解析几何的三大考点与真题训练

2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（新高考地区专用）

专题1.9解析几何的三大考点与真题训练

考点一：直线与方程

一、单选题

22

1.（2022•河北石家庄•模拟预测）已知双曲线C:「-方=l（a>0力>0）的一条渐近线的

倾斜角为。（其中。为钝角），则双曲线亦离心率为（）

A.-B.-C.—；~~~D.----

sin。cosJsin夕cosg

【答案】D

【分析】由己知可得tanO=-g,而离心率e=：=g=，耳，代入化简即可得答案

【详解】由题意，tane=-2,其中。为钝角

a

故选：D.

2.（2022•河北石家庄•一模）与直线x+2y+l=0垂直，且与圆V+丁=［相切的直线方

程是（）.

A.2工+丫+6=0或2x+y-6=0B.2x+y+5=0或2x+y-5=0

C.2工-丫+q=0或2x-y-6=0D.2x-y+5=0或2x-y-5=0

【答案】C

【分析】设所求的直线方程为2x-），+6=0,解方程1=昔^即得解.

【详解】解：由题得直线*+2y+l=0的斜率为所以所求的直线的斜率为2,

设所求的直线方程为y=2x+瓦，2x-y+〃=0.

因为所求直线与圆相切，所以.•）=土石.

所以所求的直线方程为2x-y+6=0或2x-y-逐=0.

故选：C

3.（2022•山东济南•一模）已知直线点-y+2&=0与直线x+⑪-2=0相交于点R点

A（4,0）,0为坐标原点，则tanN。4P的最大值为（）

A.2-石B.—C.1D.石

3

【答案】B

【分析】根据给定条件求出点用轨迹，再借助几何图形，数形结合求解作答.

【详解】直线区->+2左=0恒过定点”（-2,0）,直线x+由-2=0恒过定点N（2,0）,

而％」+（-1）/=0,即直线6-y+2Z=0与直线x+什-2=0垂直，当月与/怀重合时，PMLPN,

PMPN=0,

当产与，底合时，PMPN=0,令点次苍丫），则丽=（-2-x,-y）,丽=（2-x,-y）,

于是得/+产=4,显然点用刀坏重合，因此，点用佝轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆（除

点，矽卜），如图，

观察图形知，射线力晚点力旋转NOAPe［。，^）,当旋转到与圆。V+y2=4相切时，ZOAP

最大，tanNOA尸最大，

因|OA|=4,4P'为切线，点P为切点，|。〃|=2,ZOP'A=90,PIOZ.OAP'=30,

所以NOAP最大值为30「，（tanNOAP）.=tan30°=弓.

故选：B

【点睛】思路点睛：涉及在垂直条件下求动点的轨迹问题，可以借助向量垂直的坐标表示

求解，以简化计算，快捷解决问题.

4.（2022•山东烟台•一模）过直线x—y—机=0上一点用乍圆曲（x-2『+（广3了=1的两

条切线，切点分别为4B,若使得四边形为，监的面积为近的点P有两个，则实数〃的取值范

围为（）

A.-5<fn<3B.-3<m<5C.加<-5或加>3D.mv-3或机>5

【答案】A

【分析】利用圆的性质可得S=g|PA||M4|+jpB||MB|=|PA|=Jj,进而可得|PM|=2&,结

|2-3一机|r-

合题意可得…<212,即得.

W+（T）

【详解】由圆斑（x-2）2+（>3）2=1可知，圆心用（2,3）,半径为1,

四边形以画的面积为s=MPA\\MA\+^\PB\\MB\=\PA\=布,

/.\PM\=^|M4|2+|PA|2=Jl2+(V7)2=2垃,

要使四边形必,跖的面积为近的点闲两个,

|2-3-同

<272

则"+(可

解得-5<〃?<3.

故选：A.

5.（2022•山东•济南一中模拟预测）已知直线/：x+y-l=O与圆G（x-of+（y+a-l）2=l

交于4晒点，妫坐标原点，则次.丽的最小值为（）.

A.'B.C.近D.；

222

【答案】A

ULTUlUuuuUIT\uuuUIT\,limn.2

【分析】由题意直线/过圆心C,则。4-OB=（zOC+C4）・（zOC+CB）=|oc|-l,（讲直直线

/时，pIUUDq|2取得最小值得出答案.

