高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结

高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结平面向量基本概念与公式在任何时候写向量时都要带箭头。1.向量：既有大小又有方向的量，记作AB或a。2.向量的模：向量的大小（或长度），记作|AB|或|a|。3.单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则|e|=1。4.零向量：长度为0的向量，记作0。方向是任意的，且与任意向量平行。5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。6.相等向量：长度和方向都相同的向量。7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB=-BA。8.三角形法则：AB+BC=AC；AB+BC+CD+DE=AE；AB-AC=CB（指向被减数）。9.平行四边形法则：以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为a+b，a-b。10.共线定理：a=λb⟺a//b。当λ>0时，a与b同向；当λ<0时，a与b反向。11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。12.向量的模：若a=(x,y)，则|a|=√(x^2+y^2)，a^2=|a|^2，|a+b|=|a|+|b|cosθ。13.数量积与夹角公式：a·b=|a|·|b|cosθ；cosθ=a·b/|a|·|b|。14.平行与垂直：a//b⟺a=λb⟺x1y2-x2y1=0；a⊥b⟺a·b=0⟺x1x2+y1y2=0。题型1.基本概念判断正误：(1)共线向量就是在同一条直线上的向量。正确。(2)若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。错误。(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。错误。(4)四边形ABCD是平行四边形的条件是AB=CD。错误。(5)若AB=CD，则A、B、C、D四点构成平行四边形。错误。(6)因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。错误。(7)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线。正确。(8)若ma=mb，则a=b。错误。(9)若ma=na，则m=n。正确。(10)若a与b不共线，则a与b都不是零向量。正确。(11)若a·b=|a|·|b|，则a//b。正确。(12)若|a+b|=|a-b|，则a⊥b。正确。题型2.向量的加减运算1.设a表示“向东走8km”，b表示“向北走6km”，则|a+b|=√(8^2+6^2)=10。2.化简(AB+MB)+(BO+BC)+OM=AM+2·AB+2·BO+MC。3.已知|OA|=5，|OB|=3，则|AB|的最大值和最小值分别为8和2。4.已知AC为AB与AD的和向量，且AC=a，BD=b，则AB=(a+b)/2，AD=(a-b)/2。5.已知点C在线段AB上，且AC=3/5·AB，则BC=2/5·AB。计算：（1）3(a+b)-2(a+b)=a+b（2）2(2a+5b-3c)-3(-2a+3b-2c)=10a+19b-4c已知a=(1,-4),b=(-3,8)，则3a-1/2b=(6,-14)作图法求向量3a+1/2b和2a-3/2b：先画出向量a和b，然后将3a和1/2b的起点分别放在a和b的终点，连成一条新向量。同理，将2a和-3/2b的起点分别放在a和b的终点，连成另一条新向量。在△ABC中，D是BC的中点，则AD=1/2AB+1/2AC。在平行四边形ABCD中，AB=CD，AC=BD，所以AB=sqrt(a^2+b^2)和AD=sqrt(b^2+c^2)。已知AB=(4,5)，A=(2,3)，则点B的坐标是(6,8)。已知PQ=(-3,-5)，P=(3,7)，则点Q的坐标是(0,2)。合力F=F1+F2+F3=(F1x+F2x+F3x,F1y+F2y+F3y)=(2,1)。a+b=(2,6),a-b=(-8,2),3a-2b=(-17,14)由向量a和向量AB相等可得：x+2=3，x-3y-2=0，解得x=1，y=-1/3，所以向量a=(3,-1)。AB+BC+CA=0，所以BC=-AB-CA，BC=(-4,-9)。OC=1/3(AB+3BC)=(-5,1)。A.e1+e2和e1-e2不能构成一组基底，因为它们不满足线性无关。B.3e1-2e2和4e2-6e1不能构成一组基底，因为它们不满足线性无关。C.e1+3e2和e2-3e1可以构成一组基底，因为它们线性无关且张成整个平面。D.e2和e2-e1不能构成一组基底，因为它们不满足线性无关。能与a构成基底的向量是(4,4)和(-4,4)。已知|OA|=2，∠xOA=150°，则OA的坐标为(−√3,1)。已知|OA|=43，∠xOA=60°，则OA的坐标为(21√3/2,43/2)。