广西南宁2021-2022学年高考仿真模拟数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若z=l+(l-a)i(aeR),|z|=&，则。=()

A.0或2B.0C.1或2D.1

2.要得到函数y=2sin2x+‘■的图象，只需将函数y=2cos2x的图象

A.向左平移!•个单位长度

B.向右平移（个单位长度

C.向左平移J个单位长度

D.向右平移2个单位长度

3.在钝角AA6c中，角A,8,C所对的边分别为8为钝角，若acosA=bsinA,贝！IsinA+sinC的最大值

为（）

l97

A.V2B.-C.1D.-

~88

4.已知角”的终边经过点P（-4〃7,3,祖〃件0）,则2sina+cosa的值是（）

2222

A.1或一1B.彳或一gC.1或一gD.T或g

2x+l,x<0]

5.已知函数/（x）=hnqX〉。，则方程r/[f（x）]=3的实数根的个数是（）

A.6B.3C.4D.5

6.AABC的内角的对边分别为兄0,c,若（2a-4）cosC=ccosB,则内角。=（)

兀兀〃不

A.-B.—C.—D.一

6432

%%Cln1

7.已知数列外,一,—,工是首项为8,公比为7得等比数列，则小等于（）

4出区12

A.64B.32C.2D.4

8.直角坐标系X。〉中，双曲线「—与=1（a,Z?>0）与抛物线产=2"：相交于A、B两点,若△Q4B是等

a~b~

边三角形，则该双曲线的离心率e=（）

22

9.已知双曲线=l（a>6〉0）的左、右焦点分别为月，F2,尸是双曲线E上的一点，且|26|=2|「大

a~b~

若直线Pg与双曲线E的渐近线交于点M,且〃为P名的中点，则双曲线E的渐近线方程为（）

A.丫=±3B.y=±gxC.y=±2xD.y=±3x

10.已知集合A={x|x?<1},B={x|lnx<l},则

A.AnB={x|O<x<e}B.Ar|8={x|x<e}

C.A|J«={x|O<x<e}D.AU8={x[-l<x<e}

11.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）

A.16B.48C.96D.128

12.若i为虚数单位，则复数z=-si2TnC=+ic27ors2的共匏复数5在复平面内对应的点位于（）

33

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.设白、鸟分别为椭圆产：亍+《=1的左、右两个焦点，过写作斜率为1的直线，交r于A、B两点，则

\AF2\+\BF2\=

14.若函数〃x)=sin[25：+V)-g在区间[(),句上恰有4个不同的零点，则正数0的取值范围是.

15.已知椭圆。：与+营=13＞。＞0)的离心率是半，若以N((),2)为圆心且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为

V26,此时椭圆C的方程是—.

16.在AABC中，内角A,8,。的对边分别为a/,c,已知3=(,a=2,6=6,则AABC的面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动.学校为了解高三学生课外阅读情况，

采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生抽取12名学生

参加问卷调查.各组人数统计如下：

小组甲乙丙T

人数12969

(1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；

(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用X表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X的分布列和

数学期望.

18.(12分)如图在四边形A5CO中，BA=6BC=2,E为AC中点，BE二叵.

(1)求AC；

jr

(2)若。=§,求AACD面积的最大值.

2

19.(12分)AA3C的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知A43C的面积为‘一

3sinA

(1)求sinfisinC;

⑵若6cos8cosc=1,a=3,求仆ABC的周长.

20.(12分)已知函数f(x)=；|x-a|(aeR).

(1)当a=2时，解不等式x-g+/(x)21；

(2)设不等式x-g+/(x)Wx的解集为例，若cM,求实数。的取值范围.

21.(12分)我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上最大单口径射电望远

镜.使用三年来，已发现132颗优质的脉冲星候选体，其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星，脉冲星是上世纪60年

代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间(脉冲星的自转周期)

是-定的，最小小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒.某一天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉

冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图.

频率阍距

0.15-------------------

0.1------r-------------

a-----------

0.05------

0.025--------------------------------------r

02468K)12自动周期(秒)

(1)在93颗新发现的脉冲星中，自转周期在2至10秒的大约有多少颗？

(2)根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值.

22.(10分)已知椭圆C：£+£=l3＞。＞0)的离心率为YZ,且以原点。为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的

a2b22

圆与直线x+y-2=0相切.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知动直线/过右焦点用且与椭圆C交于4、B两点,已知。点坐标为(3,0),求。鼠0月的值.

4

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

利用复数的模的运算列方程，解方程求得。的值.

