2023学年完整公开课版变化率问题

§3.1变化率与导数1函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率是

习惯上用△x表示x2-x1用△y表示y2-y12.求函数f(x)的平均变化率的步骤:(1)求函数值的增量(2)计算平均变化率△y=f(x2)-f(x1)平均速度不一定能反应瞬时速度，那么如何求瞬时速度？新课引入一般地，函数在处的瞬时变化率是我们称它为函数在的导数，记作，或

由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.

自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择与之相对应的形式.练一练试求函数在x=1处的导数。解：在x=3处的导数？例题1：将原油提炼成不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第xh时，原油的温度为。计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。同理可得导数的概念总结下面来看导数的几何意义:

βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy

如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角.斜率!PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.

我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.

设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:

这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.3.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是：曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率相应地,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是导数反应了函数在某点附近的变化情况。5.求曲线的切线斜率的步骤(1)求函数值的增量△y=f(x0+△x)-f(x0)(2)求割线的斜率(3)求极限(4)若极限存在,则是切线的斜率(5)则切线方程：例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:先利用切线斜率的定义求出切线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.练习:如图已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.

yx-2-112-2-11234OP即点P处的切线的斜率等于4.

(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.在不致发生混淆时，导函数也简称导数．什么是导函数?由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f’(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:如何求函数y=f(x)的导数?看一个例子:2.已知点P和点Q是曲线y=x2-2x-1上的两点,且点P的横坐标是1,点Q的横坐标是4,求:(1)割线PQ的斜率