(1)a·b=|a||b|cos60°=6(2)a·(a+b)=a·a+a·b=|a|^2+6(3)(a-b)·b=a·b-b·b=6-16=-10(4)(2a-b)·(a+3b)=2a·a+6a·b-a·b+6b·b=2|a|^2+242.已知向量a=(2,-6),b=(-8,10)，求：(1)|a|,|b|；(2)a·b；(3)a·(2a+b)；(4)(2a-b)·(a+3b)。1.(1)|a|=√(2²+(-6)²)=√40=2√10，|b|=√((-8)²+10²)=√164=2√41；(2)a·b=2*(-8)+(-6)*10=-56；(3)a·(2a+b)=2*(2*-6)+(-6)*10+(-8)*2=-52；(4)(2a-b)·(a+3b)=(2*2-(-8))*2+(-6+10)*(-8)+(-6*3-(-8)*6)=-52。2.已知向量a=(3,1),b=(-23,2)，求a与b的夹角。设夹角为θ，则a·b=|a|·|b|·cosθ，即：3*(-23)+1*2=√(3²+1²)·√((-23)²+2²)·cosθ-67=2√370·cosθcosθ=-67/(2√370)θ≈2.87弧度≈164.74°。3.已知点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求cos∠BAC。向量BA=(-1,1)，向量BC=(2,-4)，则：cos∠BAC=(BA·BC)/(|BA|·|BC|)=(-1*2+1*(-4))/√2·√20=-3/2√10。3.已知向量a和b，且|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为60°，求：(1)|a+b|，(2)|2a-3b|。(1)|a+b|²=(a+b)·(a+b)=a·a+2a·b+b·b=3²+2·3·4·cos60°+4²=19，所以|a+b|=√19。(2)|2a-3b|²=(2a-3b)·(2a-3b)=4a·a-12a·b+9b·b=4·3²-12·3·4·cos60°+9·4²=37，所以|2a-3b|=√37。2.已知向量a=(2,-6),b=(-8,10)，求：(1)|a|,|b|；(5)|a+b|；(6)|a-1/2b|。(1)同题2.1(1)。(5)同题2.1(1)。(6)|a-1/2b|²=(a-1/2b)·(a-1/2b)=a·a-2a·b+1/4b·b=2²+2·6·10+1/4·(-8)²+10²=164，所以|a-1/2b|=√164=2√41。3.已知|a|=1，|b|=2，|3a-2b|=3，求|3a+b|。设向量3a-2b的长度为d，则：d²=(3a-2b)·(3a-2b)=9a·a-12a·b+4b·b=9-24cosθ+16=25-24cosθ又|3a-2b|=3，所以25-24cosθ=9，cosθ=4/3，不存在这样的θ，所以题目无解。1.与向量a=(12,5)平行的单位向量是：e=a/|a|=1/13(12,5)。2.与向量m=(-1,1/2)平行的单位向量是：e=m/|m|=2/√5(-1,1)。1.已知向量a=(6,2)，b=(-3,m)，求：(1)m的值使得a//b；(2)m的值使得a⊥b。(1)a//b，意味着a与b共线，即a·b=|a|·|b|，即6*(-3)+2m=√(6²+2²)·√((-3)²+m²)，解得m=-9。(2)a⊥b，意味着a·b=0，即6*(-3)+2m=0，解得m=9。2.已知向量a=(1,2)，b=(-3,2)，求：(1)k的值使得向量ka+b与a-3b垂直；(2)k的值使得向量ka+b与a-3b平行。(1)(ka+b)·(a-3b)=0，即k(a·a-3a·b)+b·(a-3b)=0，解得k=1/7。(2)ka+b=k(a+b)与a-3b平行，即k(a+b)·(a-3b)=0，解得k=-5/7。3.已知向量a是非零向量，a·b=a·c，且b≠c，求证：a⊥(b-c)。a·b=a·c，移项得a·(b-c)=0，即a⊥(b-c)。1.已知A(0,-2)，B(2,2)，C(3,4)，证明：A,B,C三点共线。向量AB=(2-0,2-(-2))=(2,4)，向量AC=(3-0,4-(-2))=(3,6)，则：AB/AC=(2/3,4/6)=(2/3,2/3)。因为两个分量相等，所以AB与AC共线，所以A,B,C三点共线。2.设AB=√2(a+5b)，BC=-2a+8b，CD=3(a-b)，证明：A、B、D三点共线。向量AB=√2(a+5b)，向量AD=√2(a+5b)+3(a-b)=(4a+7b)√2，向量BD=-2a+8b=2(-a+4b)，则：AB/BD=√2(a+5b)/2(-a+4b)=-(a+5b)/(a-4b)，AD/BD=(4a+7b)√2/2(-a+4b)=-(4a+7b)/(a-4b)，因为AB/BD=AD/BD，所以A,B,D三点共线。3.已知AB=a+2b，BC=-5a+6b，CD=7a-2b，则一定共线的三点是B和E，其中E为什么点？向量BC=-5a+6b=(-5,6)·a+(0,6)·b，向量CD=7a-2b=(7,0)·a+(-2)·b，则向量BC和CD不共线，所以三点不共线。