北京市丰台区2023-2024学年高一上学期期末练习数学试卷（含答案）

丰台区2023～2024学年度第一学期期末练习高一数学2024.01考生须知：1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名。在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。2.本次练习所有答题均在答题卡上完成，选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。在练习卷、草稿纸上答题无效。4.本练习卷满分共150分，作答时长120分钟。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.下列函数在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.3.若，，则下列结论一定成立的是（）A. B. C. D.4.已知，则（）A. B. C. D.15.（）A. B. C. D.6.函数，则（）A.是最小正周期为的奇函数 B.是最小正周期为的偶函数C.是最小正周期为π的奇函数 D.是最小正周期为π的偶函数7.函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（）A. B. C. D.8.若α，β都是第一象限角，则“”是“”成立的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.若甲、乙两同学当下的知识储备量均为a，甲同学每天的“进步”率和乙同学每天的“退步”率均为2%.n天后，甲同学的知识储备量为，乙同学的知识储备量为，则甲、乙的知识储备量之比为2时需要经过的天数约为（）（参考数据：，，）A.15 B.18 C.30 D.3510.记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（）A.1 B.2 C.3 D.4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.函数的定义域为___________.12.能说明“关于x的不等式在R上恒成立”为假命题的实数a的一个取值为_________.13.已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_________.14.已知，则_________，的最小值为__________.15.双曲函数是一类与三角函数类似的函数，基本的双曲函数有：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数.给出下列四个结论：①函数是偶函数，且最小值为2；②函数是奇函数，且在R上单调递增；③函数在R上单调递增，且值域为；④若直线与函数和的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为，，，则.其中所有正确结论的序号是________________.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.（本小题13分）已知集合，.（I）若，求，；（Ⅱ）若，求实数a的取值范围.17.（本小题14分）已知函数.（I）画出函数的图象，并写出函数的值域及单调区间；（Ⅱ）解不等式；（Ⅲ）若恒成立，求实数a的取值范围.18.（本小题14分）在平面直角坐标系中，角α和角β的顶点均与坐标原点O重合，始边均为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于P，Q两点，若P，Q两点关于y轴对称，点P位于第一象限，横坐标为.（I）求的值；（Ⅱ）求的值.19.（本小题15分）已知函数，其中.从条件①、条件②、条件③中选择一个条件，解决下列问题.（I）求ω的值；（Ⅱ）求的单调递增区间；（Ⅲ）若存在，使得，求实数m的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20.（本小题15分）2023年9月23日第十九届亚运会在杭州开幕，本届亚运会吉祥物是“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某商家成套出售吉祥物挂件，通过对销售情况统计发现：在某个月内（按30天计），每套吉祥物挂件的日销售价格（单位：元）与第x天的函数关系满足（k为常数，且），日销售量（单位：套）与第x天的部分数据如下表所示：x15202530650645650655设该月吉祥物挂件的日销售收入为（单位：元），已知第15天的日销售价格为32元.（I）求k的值；（Ⅱ）根据上表中的数据，若用函数模型来描述该月日销售量与第x天的变化关系，求函数的解析式；（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的结论，求的最小值.21.（本小题共14分）设，若非空集合A，B，C同时满足以下4个条件，则称A，B，C是“无和划分”：①；②，，；③，且C中的最小元素大于B中的最小元素；④，，，必有，，.（I）若，，，判断A，B，C是否是“无和划分”，并说明理由.（Ⅱ）已知A，B，C是“无和划分”（）.（i）证明：对于任意m，，都有；（ii）若存在i，，使得，记.证明：Ω中的所有奇数都属于A.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2023～2024学年度第一学期期末练习参考答案高一数学2024.01一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.题号12345678910答案BDBAADCCBC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 12.0（答案不唯一，只要满足“或”即可）13. 14.1； 15.②③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.（本小题13分）解：（I）当时，，所以，因为，所以，所以，所以.（Ⅱ）由（I）知，又，所以，解得：.所以实数a的取值范围为.17.（本小题14分）解：（I）函数的图象如下：的值域为，单调递减区间为，单调递增区间为.（Ⅱ），即，可得，即，或.所以该不等式的解集为.（Ⅲ）由可得，，又，所以，解得.18.（本小题14分）解：（I）依题意知，点P的坐标为，点Q的坐标为，所以，，，，所以.（Ⅱ）.19.（本小题15分）解：.选条件①，有，所以，所以.（I）因为，所以.（Ⅱ）由（I）得，由得，，所以的单调递增区间是.（Ⅲ）当时，，因为时，，所以，时，，所以，所以实数m的取值范围是.选条件②，有，所以，所以，以下同条件①.选条件③，有π是的周期，设的最小正周期为T，则，所以，所以，以下同条件①.20.（本小题15分）解：（I）由题意得，所以，解得.（Ⅱ）根据表中数据可得，由，得，，，所以，其中，.（Ⅲ）由（I）（Ⅱ）可知，，，当时，，可知在区间上单调递减，所以当时的最小值为；当时，，因为，当且仅当时，等号成立，所以当时的最小值为，综上所述，当时，该月日销售收入的最小值为20280元.21.（本小题14分）解：（I）不是.取，，则，说明A，B，C不是“无和划分”.（Ⅱ）（i）假设存在m，，使得，记m的最小值为，则，；设B中最小的元素为b，则，所以，所以，（否则与，，矛盾），（否则与，矛盾），所以，因为，所以，不同属于C.所以，这与矛盾.所以假设不成立.（ii）因为A，B，C是“无和划分”，且存在i，，使得，记i的最小值为，所以方，；由（i）知，，，，因为，所以，，所以，设B中最小的元素为b，若，则，所以，所以，（否则与，，矛盾），所以（否则与，矛盾），所以，又因为和不同属于C，所以，这与，矛盾，所以，即.所以，所以.所以，，所以（否则与，