【详解】圆C的圆心C（”,l-a）,满足a+（l—a）-l=O,所以直线/过圆心C,

uiruiin/Uinnuir,Aiumuur..ULUIuir、,uunuir、,11101,2

所以04.0B=（0C+C4）.（0C+CB）=（0C+C4）.（0C_C4）=|0q-1,

iuun,2,.l-llJ2

当应垂直直线j时，|oc|取得最小值，所以|oq的最小值为1当

所以I|oc|的得最小值为:1，故0ULI40UUU8的最小值为1

故选：A

6.（2022•山东荷泽•一模）已知两条直线4：2x-3y+2=0,/2:3x-2j+3=0,有一动圆

（圆心和半径都在变动）与4,4都相交，并且44被截在圆内的两条线段的长度分别是定值

26,24,则动圆圆心的轨迹方程为（）

A.（y-l）2-x2=65B.x2-（y-l）2=65

C.y2-(x+l)2=65D.(x+l)2-y2=65

【答案】D

【分析】利用点到直线距离公式与圆内弦长与半径关系即可求解.

|2x-3y+2|

【详解】设动圆圆心P（x,y）,半径为广，则P到4的距离4P到4的距离

713

.|3x-2y3|

%-J-+因为4,4被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24,

V13

2;-42=26,"户-寸=24,化简后得产-d：=169,r2-<=l44,相减得<-<=25,

符4=色二泮4,4=段左+3|代入后化简可得(X+1)2_>2=65.

\J13vl3

故选：D.

7.（2022•湖南常德•一模）已知直线4：以-4y-3=0,l,-.x-ay+l=0,则“a=2”是

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据两直线平行，求得。的值，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.

【详解】解：若〃儿,

则有-a2+4=0,解得a=±2,

当a=2时，4：2x_4y_3=0,l2:x-2y+l=0,/,//l2,

当a=—2时，4：2x+4y+3=0,l2:x+2y+l=0,lj/l2,

所以：若4/4，a=±2,

所以“a=2”是“/"〃」的充分不必要条件.

故选：A.

8.（2022•福建•模拟预测）传说，意大利的西西里岛有个山洞是用来关押罪犯的，罪犯

们曾多次密谋商议逃跑，但不管多完美的计划都会被狱率发现，原来山洞内的空间是一个

椭球体，最大截面部分是一个椭圆面，罪犯和狱率所待的地方正好是椭圆的两个焦点，罪

犯们说的话经过洞壁的反射，最终都传向了狱警所在的地方，即椭圆的另一个焦点，这里

面含着椭圆的光学性质.请利用椭圆的该性质解决下列问题：已知P是椭圆C：—+^=1±

43

3

的点.6、B是椭圆C的左右焦点，COS^PF2=~,。为坐标原点，。到椭圆C在尸处的切

线的距离为（）

A.-B.巫C.巫D.-

2233

【答案】B

【分析】先求出尸的坐标，再求出NKP玛的角平分线与x的交点，从而可求切线方程，故

可得。到椭圆C在尸处的切线的距离.

【详解】

由椭圆的时称性，不妨设尸在第一象限.

由椭圆方程［+［=1可得半焦距c=l,故旧用=2,且耳（-1,0）,6（1,0）,

因为cosN耳”=（,故附『+熙「一2阀|陷叶=4,

故（归用+|尸用）2-3尸用归因=4即1MliP&=日，

所以凡附=小用附曲勾鸟=会^^=浮,

故gx2x%=乎即％=乎，故与=孚，

所以归用="1+孚［+］乎］=2+乎,同理|明=2-半，

设功也的平分线交“轴于",则需=^=寻=gW,

3币

故|加国=曰万、2=1-9，故”［，,（）），故kpM=Wj^=\,

7

由题设中的椭圆性质可得过P切线与MP垂直，故切线的斜率为T,

故切线的方程为：y=+-半卜平—+4,

故原点到切线的距离为迎=巫,

V1+12

故选：B

二、多选题

9.（2022•福建福建•模拟预测）下图为陕西博物馆收藏的国宝一一唐金筐宝钿团花纹金

杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范.该杯的主体部分可以近似看作是

j-2v2

双曲线C:二-jT=l（。>O1>O）的右支与直线x=O,y=4,y=-2围成的曲边四边形力倒掷

绕剂旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为呼，下底外直径为

)

A.双曲线阴］方程为H=i

B.双曲线!-V=l与双曲线供渐近线

C.存在一点，使过该点的任意直线与双曲线的两个交点

D.存在无数个点，使它与〃，£两点的连线的斜率之积为3

【答案】ABD

【分析】求出M、N的坐标并代入求出双曲线方程，再逐项判断可得答案.

