吉林省2021届第一学期高三第二学程考试数学（文）试题（解析版）

2020-2021学年上学期第二学程考试

高三数学试卷(文)

时间：90分钟满分：150分

一、选择题(每小题5分，共60分)

1.已知集合4={刈％2一X一6<0},3={X|X€N},则4口8=()

A.口,2}B,(0,1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3)

【答案】D

【解析】

【分析】

求出集合A、B,再利用集合的交运算即可求解.

【详解】由4={幻1一%-640}={司_2Vx<3},8={x|xeN},

所以4口8=[0』,2,3}.

故选：D

2.已知函数〃%)=丁+伏一2卜是口,内)上的增函数，则k的取值范围为()

A.(Y>,0]B.C.(f1]D.

【答案】B

【解析】

【分析】

本题先求二次函数的对称轴，再根据题意建立不等式求解即可.

1r\

【详解】函数〃力=丁+(4—2)x的对称轴为x=—二7，且开口向上，

因为“X)在[1,48)上的增函数，

k-?

所以一——<1,解得：k>0.

2

故选：B

【点睛】本题考查二次函数的图像以及根据函数的单调性求参数，是基础题.

3.设xeR,则“x3<1”是“卜-g<g”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】分别求解三次不等式和绝对值不等式确定x的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可.

【详解】由丁<1可得X<1,

由x---<一可得0<不<1,

22

据此可知“d<1”是“卜一!|<1"的必要而不充分条件.

故选B.

【点睛】本题主要考查不等式的解法，充分性与必要性的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求

解能力.

4

4.若角a的终边过点P（—8m,-6cos60°）,且cosa=-g则实数”的值为（）

A.--B.--C.—D.在

2222

【答案】C

【解析】

4

【分析】求出点P的坐标，然后利用三角函数的定义结合cosa=-y求出实数机的值.

［详解】解：-6cos60。=-3，则点P的坐标为P（-8九-3）,

4

因为cosa=-（.所以角a的终边在第二象限或第三象限，故相>0.

-8/724111

再根据三角函数的定义得：■—―-T,即加2=解得〃?=一（舍）或旭=

J6W+95422

故选：C.

【点睛】本题考查利用三角函数的定义求参数，在利用三角函数的定义列式时，要结合三角函数值符号判

断出参数的符号，考查计算能力，属于基础题.

5.下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是()

A.f{x}=exB.f(x)=x+-

x

2?

C.f(x)=——xD./(无)=——X2

XX

【答案】C

【解析】

【分析】本题先运用/(-x)=-/(x)判断是否为奇函数，再求零点判断即可.

【详解】A选项：==*-/(%),函数不是奇函数，故A选项错误；

e

B选项：/(-%)=-%+—=-/(%),函数奇函数，但不存在零点，故B选项错误；

一X

2

C选项：f(-x)=—+x=-f(x),函数是奇函数，且/(±逝)=0,故C选项正确；

一X

D选项：/(-%)=--(-%)2*-/(%),函数不是奇函数，故D选项错误；

—X

故选：C.

【点睛】本题考查函数奇偶性的判定，函数是否存在零点，是基础题.

b=lo22

6.设a=log23,§i,c=0,4>则a，b,c的大小关系是()

3

A.a>h>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

【答案】C

【解析】

【分析】

根据指数与对数函数的单调性，分别判定。，b,c大小，即可得出结果.

【详解】因为函数y=log2%在(。,+8)上单调递增，且2<3,

所以Iog22<log23,BP1<log,3,所以。>1,

因为函数y=l°gl”在(0,+8)上单调递减，且2>1,

3

所以logl2<logj=0,即〃<o,

33

因为函数y=0.4、在R上单调递减，且2>0,

所以0<0.42<0.4°=1，即0<c<l,

所以a>c>b,

故选：C.

【点睛】本题主要考查比较对数与指数大小，熟记指数函数与对数函数单调性即可，属于基础题型.

