故缉私艇追上走私船所需要的时间为2小时．故答案为：．【题目点拨】本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于中档题．13、【解题分析】

利用同角三角函数的基本关系求出，然后利用诱导公式可求出的值.【题目详解】是第二象限角，则，由诱导公式可得.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.14、【解题分析】根据三角函数恒等式，将代入得到，又因为，故得到故答案为。15、3【解题分析】

先根据计算，化简函数，再根据当时，函数取得最小值，代入计算得到答案.【题目详解】或当时，函数取得最小值：或（舍去）故答案为3【题目点拨】本题考查了三角函数的化简，辅助角公式，函数的最值，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.16、【解题分析】

利用等比数列的通项公式求出公比，由此能求出它的前项和.【题目详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，由，得，且，解得，它的前项和为.故答案：.【题目点拨】本题考查等比数列的前项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）是；（2）.【解题分析】

（1）依据题意，写出递推式，由等差数列得定义即可判断；（2）求出，利用极限知识，求出，即可求得的值。【题目详解】（1）当时，点，所以，即由得，当时，，将代入，，故数列是以为公差的等差数列。（2）因为，所以，，由得，，，故，。【题目点拨】本题主要考查等差数列的定义和通项公式的运用，以及数列极限的运算。18、（1）；（2）.【解题分析】分析：（1）由二倍角公式将表达式化一得到，，令，得到单调区间；（2）时，，根据第一问的表达式得到值域.详解：（1）由令得：所以，函数的单调减区间为（2）当时，所以，函数的值域是：.点睛：本题求最值利用三角函数辅助角公式将函数化为的形式，利用三角函数的图像特点得到函数的值域.19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用边角互化思想得，由结合两角和的正弦公式可求出的值，于此得出角的大小；（2）由余弦定理可计算出，再利用三角形的面积公式可得出的面积．【题目详解】（1）∵是的内角，∴且，又由正弦定理：得：，化简得：，又∵，∴；（2）∵，，∴由余弦定理和（1）得，即，可得：，又∵，故所求的面积为.【题目点拨】本题考查正弦定理边角互化的思想，考查余弦定理以及三角形的面积公式，本题巧妙的地方在于将配凑为，避免利用方程思想求出边的值，考查计算能力，属于中等题．20、（1）见解析；（2）.【解题分析】

（1）转化为证明MN⊥平面CND；（2）过点C作CH⊥ND与点H，则MH是MC在平面AMND内的射影，所以∠CMH即直线MC与平面AMND所成的角.【题目详解】（1）∵在矩形ABCD中，MN∥BC，∴MN⊥ND，MN⊥NC，又∵ND，NC是平面CND内的两条相交直线，∴MN⊥平面CND，又MN平面AMND，∴平面CND⊥平面AMND.（2）由（1）知∠CND＝60°，又，AB＝3，BC=2，MN∥BC，所以CN＝1，DN=2，由余弦定理得，所以∠DCN＝90°，过点C作CH⊥ND与点H，连接MH，则∠CMH即直线MC与平面AMND所成的角，又，所以故直线MC与平面AMND所成角的正弦值为.【题目点拨】本题考查面面平行证明和线面角.面面平行证明