/一瓦=1f

【详解】依题意可知M（哈4）,N弓*

将M、N的坐标分别代入5-5

=1»

25

16记

得

3?解329

得4a2==

13

一

3?〃

所以双曲线第J方程为：y-^=l,其渐近线为y=±6x,故A正确;

对于B,由可知其渐近线为y=±&,故B正确;

对于C,由双曲线的性质可知，渐近线与双曲线没有交点，与渐近线平行的直线与双曲线有

一个交点，故不存在点，使过该点的任意直线与双曲线的两个交点，故c错误；

对于D,设双曲线上一点尸（"。）,%*0,则苧_普=1,即y—,

由题可知。（-"（））,E（60）,

即存在无数个点，使它与仅册点的连线的斜率之积为3,故D正确.

故选:ABD.

10.（2022•山东•潍坊一中模拟预测）阿基米德（公元前287年——公元前212年）是古

希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之

神”的称号.抛物线上任意两点4、夕处的切线交于点R称△PAB为“阿基米德三角形”.已

知抛物线乙丁=8），的焦点为尸，过4、晒点的直线的方程为&x-3），+6=O,关于“阿基米

德三角形”△RW,下列结论正确的是（）

37

A.|Afi|=—B.PAVPB

C.点曲坐标为（后-2）D.PFYAB

【答案】ABD

【分析】由直线方程与抛物线方程联立，解得AB两点的坐标，计算线段的长判断A,

利用导数的儿何意义求得切线方程，由切线斜率关系判断B,两切线方程联立求得交点户的

坐标判断3由直线PF,A8的斜率关系判断D.

【详解】设A（jq，x），8（%，%），

x2=Sy

联立可得3/—86-48=0,

也x-3y+6=0

解得x=4百或…延，

3

不妨设为=46，XL处，则y=6,

33

故A（46,6）,彳一¥，|，网=小公+竽j+"|j号,A项正确;

又因为y=1,所以"；，故直线力的斜率为竽=5

直线序的方程为丫-6=百1-4⑹，即丫=6-6,

同理可得直线为的方程为y=-W*，kPA-kn=-£x6=-1,

所以R4_LPB,B项正确；

[y=y[ix-f>_46

联立Gx2,可得“"亍,

卜=一亍-3I尸-2

（4百、

故点先勺坐标为竽，-2,c项错误;

k_2+2_厂

易知点蹿J坐标为（。,2）,“4至t,k-k=-5/3x=-1,

。-亍PFAli3

所以依_LAB,D项正确.

故选：ABD.

11.（2022•山东潍坊•一模）已知圆C:x2+V-4y+3=0,一条光线从点*2,1）射出经x

轴反射，下列结论正确的是（）.

