重庆市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题含解析

重庆市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题2023年秋高二（上）期末联合检测试卷数学数学测试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.在等差数列中，，则（）A. B.1 C.2 D.43.若方程表示的曲线是双曲线，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.4.正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（）A. B. C. D.5.古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列．那么1指节是（）A.兔尘 B.羊尘 C.兔尘 D.羊尘6.已知直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则（）A.4 B.6 C.8 D.107.正三棱柱的所有棱长均相等，E，F分别是棱上的两个动点，且，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为（）A.1 B. C. D.8.己知是椭圆的左焦点，过椭圆上一点P作直线与圆相切，切点为Q，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设，已知数列为等比数列，则（）A.一定为等比数列 B.一定为等比数列C.当时，一定为等比数列 D.当时，可能为等比数列10.直线与圆相交，则弦长可能为（）A.2 B.3 C. D.511.类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量，已知平面上定点，对于平面上任意点，根据可得平面的方程为．则在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（）A.若平面过点，且法向量为，则平面的方程为B.若平面的方程为，则是平面的法向量C.方程表示经过坐标原点且斜率为的一条直线D.关于x，y，z的任何一个三元一次方程都表示一个平面12.已知点M，N是双曲线上不同两点，则（）A.当M，N分别位于双曲线的两支时，直线的斜率B.当M，N均位于双曲线的右支上时，直线的斜率C.线段的中点可能是D.线段的中点可能是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线与，若，则实数m的值为___________．14.己知是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得，则椭圆的离心率为___________．15设，数列满足，若，则__________．16.已知圆，圆，若存在使得两圆有公共点，则实数a的取值范围为___________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记数列的前n项和为，已知．（1）求数列的通项公式；（2）在数列中，从第二项起，每隔三项取出一项组成新的数列，求数列的前n项和．18.设点是椭圆的左、右顶点，动点P使得直线与的斜率之积为2，记点P的轨迹为．（1）求的方程；（2）设过原点O直线l与动点P的轨迹交于A，B两点，与椭圆C交于E，F两点，若，求直线l的方程．19.在如图所示的四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E，F分别在棱AB，PC上，且满足，．（1）证明：平面PAD；（2）若平面底面ABCD，和为正三角形，求直线EF与底面ABCD所成角的正切值．20.已知数列是等比数列，．（1）求数列的通项公式；（2），记数列前n项和为，若对于任意，都有，求实数的取值范围．21.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．在如图所示的“阳马”中，侧棱底面ABCD，．记的重心为G．（1）求点G到平面PBC的距离．（2）求平面GBD与平面PBC夹角的大小．22.已知双曲线的渐近线为，双曲线与双曲线C的渐近线相同，过双曲线的右顶点的直线与，在第一、四象限围成三角形面积的最小值为8．（1）求双曲线的方程；（2）点P双曲线上任意一点，过点P作依次与双曲线C和交于A，B两点，再过点P作依次与双曲线C和交于E，F两点，证明：为定值．2023年秋高二（上）期末联合检测试卷数学数学测试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直线垂直于x轴可得结果.【详解】由直线得，所以直线垂直于x轴，即直线的倾斜角为，故选：B.2.在等差数列中，，则（）A. B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】设出公差，根据题目条件得到方程组，求出首项.【详解】设公差为，则，解得.故选：C3.若方程表示的曲线是双曲线，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】若方程表示的曲线是双曲线，即或，等价于，从而得到m的取值范围。