统计和概率-北素弟

北京2016届高三期末、一模二模理科试题分类汇编专题：统计和概率一、选择题1.（东城一模3）．某单位共有职工150名，某中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人，现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为AA．9，18，3B．10，15，5C．10，17，3D．9，16，52.（丰台一模3）.对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出如下频率分布直方图.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过80km/h的概率D（A）75，0.25（B）80,0.35（C）77.5,0.25（D）77.5,0.353.（朝阳期末4）．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有8090100110120130车速（km/h）EQ\F(频率,组距)0.0058090100110120130车速（km/h）EQ\F(频率,组距)0.0050.0100.0200.0300.035C．辆D．辆4.（房山一模2）.设不等式组表示的平面区域,在区域内随机取一点,则点落在圆内的概率为AA.B.C.D.5.（丰台二模5）.如图，设不等式组表示的平面区域为长方形ABCD，长方形ABCD内的曲线为抛物线的一部分，若在长方形ABCD内随机取一个点，则此点取自阴影部分的概率等于B（A）（B）（C）（D）二、填空题6.（海淀二模10）．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成频率分布直方图（如图）。这100名学生中参加实践活动的时间在小时内的人数为________58_______．7.（东城二模12）．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为，，由此得到频率分布直方图如图.则产品数量位于范围内的频率为_0.4____；这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是13.三、解答题8.（西城一模16．）（本小题满分13分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.OO体育成绩4555657585951424121068各分数段人数（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数；（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率；（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，且分别在，，三组中，其中．当数据的方差最小时，写出的值.（结论不要求证明）（注：，其中为数据的平均数）9.（海淀一模16．）（本小题满分13分）2004年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为，，根据样本数据，试估计与的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1株，记这2株的产量总和为，求随机变量的分布列和数学期望．10（东城一模17）．（本小题共13分）现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打且只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如图表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．（1）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（2）设随机变量X表示第三场比赛开始时需要等待的时间，求X的数学期望；（3）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．11（朝阳一模16）．（本小题满分13分）为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．人数本数性别12345男生14322女生01331（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．12（丰台一模16）.（本小题共13分）从某病毒爆发的疫区返回本市若干人，为了迅速甄别是否有人感染病毒，对这些人抽血，并将血样分成4组，每组血样混合在一起进行化验.（Ⅰ）若这些人中有1人感染了病毒.①求恰好化验2次时,能够查出含有病毒血样组的概率；②设确定出含有病毒血样组的化验次数为X，求E（X）.(Ⅱ)如果这些人中有2人携带病毒，设确定出全部含有病毒血样组的次数Y的均值E(Y)，请指出（Ⅰ）②中E（X）与E(Y)的大小关系.（只写结论,不需说明理由）13（石景山一模16）．（本小题共13分）我市某苹果手机专卖店针对苹果6S手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数352510已知分3期付款的频率为,请以此人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S手机，顾客分1期付款(即全款)，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用表示销售一部苹果6S手机的利润，求的分布列及数学期望．14（房山一模16）.（本小题13分）为了降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品，每一台新产品在进入市场前都必须进行两中不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售。已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两种检测是否合格相互没有影响。