A.圆送于游由的对称圆的方程为x2+y2+4y+3=0

B.若反射光线平分圆用勺周长，则入射光线所在直线方程为3x-2y-4=0

C.若反射光线与圆疗目切于4与斓3相交于点8,则|心|+|网=2

D.若反射光线与圆狡于以A两点，则ACMW面积的最大值为3

【答案】ABD

【分析】对于A,由对称的性质直接求解即可，对于B,由题意可知入射光线所在的直线过

点尸(2,1)和(0,-2),从而可求出直线方程，对于C,由题意可知反射光线所在的直线过点

P(2,-1),则|叫+|则=尸即+|刚=|口4],然后由圆的性质可求出|凡4|,进而可求得|尸耳+|则

的值，对于D,设NCMN=e,Oe(°，9,表示弦长和弦心距，可表示出ACW面积，从而

可求出其最大值

【详解】由丁+丁-4丫+3=0,得V+(y-2)2=l,则圆心C(0,2),半径为1,

对于A,圆C：/+y2-4y+3=0关于涮的对称圆的方程为/+丫2+4)，+3=0,所以A正确，

对于B,因为反射光线平分圆山勺周长，所以反射光线经过圆心C(0,2),所以入射光线所在的

直线过点(0，-2),因为入射光线过点P(2,l),所以入射光线所在的直线的斜率为

%==4，所以入射光线所在直线方程为丫+2=。X，即3x-2y-4=0,所以B正确，

对于C,由题意可知反射光线所在的直线过点P'(2,-l),则|叫+|刚=pB|+|网=|PA|,

因为尸-1="(2-Op+(-1-2)2-1=2后,所以|「功+|则=26，所以C错误，

对于D,设NCMN=8,。©(。彳)，则圆心C(°，2)到直线y+l=&(x-2)的距离为

d=sin。，|AfV|=2cos/9,

所以S.CMN=gd|MN|=sin6cos6=；sin26,

TT1

所以当sin20=l,即6时，ACNM面积取得最大值不，所以D正确,

42

故选:ABD

12.(2022•湖南岳阳•二模)下列说法错误的是()

A.“a=-l”是“直线x-殴+3=0与直线0x-y+l=O互相垂直”的充分必要条件

「/「3万、

B.直线xcosa-y+3=0的倾斜角6的取值范围是0,—u—,n

L4jL4)

C.若圆G：x2+y、6x+4y+12=0与圆C2：x2+y2-i4x-2y+“=0有且只有一个公共点，则

。二34

D.若直线y=x+方与曲线y=3—14尤有公共点,则实数6的取值范围是[1-2夜,3]

【答案】AC

【分析】当a=-1时，可判断直线》-冲+3=0与直线以-y+l=0互相平行，判断A;根据直

线的方程可求得斜率，进而求得倾斜角的范围，判断B;根据圆G：x2+V-6x+4y+12=0与

圆G：f+y2-14x-2y+a=0有且只有一个公共点，判断出两圆的位置关系，求得a的值，

判断C;求出曲线y=3-"7二7表示的几何图形，数形结合，求得力的范围，判断D.

【详解】对于A,当4=一1时，x+y+3=0与直线一x-y+l=O互相平行，即“a=—1”不是“直

线x-ay+3=0与直线or-y+l=。互相垂直”的充分条件，故A错误；

对于B,直线xcosa-y+3=0的倾斜角。满足tan。=cosac[-1JJ,

故。€『0闱」苧,/,故B正确；

L4」[4)

对于C,圆弓：/+^力工+分+已功的圆心为⑶与)，半径r=l,

圆6"2+丫2-14》-2丫+°=0的圆心为(7,1),半径R=j50-a,("50),

两圆有且只有一个公共点，则两圆外切或内切，

2222

则5/(3-7)+(-2-1)=5=1+J50-a或^/(3-7)+(-2-1)=5=|1--5(),

解得a=34或。=14,故C错误；

对于D,曲线尸3-"7二？可化为3-2)2+(丫-3)2=4,(”3),表示以(2,3)为圆心，半径

为2的半圆，如图示：

忆「

y=x+b

直线y=x+〃与曲线y=3一“有公共点，则直线y=x+"与圆相切或过点(0,3),

当直线和圆相切时，三落红=22浮=2，解得6=1-2夜，

当直线过点(0,3)时，b=3,则数6的取值范围是［1-2及,3］,故D正确，

故选：AC

13.(2022•广东广东•一模)下列说法正确的是()

A.已知直线4：伏一3)x+(4-Z)y+l=0与4:2(；:—3)x-2y+3=O平行，贝必的值是3

B.直线奴-y-A=。与圆V+9=2的位置关系为相交

C.圆x2+J+2x+4y-3=0上至IJ直线x+y+l=。的距离为友的点共有3个

D.已知/C、M为圆。：/+产=4的两条相互垂直的弦，垂足为则四边形力及诩

面积的最大值为10

【答案】BC

【分析】A由直线平行的判定求参数，注意验证是否重合；B根据直线所过的定点与圆的位

置关系判断即可；C由圆心到直线的距离与半径的关系即可判断；D设圆心0(0。到AC,BD的

距离分别为九"，则>+〃2=|OM|2=3及S-=glAC||BO|,结合基本不等式求最大值即

可判断.