【详解】因为方程表示的曲线是双曲线，所以，即或.故选：D4.正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】ABC选项，可直接看出是否共面，结合基底的概念判断出答案；D选项，利用表达出三个向量，设，得到方程组，无解，得到不共面，能作为空间中的一组基底.【详解】A选项，共面，不能作为空间中的一组基底，A正确；B选项，不共面，能作为空间中的一组基底，B错误；C选项，不共面，能作为空间中的一组基底，C错误；D选项，因为，，设，即，，无解，故不共面，能作为空间中的一组基底，D错误.故选：A5.古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列．那么1指节是（）A.兔尘 B.羊尘 C.兔尘 D.羊尘【答案】A【解析】【分析】设1微尘为，求出1兔尘为，1羊尘为，1指节为，从而可得答案.【详解】设1微尘为，因为微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度，构成了公比为7的等比数列，所以1窗尘为，1兔尘为，1羊尘为，1牛尘为，1虮为，1虱为，1芥子，1大麦，1指节为，因为，所以1指节是兔尘，A正确，C不正确；因为，所以1指节是羊尘，BD不正确；故选：A.6.已知直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【分析】通过抛物线的定义得到，又通过点差法，得到，通过线段AB的中点为，得到AB的斜率。又因为，从而得到的值，从而得到.【详解】抛物线的焦点为，直线过点坐标，设，，因为在抛物线内部，且直线不包含斜率为0的情况，则直线与抛物线必有两交点，因为线段AB的中点为，所以，作差后可以得到，即可以得到，则由于抛物线定义，则故选：C7.正三棱柱的所有棱长均相等，E，F分别是棱上的两个动点，且，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，以A为原点，方向分别为x，z轴正方向建立空间直角坐标系，从而得到和的坐标.又因为，从而得到异面直线BE与AF夹角余弦的最大值.【详解】设，以A为原点，方向分别为x，z轴正方向建立空间直角坐标系，可得，，故所求角的余弦值为，当时取“”．故选：D8.己知是椭圆的左焦点，过椭圆上一点P作直线与圆相切，切点为Q，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设为的圆心，利用椭圆定义和勾股定理得到，设，得到单调递增，从而求出最值，得到取值范围.【详解】设为椭圆的右焦点，由题知，故，显然为的圆心，则，由椭圆定义得，故，令，理由如下：设，，则，，故，因为，所以，，函数均单调递增，故在上单调递增，所以.故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设，已知数列为等比数列，则（）A.一定为等比数列 B.一定为等比数列C.当时，一定为等比数列 D.当时，可能为等比数列【答案】ABD【解析】【分析】设出的公比为，AB选项，利用等比数列的定义进行判断；CD选项，可举例说明.【详解】设的公比为，A选项，，故一定为等比数列，A正确；B选项，，故一定为等比数列，B正确；C选项，不妨设，此时公比为1，则，故不是等比数列，C错误；D选项，不妨设，此时，所以当时，可能为公比为1的等比数列，D正确.故选：ABD10.直线与圆相交，则弦长可能为（）A.2 B.3 C. D.5【答案】BC【解析】【分析】求出恒过定点，从而得到弦长的最小值和最大值，得到答案.【详解】的圆心为，半径为，变形为，故恒过定点，由于，故在圆内，当与直线垂直时，弦长最短，此时弦长，当过点时，弦长最长，为直径4，故弦长可能为3或.故选：BC11.类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量，已知平面上定点，对于平面上任意点，根据可得平面的方程为．则在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（）A.若平面过点，且法向量为，则平面的方程为B.若平面的方程为，则是平面的法向量C.方程表示经过坐标原点且斜率为的一条直线D.关于x，y，z的任何一个三元一次方程都表示一个平面【答案】ABD【解析】【分析】A：根据条件写出平面的方程并化简；B：先分析方程对应的一个法向量，然后根据法向量与之间的关系作出判断；C：与题设方程作对比，然后作出判断即可；D：设出三元一次方程的一般形式，然后与题设方程对比并作出判断.【详解】对于A：根据题设可知平面的方程为，即为，故A正确；对于B：因为平面的方程为，由题设可知平面的一个法向量为，且即共线，所以是平面的法向量，故B正确；对于C：，该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故C错误；对于D：设，其等价于，该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故D正确；故选：ABD.12.已知点M，N是双曲线上不同两点，则（）A.当M，N分别位于双曲线的两支时，直线的斜率B.当M，N均位于双曲线的右支上时，直线的斜率C.线段的中点可能是D.