因为BD=BC+CD=2a+4b，所以E为B点沿BD方向延长2倍的点，即E=(12,14)。5.已知四个点的坐标O(0,0)，A(3,4)，B(-1,2)，C(1,1)，是否存在常数t，使得OA+tOB=OC成立？OA=(3,4)，OB=(-1,2)，OC=(1,1)，则：OA+tOB=(3-t,-4+2t)，OC=(1,1)，解得t=2/3，所以存在常数t使得OA+tOB=OC成立。1.若AB=3e，CD=-5e，且|AD|=|BC|，则四边形的形状是平行四边形。2.已知A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，证明四边形ABCD是梯形。向量AB=(3,3)，向量CD=(-3,2)，则向量AB和CD不共线，所以四边形ABCD不是平行四边形。设E为AB的中点，即E=(5/2,3/2)，则向量AE=(3/2,2)，向量DE=(0,2)-(5/2,3/2)=(-5/2,1/2)，则：AE·DE=(3/2,2)·(-5/2,1/2)=-5/4，因为AE·DE≠0，所以四边形ABCD不是梯形。3.已知A(-2,1)，B(6,-3)，C(0,5)，证明△ABC是直角三角形。向量AB=(8,-4)，向量AC=(2,4)，则AB·AC=(8,-4)·(2,4)=0，所以∠BAC=90°，所以△ABC是直角三角形。4.在平面直角坐标系内，已知点$A(-1,8)$，$B(-4,1)$，$C(1,3)$，证明$\triangleABC$是等腰直角三角形。1.已知向量$a=(1,0)$，$b=(2,1)$，求$k$的值使得向量$ka-b$与向量$a+3b$平行。2.已知向量$a=(3,5)$，且$a\perpb$，$|b|=2$，求向量$b$的坐标。3.已知向量$a$与$b$同向，$b=(1,2)$，且$a\cdotb=10$，求向量$a$的坐标。4.已知向量$a=(5,10)$，$b=(-3,-4)$，$c=(5,0)$，请用向量$a,b$表示向量$c$。5.已知向量$a=(m,3)$，$b=(2,-1)$，（1）若向量$a$与$b$的夹角为钝角，求$m$的范围；（2）若向量$a$与$b$的夹角为锐角，求$m$的范围。6.已知向量$a=(6,2)$，$b=(-3,m)$，求$m$的值使得（1）向量$a$与$b$的夹角为钝角；（2）向量$a$与$b$的夹角为锐角。7.已知梯形$ABCD$的顶点坐标分别为$A(-1,2)$，$B(3,4)$，$D(2,1)$，且$AB\parallelDC$，$AB=2CD$，求点$C$的坐标。8.已知平行四边形$ABCD$的三个顶点的坐标分别为$A(2,1)$，$B(-1,3)$，$C(3,4)$，求第四个顶点$D$的坐标。9.一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30度角，求水流速度与船的实际速度。10.已知$\triangleABC$三个顶点的坐标分别为$A(3,4)$，$B(0,0)$，$C(c,0)$，（1）若$AB\cdotAC=0$，求$c$的值；（2）若$c=5$，求$\sinA$的值。【备用】1.已知$|a|=3$，$|b|=4$，$|a-b|=5$，求$|a+b|$和向量$a,b$的夹角。2.已知$x=a+b$，$y=2a+b$，且$|a|=|b|=1$，$a\perpb$，求夹角$\cos(x,y)$。3.已知$a=(1,3)$，$b=(-2,-1)$，则$(3a+2b)\cdot(2a-5b)=$4.已知向量$a=(3,4)$，$b=(2,-1)$，求当$a+xb$与$a-b$垂直时的$x$的值。5.已知向量$a=(1,3)$，$b=(2,\lambda)$，$a$与$b$的夹角$\theta$为锐角，求$\lambda$的范围。变式：若$a=(\lambda,2)$，$b=(-3,5)$，$a$与$b$的夹角$\theta$为钝角，求$\lambda$的取值范围。选择、填空题的特殊方法：1.代入验证法例：已知向量$a=(1,1)$，$b=(1,-1)$，$c=(-1,-2)$，则$c=$（）。A.$-\frac{1}{2}a-\frac{3}{2}b$B.$-\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}b$C.$\frac{3}{2}a-\frac{1}{2}b$D.$-2a+2b$2.排除法已知M是△ABC的重心，则下列向量与AB共线的是（）A.AM+MB+BCB.3AM+ACC.AB+BC+ACD.AM+BM+CM解析：重心M满足AM:MB=2:1，故选项A正确。1.（2007年高考广东卷第10小题）若向量a、b满足|a|=|b|=1，a与b的夹角为120°，则aa+ab=（）。解析：根据向量的内积公式，aa+ab=a(a+b)cos120°=-a(b/2)=-a/2，故选项D正确。3.已知平面向量a=(1,2)，b=(-2,m)，且a∥b，则2a+3b=（）A.(-5,-10)B.(-4,-8)C.(-3,-6)D.(-2,-4)解析：由a∥b可得m=-1，代入2a+3b中得到2a+3b=(-4,-8)，故选项B正确。5.（2010年高考广东卷第5小题）若向量a=(1,1)，b