【详解】A：由平行知：2(%-3)(4-&)+2(%-3)=2伏—3)(5-幻=0,则&=3或4=5,当力=3

时有《：丫+1=0,，2：3-2y=0满足题设，当％=5时有《：2x-y+l=0,:4x-2y+3=0满足

题设，故左=3或后=5,错误；

B：由奴-y-左=0过定点(1,0),而(L0)在圆产+丁=2内，故它们的关系为相交，正确；

C：由题设知：圆的标准方程为(x+l>+(y+2)2=8,则圆心为(-L-2),半径为2亚，所以圆

心至l」x+y+l=0距离为正，易知圆上点到直线距离为0的点共有3个，正确；

D：设圆心0(0,0)到AC,B£>的距离分别为〃?,〃，则£+"2=|OM|2=3,又AC,3。相互垂直，

所以SABCD=J4C||BD|=2J(4-加)a_/)=2”+病〃？，］fn+n^=3>2mn,即相当

且仅当〃?=〃=如时等号成立，故⑸皿)a=5,故错误.

2

故选：BC

14.(2022•江苏•南京市第五高级中学一模)设动直线/：尔-y-2“+3=0(meR)交

圆a(》-4)2+(>-5)2=12于4,晒点(点防圆心)，则下列说法正确的有()

A.直线/过定点(2,3)

B.当卜却取得最大值时，m=l

C.当//位最小时，其余弦值为:

D.而.正=回的最大值为24

2

【答案】ABD

【分析】将直线方程变形为皿x-2)-y+3=0,即可求出直线/过的定点进而判断A；

结合选项A可知定点(2,3)在圆球J内部，进而当直线/过圆心时|AB|最大，即可判断B；

根据点线之间的距离可知当CM_LAB时ZACB最小，结合余弦定理计算即可判断C；

UUUUUIU

根据题意可知当A5为直径时AbAC取得最大值，即可判断D.

【详解】选项A,由/:kw-y-2〃?+3=0(mwR)整理得小(工一2)-y+3=O(〃2£R),

fx—2=0fx=2

当o八即/寸，不论加为何值时，加(X—2)-y+3=°(meR)都成立，

[-y+3=0(y=3

所以直线/过定点(2,3),故A正确；

选项B,因为直线/过定点(2,3),将定点代入圆C：(2-4尸+(3-5尸=8<12,

所以定点(2,3)在圆C的内部，当直线，过圆心(4,5)时，IA例取得最大值，

此时4"z-5-2〃z+3=0,解得：，〃=1,故B正确；

选项C,设直线/过的定点〃(2,3),当CMLAB时，圆心到直线的距离最大，

即gzACBe0,方的余弦值最大，结合余弦在[o,$上单调递减，可得ZACB最小，

而CM="(2-4>+(3-5)2=2及,所以AB=2"(26>—(20了=4,

所以在AABC中，cosZACB=0^^半=故C不正确；

2x2V3x2V33

选项D,AB-AC=|A月|•|AC\-cosZBAC=当f,

UUUUUU

所以当AB为直径时，ABAC取得最大值，

此时而.沅=处皿=24,所以威.泥的最大值为24,故D正确.

2

故选：ABD

三、填空题

15.（2022•福建漳州•一模）已知椭圆夕+?=1（。＞匕＞0）,/是左焦点，/为下顶点，若

上顶点、右顶点到直线/解J距离之比为言必，椭圆的四个顶点的连线围成的四边形的面

积为30,则椭圆的离心率为.

【答案】々

【分析】设出椭圆左焦点坐标，求出直线十•方程，利用给定条件列式并求出劭即可求解作

答.

【详解】令椭圆左焦点尸（-c,O）（c=^/^F），而40，-加，则直线力防程为：—+4=1＞

—c—b

即bx+cy+bc=O,

2bc

又上顶点、右顶点分别为（0,圾3,0）,依题意有：-^5-=-=-^,即二=±成，

ab+bca+c1+e1+e135

a

又椭圆的四个顶点的连线围成的四边形的面积为30,即2幼=30,解得必=15,则有

2

4e•=《2，解得e=；,

]+e97

2

所以椭圆的离心率为e=,.

故答案为：]

16.（2022•湖北•一模）已知抛物线丁=4x的焦点为月点1促抛物线上异于顶点的一点，

OM=2ON（点妫坐标原点），过点川作直线掰的垂线与湘交于点R则2|。外-|腕|=

【答案】3

【分析】设加伸,％],则N停,易得直线样的方程为y-普=一斗（》-切，求得

k47k82724kJ

P仔+2,。],结合抛物线的定义即可求解.