7.在同一直角坐标系中，函数/(幻=为"(%>0)送。)=108“彳的图象可能是()

【答案】D

【解析】

【分析】通过分析幕函数和对数函数特征可得解.

【详解】函数y=x"(x>0),与y=logaX(x>0),

选项A：没有基函数图像；

选项B：y=x"(x>0)中。>1,y=k>g“x(x>0)中0<a<l,不符合；

选项C：y=x"(x>0)中0<a<l,y=log〃x(x>°)中.>1，不符合；

选项D：丁=£(%>0)中0<&<1,y=logaX(x>0)中0<a<1,符合.

故选：D.

8.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(l+*).它表示:

在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度。取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的

高斯噪声功率N的大小，其中丁叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香

农公式，若不改变带宽W,而将信噪比一从:L000提升至4000,则C大约增加了()附：lg2«0.3010

A.10%B.20%C.50%D.100%

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，计算出；，R的值即可;

【详解】当2=1000时，C=Wlog,1000,当±=4000时，C=Wlog,4000,

NN

、log,4000_lg4000_3+21g2〜3.6020

因为—=xQ].2

logJOOOIglOOO33

所以将信噪比一从1000提升至4000,则。大约增加了20%,

故选：B.

【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.

9.函数/(x)=J4-国+1g.一6的定义域为()

A.(2,3)B.(2川C.(2,3)U(3,4]D.(-1,3)11(3,6]

【答案】C

【解析】

【分析】

’4-|乂20

尤2—5x4-6

由题意可得｛---------->0,解不等式组即可求解.

x-3w0

"用。f|x|<4

【详解】由题意得,%+6〉0，即<(X-2)(X-3)2>0,

x—3w0

x-3^0

-4<x<4

解得<x>2即2Vx<3或3<xW4

尤w3

所以函数的定义域为(2,3)U(3,4］.

故选：C

'vl

10.集合P=O,y)|y=不，Q={(x,y)ly=-f+2},则集合PAQ中元素的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】作出y=与y=—f+2的图象，利用两个函数的图象的交点个数可得答案.

【详解】作出)=［工］与y=—V+2的图象可知两个函数有两个公共点，

/-1卜\尸-/+2

故集合PAQ中元素的个数为2.

故选：C.

【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了指数函数和二次函数的图象，属于基础题.

2x~l-2,x<l

11.已知函数=1,/八，且/(〃)=—3,则/(6—幻=()

-log2(x+l),x>1

7531

A.—B.—C.——D.——

4444

【答案】A

【解析】

【分析】

对讨论，通过/3)=-3求出。，再代入/(6-a)计算即可.

【详解】解：当。(1时，/(a)=2"T—2=—3,方程无解；

当a>l时，./*(a)=-log2(a+l)=—3,解得a=7,

7

此时/(6—a)=/(-1)=2-1-2=——.

4

故选：A.

【点睛】本题考查分段函数的应用，指数对数的运算，注意分类讨论，是基础题.

12.定义在(0,~)上的函数“X)满足％7'(x)+l>0,/(1)=5,则不等式“x)</+4的解集为

().

A.(0,2)B.(-U)C.(-1,0)D.(0,1)

【答案】D

【解析】

【分析】构造函数g(x)=/(x)-1-4,然后依据导数判断函数g(x)在(O,T8)的单调性，最后进行判断

即可.

【详解】设g(x)=/(x)—：-4,得g'(x)=r(x)+5

由xV(x)+l>。，得g'(x)=/'(x)+J>0.

故函数g(x)在(0,+8)上单调递增，又g⑴=0,故g(x)<0的解集为(0,1),

即/(尤)<一—4的解集为(0,1).

故选：D

二、填空题(每小题5分，共20分)

log)X,X>0

13.已知函数〃X)=3,则/[〃9)]的值是.

2x,x<0

【答案】T，

4

【解析】

【分析】

本题直接由内向外求分段函数的函数值即可.