【详解】

由于z=l+(l—a)i(aeA),|z|=V^,所以肝正式二Jj，解得。=0或a=2.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.

2.D

【解析】

先将y=2sin(2x+m］化为y=2cos2(x-^|L根据函数图像的平移原则，即可得出结果.

VoyLt”」

【详解】

，乃、(万、「「

因为y=2sin2x+—=2cos2x----=2cos2x-

k6JV3J

所以只需将y=2cos2x的图象向右平移-个单位.

【点睛】

本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可,属于基础题型.

3.B

【解析】

首先由正弦定理将边化角可得cosA=sin3,即可得到A=8—j,再求出86(5，彳〉最后根据

sin74+sinC=sin^B-yj+sin乃一B----B求出sinA+sinC的最大值；

-7_

【详解】

解：因为acosA=Z?sinA,

所以sinAcosA=sin5sinA

因为sinAH0

所以cosA=sin3

­：B>-

2

：.A=B--

2

八A兀cn兀兀

0<A<—0<B——<—

222

7C八

—<B<7t

2

sinA+sinC=sin4-sin%一,一］-B

=-cos3-cos23

=-2cos28-cos3+1

(1Y9

=-2cosB+—+—

I4)8

cosfi=--ef--,09

时(sinA+sinC)

4I2J\/max8

故选：B

【点睛】

本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.

4.B

【解析】

根据三角函数的定义求得sino,cosa后可得结论.

【详解】

由题意得点P与原点间的距离r=J(-4m)2+(3m)2=5|m|.

①当加>0时，r=5m9

.3m3-4m4

:.SIM=——=—,COStZ=--------=——

5m55m5

**•2sin。+C0S4Z=2x------=—.

555

②当加<0时，r--5m,

.3m3-4m4

:.sma=-----=——，cosa=------=—

-5m5-5m5

22

综上可得2sina+cos。的值是二或一二.

故选B.

【点睛】

利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,

该点到原点的距离r,然后再根据三角函数的定义求解即可.

5.D

【解析】

2%+l,X<0,、/、

画出函数/(x)=<|lnx|x〉0，将方程/[/(切=3看作f=/(x)，/(0=3交点个数，运用图象判断根的个数.

【详解】

2x+1,x<0

画出函数/(幻=〈

|lnx|,x>0

令r=/(x),;./Q)=3有两解%€(0,1)4«1,+8),则4=/(x)J(x)=»2分别有3个，2个解，故方程

/"(切=3的实数根的个数是3+2=5个

本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题.

6.C

【解析】

由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得.

【详解】

V(2a-b)cosC=ccosB,由正弦定理可得(2sinA-sinB)cosC=sinCcosB,

:.2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA,

1兀

三角形中$出4/0,；.以与。=—,；.。=一.

23

故选：C.

【点睛】

本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键.

7.A

【解析】

根据题意依次计算得到答案.

【详解】

根据题意知：4=8,a=4,故/=32,&=2,%=64.

4a2

故选：A.

【点睛】

本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.

8.D

【解析】

根据题干得到点A坐标为（3X,GX）,代入抛物线得到坐标为伍"2屈），再将点代入双曲线得到离心率.

【详解】

因为三角形OAB是等边三角形，设直线OA为y设点A坐标为（3X,GX）,代入抛物线得到x=2b,故点A

的坐标为他2麻），代入双曲线得到£=葛=0=1^=，.

故答案为：D.

【点睛】

求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出”，c,代入公式e=£；②只需要根据一个条件得

a

2

到关于a,4c的齐次式,结合从=c2_a2转化为a,c的齐次式,然后等式（不等式）两边分别除以“或a转化为关于e的

方程（不等式），解方程（不等式）即可得e"的取值范围）.

9.C

【解析】

由双曲线定义得|P周=4匹|尸制=2匹0M是△助巴的中位线，可得10Ml=a,在△QMR中，利用余弦定理即

可建立。，c关系，从而得到渐近线的斜率.

【详解】

根据题意，点尸一定在左支上.

由|P闾=2|尸周及忸闾-归周=2a,得忸耳|=2匹|尸用=4a,

再结合M为PF2的中点，得归耳|=|“用=2"，

又因为是△2/=；鸟的中位线，又|OM|=a,且0MHPF、,

从而直线P耳与双曲线的左支只有一个交点.