【详解】依题意，设M忤,%）,由丽'=2而，得A为的中点且N仔,，

（2,

4易得直线。河的垂线桥的方程为=-外吟

则心的=一

）'o

令尸0,得x=]_+2,故p（牛■+2,0

由抛物线的定义易知…=41,

故2|OP|-|MF|=2停+2)-仔+1]=3.

故答案为：3

17.(2022•江苏江苏•二模）已知双曲线=1（«>0,6>0））的左、右焦点分别是

耳，鸟,P（,y）,Q（孙为）是双曲线右支上的两点，玉+乂=占+%=3.记aPQFgPQF。的周长

分别为c，G，若c-a=8,则双曲线的右顶点到直线PQ的距离为.

【答案】也

2

【分析】根据题意，结合双曲线的定义爹

【详解】解：根据双曲线的定义，C>-C2=（PQ+PFi+QFi）-（PQ+PF2+QF2）=4a=8.

所以。=2,故双曲线右顶点（2,0）,

因为玉+%=毛+%=3,

所以「在x+y=3上，Q在x+y=3上，即直线PQ方程为：x+y-3=O,

所以双曲线的右顶点到直线PQ的距离为d=J==*.

V22

故答案为：

2

考点二：圆与方程

一、单选题

1.（2022•河北邯郸•一模）已知直线x-y+，〃=O与圆C：%2+y2+4y=0fflCTA,B两

点，若画•通=0,则加的值为（）

A.Y或0B.T或4C.0或4D.T或2

【答案】A

【分析】将圆的一般方程化为标准方程，利用数量积为0得到圆心角为直角，再利用点到直

线的距离公式进行求解.

【详解】由/+/+今=0,得工2+（丫+2）'=4,

则圆心为C（0,-2）,半径为2,

SC4CB=0.得C4_LCB,

即圆心C至IJ直线x-y+〃?=O的距离为2x也=血，

2

即夜=—f=—,即m=0或，"=Y.

V2

故选：A.

2.（2022•湖南湖南•二模）若直线），=&x与圆（犬-4+丫2=2,>0）相切，则。=

（）

A.V3B.2C.3D.273

【答案】A

【分析】利用圆心到直线的距离为半径可求。.

【详解】因为圆心坐标为（。,0），半径为夜，

所以该圆心到直线&x-y=0的距离d=Eg=夜，结合。>0解得a=G.

石

故选：A.

3.（2022•广东梅州•二模）已知直线/：y=依与圆C*2+y2-6x+5=0交于A、8两点,若

△ABC为等边三角形，则上的值为（）

A.昱B.—C.土旦D.土也

3232

【答案】D

【分析】分析可知C到直线/的距离为d=2sin?=G,再利用点到直线的距离公式可得出

关于上的等式，即可解得实数k的值.

【详解】圆C的标准方程为（x-3『+y2=4,圆心为C（3,O）,半径为2,

由题意可知，圆心C到直线/的距离为4=2$吊。=6,

由点到直线的距离公式可得d=*L=6，解得A=土也.

yJk2+12

故选：D.

4.(2022•江苏连云港•二模)直线/：y=-x+l与抛物线C：/=以交于A,B两点，

圆M过两点A,8且与抛物线C的准线相切，则圆M的半径是()

A.4B.10C.4或10D.4或12

【答案】D

【分析】根据直线与抛物线相交，利用根与系数的关系可得4展标间的关系，设圆佣勺圆

心为做a,6),半径为八利用圆心在y=r+l的中垂线上及圆心到准线的距离等于半径建

立方程组求解即可.

【详解】可设4和凶)，8区,必)，由>,,联M消去x可得，/+4>-4=0,

y=-x+l

则X+%=-4,即,+%=-占+1-迎+1=-4,则%+々=6,可得/砸中点坐标为P(3,-2),则

|Afi|=xl+l+x2+l=8,且4碘垂直平分线方程为：y-(-2)=l-(x-3),即y=x-5,则可设

圆」描圆心为必(a,b),半径为r,所以6=。-5,则圆麻J方程为。-4+(丫-4=/，即

(x-a)2+(y-a+5)2=r2,又圆心〃(a,6)到直线/:y=-x+l的距离d=।「惜"J2%6|

且满足旁AR产+八产,

则16+2(“-3)2=/①，又因为圆/西抛物线儆准线相切，所以|a+l|=r,

”3Ja=ll

即/②，①②联立解得I或

(a+l)=\r=l2,

故选：D

二、多选题

5.(2022•河北石家庄•二模)已知圆G：(x-l)、(y-3)2=ll与圆

222

C2-.x+y+2x-2my+m-3=O,则下列说法正确的是()

A.若圆与/由相切，则"7=2

B.若，〃=-3,则圆G与圆C2相离

C.若圆C与圆有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x+(6-2⑼y+1+2=0

D.直线质-y-2&+i=0与圆G始终有两个交点

【答案】BD

【分析】根据圆与y轴相切可求出展^断A,由圆心距与半径和的关系可判断B,根据两圆的

方程相减可得公共弦所在直线方程判断C,根据直线系过定点及定点与圆的关系可判断D.