线段的中点可能是【答案】AD【解析】【分析】由题意先得渐近线斜率，结合直线与双曲线的位置关系即可判断AB，由点差法求直线的斜率，注意验证此时直线是否与双曲线有交点即可.【详解】双曲线渐近线为，当M，N分别位于双曲线的两支时，直线MN较渐近线更平缓，故，当M，N均位于双曲线的右支上时，直线MN较渐近线更陡，故，所以A对B错；记，中点，由M，N是双曲线C上点，有，两式相减可得，当时，有，对于C，与双曲线方程联立可知直线MN与方程无交点，故C错；对于D，，故此时M，N分别位于双曲线的左右两支，故D正确．故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线与，若，则实数m的值为___________．【答案】1【解析】【分析】根据平行关系得到方程，求出，验证后得到答案.【详解】由直线平行得到，解得，此时，与不重合，平行，满足要求.故答案为：114.己知是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得，则椭圆的离心率为___________．【答案】【解析】【分析】求出，由椭圆定义得到，求出离心率.【详解】因为，所以，由椭圆定义得，即，故离心率.故答案为：15.设，数列满足，若，则__________．【答案】2【解析】【分析】由题意结合新定义的数列逐步往前迭代即可列方程求解.【详解】，所以．故答案：2.16.已知圆，圆，若存在使得两圆有公共点，则实数a的取值范围为___________．【答案】【解析】【分析】根据两个圆的圆心位置，结合圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】由圆的标准方程可知，设，所以有，故点C在直线上，点D在以为圆心，2为半径的圆上，故圆D上的点均在以M为圆心，3为半径的圆上及其内部，由题意可知圆与圆C有交点，即，解得．故答案为：【点睛】关键点睛：判断圆D上的点的在圆M上，是解题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记数列的前n项和为，已知．（1）求数列的通项公式；（2）在数列中，从第二项起，每隔三项取出一项组成新的数列，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据数列的求和公式，利用其与通项的关系，可得答案；（2）根据数列的通项公式，写出的通项公式，利用等差数列的求和公式，可得答案.【小问1详解】由题：，当时，有，两式相减可得：，当时，，不满足上式，故；【小问2详解】由题可知，由于，故，故.18.设点是椭圆的左、右顶点，动点P使得直线与的斜率之积为2，记点P的轨迹为．（1）求的方程；（2）设过原点O的直线l与动点P的轨迹交于A，B两点，与椭圆C交于E，F两点，若，求直线l的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设动点，根据条件得到方程，变形后得到轨迹方程，注意；（2）由对称性得到，不妨设点A，E在同一象限，设，则，得到方程组，求出求出直线l的斜率，求出方程.【小问1详解】由题意得，设动点，则动点P不与点相同，即，∴直线的斜率为，直线的斜率，由题意得，即，，即动点P的轨迹的方程为：；【小问2详解】轨迹是以原点O为中心的双曲线，轨迹、椭圆C、直线l都关于原点O中心对称，由，则，不妨设点A，E在同一象限，则点E为OA的中点，设点，则直线l的斜率为，，，，即，，即，直线l的方程为．19.在如图所示的四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E，F分别在棱AB，PC上，且满足，．（1）证明：平面PAD；（2）若平面底面ABCD，和为正三角形，求直线EF与底面ABCD所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）过点F作并交PD于点G，则四边形是平行四边形，利用线面平行判定定理即可证明；（2）过点F作于点O，连接OE，由面面垂直的性质可得底面ABCD，进而确定直线EF与底面ABCD所成角，设，解三角形即可.【小问1详解】在中过点F作并交PD于点G，则，由得，由得，是平行四边形，，是平行四边形，，而平面PAD，平面PAD，平面PAD；【小问2详解】在平面PCD中过点F作于点O，连接OE，若平面底面ABCD，由平面底面ABCD，平面，底面ABCD，即为直线EF与底面ABCD所成角，设，则，在，由题意知底面ABCD是菱形，，取EB的中点M，连接CM，则四边形为平行四边形，有，在中，，由余弦定理，得，故，在，，∴直线EF与底面ABCD所成角正切值．20.已知数列是等比数列，．（1）求数列的通项公式；（2），记数列的前n项和为，若对于任意，都有，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等比数列通项公式列方程组求解（2）裂项相消法求出，求其最值，得答案.【小问1详解】设数列的首项为，公比为q，由题意得所以数列的通项公式为【小问2详解】，由恒成立，可知．21.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．在如图所示的“阳马”中，侧棱底面ABCD，．记的重心为G．（1）求点G到平面PBC的距离．（2）求平面GBD与平面PBC夹角的大小．【答案】（1