片+02―A2

在X0MF?中cosZMOF2=---———.——①

2ac

由tan/M0M=2,得cos/MOE=q.——@

"ac

由①②，解得c二、2=5,即b2=2,则渐近线方程为丁=±2*.

a-a

故选：C.

【点睛】

本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.

10.D

【解析】

因为A={x|x?<1}={X|-1<X<1},B={x|lnx<l}={x[0<x<e},

所以AnB={x[0<x<l},AUB=W-l<x<e},故选D.

11.B

【解析】

列出每一次循环，直到计数变量i满足i>3退出循环.

【详解】

第一次循环：S=2'(l+l)=4,z=2；第二次循环：5=4+22(1+2)=16,i=3；

第三次循环：5=16+23(1+3)=48,1=4,退出循环，输出的S为48.

故选：B.

【点睛】

本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.

12.B

【解析】

由共朝复数的定义得到I，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解

【详解】

27r27r

由题意得彳=-sin----zcos——,

33

.2万G八2万1八

因为一sin—=----<0»—cos—=—>0»

3232

所以2在复平面内对应的点位于第二象限.

故选：B

【点睛】

本题考查了共挽复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

_32

13.—

7

【解析】

由椭圆的标准方程，求出焦点6的坐标，写出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长，利用定义可得

\AF2\+\BF2\+\AB\^4a,进而求出IA入I+18工|。

【详解】

2222

由土+乙=1知，焦点耳(-1,0),所以直线/：y=x+\,代入土+匕=i得

4343

+4(x+l>=12,即7》2+8%-8=0，设&不％),8(/,%)，

%=一~，故|A回—2a+6(药+%2)~4+—x(—)——

由定义有，IABI+IB玛l+|AB|=4%

所以|A£|+|86|=4x2-y=y.

【点睛】

本题主要考查椭圆的定义、椭圆的简单几何性质、以及直线与椭圆位置关系中弦长的求法，注意直线过焦点，位置特

殊，采取合适的弦长公式，简化运算。

【解析】

求出函数“X）的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间［0,句上，第四个零点在区间［（）,句外即

可.

【详解】

由/(x)=sin卜(yx-i—j—=0,得—=k7i+(―1)A—,kwZ,

\6)266

x——[kjr4-(―1)^--------],kGZ9

2co66

・・・/(0)=0,

1/2兀兀、,

——(371-------------)<71

2(0664

解得彳</<2.

1冗71、3

——(z44+-------)>71

[2(066

4

故答案为：［,2）.

【点睛】

本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零

点，因此只有前3个零点在区间［0,句上.由此可得。的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题.

【解析】

根据题意设2（毛,%）为椭圆上任意一点,表达出|PN『,再根据二次函数的对称轴与求解的关系分析最值求解即可.

【详解】

因为椭圆的离心率是变,〃=尸+/,所以/=2b2，故椭圆方程为£+4=1.

22b2b2

因为以N（O,2）为圆心且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为V26，所以椭圆C上的点到点N（（）,2）的距离的最大值为

V26.

22

设P（x。，%）为椭圆上任意一点，则条+*=1•

所以冲「=%2+(%—2)2=2叩-制+(%-2)2

=—为2-4%+方+4(-AWMWb)

22

因为/(No)=~y0-4%+2b+4(-b<y0<b)的对称轴为%=-2.

⑴当h>2时,/(%)在［-友一2］上单调递增，在［-2,b］上单调递减.

此时九x(yo)=/(-2)=8+方=26,解得/=9.

(ii)当0<hV2时，/(%)在［—"可上单调递减.

此时工用(%)=/(一与=+48+4=26,解得力=后一2>2舍去.

22

综上〃=%椭圆方程为土+二=1.

189

22

故答案为：工+汇=1

189

【点睛】

本题主要考查了椭圆上的点到定点的距离最值问题,需要根据题意设椭圆上的点，再求出距离，根据二次函数的对称轴与

区间的关系分析最值的取值点分类讨论求解.属于中档题.

166

10.-----

2

【解析】

由余弦定理先算出c,再利用面积公式S=-acsm8计算即可.

2

【详解】

由余弦定理，得。2=a2+c.2-2accosB，即3=4+c2-2c，解得。=1，

故AABC的面积5=—acsinB=旦

22

故答案为：正

2

【点睛】

本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

134

17.(1)—(2)见解析，一

663

【解析】

(D采用分层抽样的方法甲组抽取4人，乙组抽取3人，丙组抽取2人，丁组抽取3人，从参加问卷调查的12名学

生中随机抽取2人，基本事件总数为C1=66,这两人来自同一小组取法共有C：+2C；+《=13,由此可求出所求

的概率；

(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，而甲、丙两个小组学生分别有4人和2人，所以抽取的两

人中是甲组的学生的人数X的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期

望.