【详解】因为G：(x-l)2+(y-3)2=11，G:(x+l)2+(y-w)2=4,

所以若圆C2与谕相切,则有若|=2,故A错误;

当m=-3时，|£GI=J(l+iy+(3+3)2=2亚>2+而,两圆相离，故B正确；

由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程4x+(6-2nz)y+]-2=0,

故C错误；

直线丘7-2%+1=0过定点(2,1),而(2-1)2+(1-3)2=5<11,故点(2,1)在圆

C1：(x-l)2+(y-3)2=ll内部，所以直线设一y-2Z+l=0与圆G始终有两个交点，故D正确.

故选:BD

6.(2022•福建龙岩•一模)已知点P"。,%)是直线/：x+y=4上的一点，过点祚圆

。:一+丁=2的两条切线，切点分别为儿B,连接OAO8,则()

A.当四边形。4PB为正方形时，点隅坐标为(2,2)B.IPAI的取值范围为[指,+8)

C.当△PA8为等边三角形时，点/的坐标为(1，3)D.直线A3过定点

【答案】BD

【分析】根据距离公式及圆心切点构成的直角三角形求解，再利用过定点的判断法则进行

判断即可.

【详解】解：

对于A选项：当四边形OA/归为正方形时，则|。4|=|。@=|明=|即

贝(I圆0:x?+_/=2=>厂=&

;.|尸0|="(应)2+(0)2=2

又点尸(不，>0)是直线l-x+y=4上的一点

设尸(%,4-%)

222

.-.|PO|=7(XO-O)+(4-XO-O)=J2x,；-8xo+16=2,BPx0-4x0+6=0

该方程/<0,x“无解

故不存在点P使得OAPB为正方形，A错误；

对于B选项：由A知，|PA|=

2222

.•.|PO|=X0+(4-X0)=2x0-8xn+16=2(x0-2)+8>8

.-.|PO|2-2>6,则1PAl2#,即E4的取值范围是［阮+8)

故B正确；

对于选项C：若三角形△E4B为等边三角形为等边三角形，易知ZAPB=60°

又OP平分NAPB

ZAPO=NBPO=30"

在用AP4O41,由于|Q4|=出

sin30°=回n\OP\=2&

\OP\11

又尸点坐标为：(％,4-Xo)

2

/2+(4-/)2=8,即2x02_8x0+8=0n(xo-2)=O

x°=2,%=2,故c错误；

对于选项D：•.•?(%,4-%))

222

|PO|=x0+(4-x0)=2AQ-8x0+16

记OP中点为苧)

则以D为圆心，改为半径的圆与圆。的公共弦为A3

2

.・・圆£>方程为(x—今)=；(2/2一8%+16)

2

整理得x+/-xux-(4-xo)y=0

联立卜之一厂(4-6=。，化简得犷+(4f)y=2

x~+y=2

即得直线方程为依+（4-x°）y-2=0

聘x=y=g代入方程恒成立：故直线A8过定点（右；），D正确.

故选：BD

7.（2022•山东淄博•一模）若圆G：/+丁=1与圆C?：（苫-。）2+（丫-0）2=1的公共弦/8

的长为1,则下列结论正确的有（）

A.a2+Z?2=1

B.直线伽方程为2以+2力，-3=0

C.｛肿点的轨迹方程为f+y2==

D.圆G与圆公共部分的面积为空-3

32

【答案】BC

【分析】两圆方程相减求出直线力戚方程，进而根据弦长求得02+从=3,即可判断AB选项；

然后由圆的性质可知直线CG垂直平分线段AB,进而可得C,（0,0）到直线

2妆+2力_/-〃=0的距离即为回点与点弓的距离，从而可求出新中点的轨迹方程，因

此可判断c选项；对应扇形的面积减去三角形的面积乘以2即可求出圆与圆G公共部分的

面积，即可判断D选项.