【详解】解：因为9>0,所以"9)=/og|9=-2,

3

又-2<0,

所以,"(9)]=/(-2)=2-2=(.

故答案为：—.

4

【点睛】本题考查求分段函数的函数值问题，是基础题.

14.函数/(外=。1019+202。(。>0且awl)的图象过定点A,则点A的坐标为.

【答案】(2019,2021)

【解析】

【分析】根据指数函数的性质，令基指数为0,进行求解即可求出定点坐标.

【详解】由x-2019=0得x=2019,此时/(2019)=a°+2020=2021,

即函数“X)过定点4(2019,2021),

故答案为：(2019,2021).

【点睛】本题考查指数函数恒过定点问题，难度容易.

15.己知函数/(x)=ai(。>0且。工1),若/(2021)>/(2020),则实数a的取值范围是

【答案】(0,1)

【解析】

【分析】

由已知可得a-2020>a-20'9，从而可求出a的取值范围

【详解】解：因为/(幻=。1(。>0且。。1),且/(2021)>/(2020),

所以a'-2021>4-2020,g|J。-2。2。>a-2019,

所以0<a<\,

所以实数。的取值范围为(0,1)

16.己知函数y=/(x)是定义域为R的偶函数，且Ax)在[0,+o。)上单调递增，则不等式

/(2x-l)>/(x-2)的解集为.

【答案】(F,T)U(1,4W)

【解析】

【分析】利用偶函数关于)'轴对称，又由/(X)在［0,+8)上单调递增，将不等式/(2x—l)>/(x—2)转化

为|2%-1|冲_2|,即可解得1)>/@-2)的解集.

【详解】•••函数y=/(x)是定义域为R的偶函数，

/(2x-l)>/(x-2)可转化为，(|2%-1|)>/(卜一2|),

又；/(X)在［0,+8)上单调递增，

f(2x—1)>f(x—2)<=>|2x—1|>2|,两边平方解得：xG(―oo,—1)u(l,+oo),

故f(2x-1)>f(x-2)的解集为xe(YO,-1)5L+8).

【点睛】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式进行

转化是解决本题的关键.

三、解答题

17.在锐角AABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且有a=2csinA

(I)确定角C的大小：

(II)若c=币，且△ABC的面积为空，求a+b的值.

2

71

【答案】(I)y(H)5

【解析】

【详解】试题分析：(1)先根据正弦定理边化角转化为百si的=2siQsiA即可得sinC=中，故

C=60°(2)•：s=-absinC=—>再由余弦定理可得。+力

22

试题解析：

解：

(1)由正弦定理得、尾1口4=25姑或［114，

•..4。是锐角，二5皿。=巫，故C=60。.

2

（2）'：s=-ahsinC^—.：＞ah=6

22

222

由余弦定理得c?=a+kr-2abcosC=(a+b)-3ab=(a+b)-18=7

a+h=5

点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定

理通常用来求解边长

18.已知函数/(x)=cosx-cos[x-,J,xeR.

(1)求/(x)的对称中心和最小正周期；

3

(2)若〃a)=j,求sin2a的值.

【答案】(1)对称中心为f%乃+二,01(ZeZ),7=2乃；(2)—.

I4J16

【解析】

【分析】(1)直接利用三角函数关系系的变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步求出函数的对

称中心和最小正周期.

(2)利用三角函数的关系式的平方求出结果.

/\(r~(乃、

【详解】(1)f(x)=cosx-cosx——=cosx-sinx=，2cosx+—,

I2JI4；

令——k/rH—,解得x=左乃H—QkwZ),

424

(71\

所以函数的对称中心为^+-,0(kwZ),

I4)

27r

函数的最小正周期为7=—=2".

1

3

(2)由于/(a)=cosa—sina=1,

所以(cosa-sina『,

16

9

故1-sin2a=—,

7

解得sin2a=一.