（Ⅰ）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；

（Ⅱ）如果产品可以销售,则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利元)。现有该新型防雾霾产品3台件,随机变量表示这3台产品实物获利,求的分布列和数学期望。15（西城二模16）.（本小题满分13分）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0,10），[10,20），[20,30），[30,40），[40,50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。（1）写出a的值（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望（I）解：（II）解：由分层抽样，如抽取的初中生有60名，高中生有40名所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有人同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为学生人数约有人.所以该校所以学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有人（III）解：初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，样本人数为人.同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为人.故的可能取值为.则，，故的分布列为：123所以16（海淀二模16）.（本小题满分13分）某空调专卖店试销、、三种新型空调，销售情况如下表所示：第一周第二周第三周第四周第五周型数量（台）型数量（台）型数量（台）(Ⅰ)求型空调前三周的平均周销售量；（Ⅱ）根据型空调前三周的销售情况，预估型空调五周的平均周销售量为台， 当型空调周销售量的方差最小时，求，的值；（注：方差，其中为的平均数）（Ⅲ）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中型空调台数的分布列及数学期望．17（东城二模17）．（本小题共13分）在2015-2016赛季联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表（注：表中分数，表示投篮次数，表示命中次数）,假设各场比赛相互独立.场次球员甲乙根据统计表的信息:（Ⅰ）从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；（Ⅱ）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；（Ⅲ）在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望.朝阳二模16．（本小题满分13分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值．交通指数范围为，五个级别规定如下：交通指数级别畅通基本畅通轻度拥堵中度拥堵严重拥堵某人频率组距交通指数值频率组距交通指数值0.250.100.050.1502468100.2013579（Ⅰ）据此估计此人260个工作日中早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数；（Ⅱ）若此人早晨上班路上所用时间近似为：畅通时30分钟，基本畅通时35分钟，轻度拥堵时40分钟，中度拥堵时50分钟，严重拥堵时70分钟，以直方图中各种路况的频率作为每天遇到此种路况的概率，求此人上班路上所用时间的数学期望．18（丰台二模16）.（本小题共13分）某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如下表所示：编号项目收案(件)结案(件)判决(件)1刑事案件2400240024002婚姻家庭、继承纠纷案件3000290012003权属、侵权纠纷案件4100400020004合同纠纷案件1400013000n其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等.根据以上数据，回答下列问题.（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率；（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为,方差为，如果表中，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为，试判断与的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）.19（昌平二模16）（本小题满分13分）为了解高一新生数学基础，甲、乙两校对高一新生进行了数学测试.现从两校各随机抽取10名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：甲校甲校乙校519112433847743277886578比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小；（只需要写出结论）如果将数学基础采用A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如下表：（满分100分，所有学生成绩均在60分以上）测试成绩基础等级ABC假设每个新生的测试成绩互相独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，求甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率.20（西城期末16）．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分，两人4局的得分情况如下：甲6699乙79（I）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（II）如果，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分之和为，求的分布列和数学期望；（III）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值.（结论不要求证明）21（海淀期末16）.（本小题满分13分）已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为.为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，做药物试验.试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期.假设每次用药后当天是否出现A症状的出现与上次用药无关.（Ⅰ）如果出现A症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率；（Ⅱ）如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期.设药物试验持续的用药周期数为，求的期望.22（朝阳期末15）．（本小题满分13分）某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．23（石景山期末16）．（本小题共13分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：成绩52657288666778908根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良．（Ⅰ）写出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅲ）从抽取的12人中随机选取3人，记表示成绩“优良”的学生人数，求的分布列及期望．24(昌平期末16)（本小题满分13分）小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”,并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下.图1表1（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为，求的分布列.25（丰台期末17）.（本小题14分）随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者.某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者.（Ⅰ）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率；（Ⅱ）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为，那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率；（Ⅲ）该创业园区的团队有100位员工，其中有30人是志愿者.若在团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为.试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的和的值，写出，，的大小关系（只写结果，不用说明理由）.北京2016届高三期末、一模二模理科试题分类汇编专题：统计和概率答案1A2D3D4A5B65870.4;138.（Ⅰ）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人，………………2分所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有人.……4分（Ⅱ）解：设“至少有1人体育成绩在”为事件，………………5分由题意，得，因此至少有1人体育成绩在的概率是.………………9分（Ⅲ）解：,,的值分别是为,,；或,,.………………13分9.解:(I)由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数…2分则山下试验田株青蒿的青蒿素产量估算为g…3分（Ⅱ）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差和，结果为.…6分（Ⅲ）依题意，随机变量可以取，…7分,,,…9分7.27.488.28.69.4p随机变量的分布列为…11分随机变量的期望.…13分10.解：（=1\*ROMANI）三场比赛共有种方式，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为．…３分（I=2\*ROMANI）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛.按ABC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：（分钟）．按ACB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：（分钟）．按BAC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：（分钟）．按BCA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：（分钟）．按CAB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：（分钟）．按CBA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：（分钟）．且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生概率为，所以平均等待时间为．…11分（II=2\*ROMANI）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少---------------------------------------------------------13分11解：（Ⅰ）设事件：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由题意可知，．………4分（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故的取值为．由题意可得；；；；．所以随机变量的分布列为随机变量的均值．…………10分（Ⅲ）．…………13分12解：（Ⅰ）①恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组为事件A.恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组的概率为.-----4分②确定出含有病毒血样组的次数为X,则X的可能取值为1，2，3.,，.则X的分布列为：所以：E（X）=--------------------------------------------11分(Ⅱ)------------------------------------------------------------------13分13（Ⅰ）（Ⅱ）台数0123获利-240-1200120P（-240）*+（-120）*+0*+120*=63.7514（I）解：（II）解：由分层抽样，如抽取的初中生有60名，高中生有40名所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有人同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为学生人数约有人.所以该校所以学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有人（III）解：初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，样本人数为人.同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为人.故的可能取值为.则，，故的分布列为：123所以15解:(I)型空调前三周的平均销售量台…2分（Ⅱ）因为型空调平均周销售量为台，所以…4分又化简得到…5分因为，所以当或时，取得最小值所以当或时，取得最小值…7分（Ⅲ）依题意，随机变量的可能取值为，…8分,,,…11分随机变量的分布列为随机变量的期望.…13分16解：（Ⅰ）根据投篮统计数据，在10场比赛中，甲球员投篮命中率超过0.5的场次有5场，分别是4，5，6，7，10，所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是.在10场比赛中，乙球员投篮命中率超过0.5的场次有4场，分别是3，6，8，10，所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是.---------------------------------------3分（Ⅱ）设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过0.5为事件，甲队员命中率超过0.5且乙队员命中率不超过0.5为事件，乙队员命中率超过0.5且甲队员命中率不超过0.5为事件.则.------------------------------------------------7分（Ⅲ）的可能取值为.；；；；的分布列如下表：0123.--------------------------------------------------------13分17解:（Ⅰ）由已知可得：上班的40个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为0.25，据此估计此人260个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数为260×0.25=65天.……………………5分（Ⅱ）由题意可知的可能取值为．且；；；；；所以．…………………13分18解：（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，共有2400+3000+4100=9500种取法，其中取到的是结案案件方法数为2400+2900+4000=9300种---—————-----—--3分设“在收案案件中取1件结案案件”为事件A，则P（A）=.——-——-----5分（Ⅱ）在该结案案件中任取一件共有2900种取法，其中是判决案件有1200种取法.—8分设“在该结案案件中取1件判决案件”为事件B，则P（B）=.-----------10分(注：讲评时应告诉学生这个概率低是因为人民法院做了大量工作如法庭调解案件、使得当事人撤诉等工作，有时法律不能解决感情问题)（Ⅲ）>.--------------------------13分（可以简单直观解释，也可以具体：设4类案件的均值为，则.）19解：（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，共有2400+3000+4100=9500种取法，其中取到的是结案案件方法数为2400+2900+4000=9300种---—————-----—--3分设“在收案案件中取1件结案案件”为事件A，则P（A）=.——-——-----5分（Ⅱ）在该结案案件中任取一件共有2900种取法