【详解】两圆方程相减可得直线礴方程为。2+呼-京-彻=0,即2ax+2by-a2-b2=0,

因为圆C的圆心为G（0,0）,半径为1,且公共弦的长为1,则C（0,0）到直线

Au~+b~5/3

2四+2缈y=0的距离为：y_,所以//272\=亍，解得4+〃=3,

22

所以直线/耶方程为2ar+孙-3=0,故A错误，B正确；

由圆的性质可知直线GG垂直平分线段A8,所以G（0,0）到直线2办+2加-1-从=0的距

离即为四中点与点C,的距离，设/外点坐标为（x,y）,因此J（x-0y+（y-0）2泻,即

a

f+故c正确；

4

因为4B=G4=CIB=1,所以NBGA=q,即圆G中弧AB所对的圆心角为（，所以扇形的

面积为1\.乂12"，三角形GAB的面积为lxlxlx3=立，所以圆G与圆G公共部分

---X4X1=—7?4

246224

的面积为2x11-用=9一书，故D错误.

\o4/32

故选：BC.

【点睛】圆的弦长的常用求法：

(1)几何法：求圆的半径为八弦心距为d,弦长为/,则7=277^：

(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|=7i7F|x,-x2|.

8.(2022•湖北•一模)已知直线/：6-y-4+l=O,圆派方程为(x-2>+(y+2)2=16,

则下列选项正确的是()

A.直线］与圆一定相交

B.当A=0时，直线/与圆筏于两点M儿点£是圆比的动点，则JWNE面积的最大值为3近

C.当/与圆有两个交点机A时，|扬V|的最小值为2#

D.若圆占坐标轴分别交于4B,C,硒个点，则四边形力85的面积为48

【答案】AC

【分析】由直线过定点在圆内判断A,由圆上点到直线的距离的最大值，求得三角形面枳最

大值判断B,当定点与圆心连线垂直于直线/时，弦长最短，由勾股定理计算可得弦长，判

断C,求出圆与坐标轴的交点坐标，由面积公式计算面积判断D.

【详解】直线，:五7-八1=0过定点尸(1，1),(1-2)2+(1+2)2<16,尸在圆内,因此直线/

定与圆相交，A正确；

&=0时，直线为，=1,代入圆方程得(X-2)?+9=16,x=2土#i,因此|MN|=2>/7,

圆心为C(2,-2),圆半径为，=4,圆心到直线/的距离为d=3,因此E到直线/的距离的最

大值为〃=4+3=7,JWNE的面积最大值为S=gx7x2V7=7近，B错；

当/与圆有两个交点机八时，也耳的最小时，PCII,\PC\=7(1-2)2+(1+2)2=Vio,

因止匕|MN|n“n=2#-(而丫=2底,C正确；

在圆方程(x-2)2+(y+2)2=16中分别令x=0和y=0可求得圆与坐标轴的交点坐标为

A(2-2瓜0),8((2+2囱,0),C(0,-2+2乖5。(0,-2-26)，

同却=4百，|必=4#，四边形ABCO面积为S=gx46x46=24,D错.

故选：AC.

9.(2022•广东广州•一模)已知直线/:x+y-夜=0与圆C:(x-iy+(y+l)2=4,则

()

A.直线/与圆少目离

B.直线/与圆少目交

C.圆C上到直线/的距离为1的点共有2个

D.圆灶到直线/的距离为1的点共有3个

【答案】BD

【分析】根据直线与圆的位置关系可判断.

【详解】由圆C:(x-iy+(y+l)2=4,可知其圆心坐标为(1,-1),半径为2,

圆心(1,7)到直线/:x+y-&=0的距离=!所以可知选项B,D正确，选项A,

v3r+9F

C错误.

故选:BD

10.(2021♦江苏•模拟预测)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点4B

的距离之比为定值儿(儿W1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直

角坐标系*。抻，4(-2,0),8(4,0),点丹荫足谒.设点用轨迹为4则下列结

论正确的是()

A.轨迹亦方程为(*+4)2+/=9

B.在x轴上存在异于月，砸两点〃碓得博

\PE\2

C.当4B,2三点不共线时，射线如是/加力的平分线

D.在此存在点M使得|MO|=2|M4|

【答案】BC

【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.