【详解】

(1)由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4,3,2,3(人)，

从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两名的取法Cl=66共有(种)，

抽取的两名学生来自同一小组的取法共有C：+2C；+=13(种)，

13

所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为P=

66

(2)由(1)知，在参加问卷调查的12名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为4人、2人，所以，抽取的两

人中是甲组的学生的人数X的可能取值为0,1,2,

C°C21

因为P(X=O)=—=R

c'c'8

P(X=1)=3=

J75

c2c06

P(X=2)="

15

所以随机变量X的分布列为:

X012

186

P

151515

所求X的期望为0x4+lx&+2x2=：

1515153

【点睛】

此题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查分层抽样、古典概型、排列组合等知识,

考查运算能力，属于中档题.

18.(1)1；(2)走

4

【解析】

(1)AE=x,在MCE和AA3E中分别运用余弦定理可表示出cos/BC4,运用算两次的思想即可求得工,进而求

出AC；

(2)在AAOC中，根据余弦定理和基本不等式，可求得CD-ADW1,再由三角形的面积公式以及正弦函数的有界性,

求出AABC的面积的最大值.

【详解】

(1)由题设AE=x,则AC=2x

在ABCE和^ABE中由余弦定理得:

222222.，13

CE+BC-BEAC+BC-AB即4+x-=4+413

cosZBCA-

2CEBC_2ACBC

解得x--,/.AC=2x=1

2

(2)在AACD中由余弦定理得AC?=C£>2+Ao2_2CZ)Ar)cosr>,

即1=82+4。2—8.4。之04。，...CDAD<\

S,=-CDADsinD^—CDAD<—

MAC,r,n244

所以A4CD面积的最大值为此时CD=AD=1.

4

【点睛】

本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档

题.

2

19.(l)sinBsinC=-(2)3+屈.

3

【解析】

试题分析：(1)由三角形面积公式建立等式%sin匹烹，再利用正弦定理将边化成角，从而得出

I21

sinBsinC的值；(2)由cos3cosc=二和sin8sinC=7计算出cos(8+C)=-不，从而求出角A,根据题设

632

和余弦定理可以求出历和。+c的值，从而求出入钻。的周长为3+庖.

]21

试题解析：(1)由题设得，acsin8=，一，即一csinB=-^.

23sinA23sinA

1sinA

由正弦定理得已sinCsinB=•.

23sinA

2

故sinBsinC=—.

3

(2)由题设及(1)得cos3cosc-sinbsinC=—g,,即cos(3+C)=-g.

27r7t

所以6+C==,故4=工.

33

由题设得」OcsinA=—匚，即秘=8.

23sinA

由余弦定理得〃+c2一灰;=9,即伍+c)2—3历=9,得b+c=而.

故AABC的周长为3+J药.

点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使

用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解

三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者

“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路

是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如丫=4$泊(的+°)+6,从而求出范围，或利用余弦

定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.

「14"

20.(1){x|x«0或x\l}；(2)——

【解析】

(1)使用零点分段法，讨论分段的取值范围，然后取它们的并集，可得结果.

(2)利用等价转化的思想，可得不等式|3x-l|+|x-a|W3x在恒成立，然后解出解集，根据集合间的包含关

系，可得结果.

【详解】

(1)当。=2时，

原不等式可化为|3x—l|+|x—2|N3.

①当九时，

3

则一3x+l+2—1之3nx<0,所以xKO；

②当,〈犬<2时，

3

则3x-l-2+x23=xNl,所以1K龙<2；

⑧当xN2时，

则3x—1—2+x>3nx>—,所以xN2.

2

综上所述：

当。=2时，不等式的解集为{x|x«0或xZl}.

(2)由|元一g|+/(x)Wx,

则13%—11+|x—a\<3x,

由题可知：

13x-11+1x-。区3x在—恒成立，

所以3x-l+|x-a区3x,gp|x-a|<1,

即a-\<x<a+\,

a-\<—..

314

所以<J=>一一<a<-

,123

a+\>—

I2

「141

故所求实数。的取值范围是-.

【点睛】

本题考查零点分段求解含绝对值不等式，熟练使用分类讨论的方法，以及知识的交叉应用，同时掌握等价转化的思想,

属中档题.

21.(1)79颗；(2)5.5