16

【点睛】本题考查三角函数的对称中心、周期，考查三角函数的化简和求值，属于基础题.

19.在口ABC中，内角A5,C的对边分别为a,。,c,且a+2b=2c（l-2cos2-^—J.

（1）求角C；

（2）若C=2G，求口48。周长的最大值.

【答案】（1）C=g；（2）4+273.

【解析】

【分析】（1）由已知根据正弦定理，三角恒等变换可得sinA=—2sinAcosC,结合sinA〉O,可求

cosC=--,由0<C<乃，即可得结果.

2

（2）根据（1）结果，利用余弦定理、基本不等式可求a+6K4,即可解得三角形周长的最大值.

（5+

【详解】（1）由a+2Z?=2cl-2cos2-------得a+20=2ccosA.

I2）

由正弦定理得sinA+2sinB=2cosAsinC,

所以sinA+2sin（A+C）=2cosAsinC,

整理得sinA=-2sinAcosC,

因为sinA>0,

故cosC——,又0<C<7T,

2

所以。二竺.

3

277

（2）由余弦定理得c2=/+b2-2mcosC,又C=——

3

^La2+b2+ab=121

整理得到（a+加2=i2+"«12+[g1^）,又a，6>0

故a+Z?K4,

当且仅当。=8=2时等号成立，

所以周长的最大值为4+26-

【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种

混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.解三角形中的最值问题，可以用基本不等式或利用正弦定理把

最值问题转化为某个角的三角函数式的最值问题.考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.

20.已知函数丁=4疝（8+0）［4＞0,口＞0,阚＜5）的图像过点尸（一：3,0）,且图像上与尸点最近的

一个最低点坐标为2）.

（1）求函数的解析式；

（2）若将此函数的图像向左平移专个单位长度后，再向上平移2个单位长度得到g（x）的图像，求g（x）在

~~i~上的值域.

163」

【答案】（1）y=2sin（2x—看）；（2）［1,4］.

【解析】

Jr、711

--,-2得出A=2,然后根据一二+7得出0=2,

（6）1264

最后将点［一会臼带入y=2sin（2x+。）中，即可求出夕的值，得出结果；

⑵本题首先可根据图像变换得出g（x）=2sin（2x+M+2,然后根据xe得出

IL63.

兀冗、兀

2x+-e,最后根据正弦函数性质即可求出函数g（x）的值域.

O|_OO_

【详解】⑴因为一个最低点的坐标为（一2刃，所以A=2,y=2sin3+0）,

因为—普+?=%，所以最小正周期T=〃，3T=2,y=2sin（2x+0）,

将点［一看，一2）带入y=2sin（2%+e）中，

71

，解得9=—+2卜兀(k€Z),

6

>rrjrJT'

因为|同<一，所以/=---，y—2sin2x—■—.

26V6J

(2)向左平移刍个单位长度后得到函数y=2sin2|x+-V-=2sin(2x+匹

66)6J16

再向上平移2个单位长度得到g(x)=2sin2x+-+2,

\6J

7t71

因为xe

71715".C71\-g，l,g（x）«l，4],

所以2犬+：€,sin2x+—G

666I6j

jr-rr

故函数g（x）在上的值域为[1,4]

【点睛】本题考查三角函数解析式的求法、三角函数图像变换以及三角函数的值域，可根据最值、周期、

三角函数上的点坐标来求出三角函数解析式，考查正弦函数性质，考查推理能力与计算能力，是中档题.

2

21.己知函数./•（X）=x3+a¥2+瓜+c在§与％=1时都取得极值.

（1）求“，〃的值与函数“X）的单调区间；

（2）若对xe[l,2],不等式〃力<。2恒成立，求c的取值范围.

【答案】（1）<"=-5,〃x）的递增区间是,一：）和。，”），递减区间是（一；,1]：⑵c<T或c<2.

b=-2I3/I3J

【解析】

2

【分析】（i）求出的