湖北省2023届高三4月调研模拟考试数学试卷

第八届湖北省高三（4月）调研模拟考试

数学试卷

2023.4

本试卷共4页，22题，全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号

条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在

试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

2

1.复数匚二瓦与下列复数相等的是

(吟..(4吟

A.cos——+zsin——B.cos——+zsin—

<3JI3,、3JI3,

D.-1-V3/

2.已知集合加={#2—3x<（）},7V={x|log2x<4},且全集u=[—1,20],则。=

A.M（2N）B.N（电c.Mi（a，N）D.

3.城市交通信号灯的配时合理与否将直接影响城市交通情况.我国采用的是红绿交通信号

灯管理方法，即“红灯停、绿灯行”.不妨设某十字路口交通信号灯的变换具有周期性.在

一个周期T内交通信号灯进行着红绿交替变换（东西向红灯的同时，南北向变为绿灯；然

后东西向变为绿灯，南北向变红灯）.用〃表示一个周期内东西方向到达该路口等待红灯的

车辆数，V表示一个周期内南北方向到达该路口等待红灯的车辆数，R表示一个周期内东西

方向开红灯的时间，S表示一个周期内所有到达该路口的车辆等待时间的总和（不考虑黄灯

时间及其它起步因素），则S的计算公式为

(H+V)R2HR2+V(T-R^(H+V)/?

A.B.HR+V(T-R)c.D.

222

4.已知数列（«„｝是等差数列，数列｛bn｝是等比数列，若%+为+/=5〃，瓦b4b6=373,

则tan%+%=

1—她

B.-73c.—D.-也

A.V3

33

5.在△ABC中A3.AC=4,|^c|=2，且点O满足3r>=£>C,则卜回=

A.#>B.A/6C.A/3D.—

2

一•.(兀)c.(乃、,(c左、

6.己知sinasm[§-aj=3cosasin[a+,则cos,2a+—^~

A/3I石

A.----B.-1C.——D.---

222

7.已知动直线/的方程为(1一42卜+2冲一3/一3=0,aeR,网e,1),0为坐标原

点，过点O作直线/的垂线，垂足为。，则线段尸。长度的取值范围为

A.(0,5]B.[1,5]c.[5,-H»)D.(0,3]

8.已知函数/（X）及其导函数广（X）定义域均为R,满足-@一%）=2%,记,

（9、

其导函数为g'（x）,且g'（3-x）的图象关于原点对称，则g'（9）+g]

7

A.0B.3C.4D.1

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分.

9.以下说法正确的有

A.某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10,3,8,3,2,18,7,4,则该样本数

据的第50百分位数为5.5

B.经验回归直线y=bx+a至少经过样本点数据中的一个点

C.若P(8|A)=0.3,P(B)=0.3,则事件A,B相互独立

D.若随机变量则P(J=攵)取最大值的必要条件是左=10

10.已知函数/(x)=sin(0x+w)(其中&>(),T为图象的最小正周期,

满足，且在(0/)恰有两个极值点，则有

A71

A.0=------

6

71)

B.函数y=/^+―为奇函数

3a)

I

D.若osN*,则直线y=x-为了(X)图象的一条切线

11.已知在棱长为2的正方体4BCD-446。中，过棱8C,C£>的中点E,尸作正方体

的截面多边形，则下列说法正确的有

A.截面多边形可能是五边形

B.若截面与直线AC|垂直，则该截而多边形为正六边形

c.若截面过AB|的中点，则该截面不可能与直线AC平行

7而

D.若截面过点4,则该截面多边形的面积为'

6

12.已知抛物线炉=2〃丫(〃>0)的焦点为凡过点尸的直线/与抛物线交于4,8两点，

与其准线交于点。，尸为4D的中点，且|”|=3,点M是抛物线上8A间不同于其顶点

的任意一点，抛物线的准线与y轴交于点N,抛物线在A,B两点处的切线交于点T,则下

列说法正确的有

A.抛物线焦点F的坐标为(o,：］

B.过点N作抛物线的切线，则切点坐标为±|,；)

C.在△FMN中，若“做V|=|MF|,feR,贝h的最小值为号

D.若抛物线在点M处的切线分别交87,AT于”，G两点，则忸叫•|G4=|得

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在某项测量中，其测量结果f服从正态分布N（3,Cf2）（b>0）,且P（4>4）=［，则

尸信>2）=.

14.若（以+的展开式中常数项为160,则/+〃的最小值为.

15.已知函数/（x）=log“x—（JR"-log“2（a>l）有两个零点，则实数a的取值范围

为.

16.己知X为包含v个元素的集合（veN*,v23）.设A为由X的一些三元子集（含有

三个，元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯

一的一个三元子集中，则称（X,A）组成一个V阶的Steiner三元系.若（X,A）为一个7阶

的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为.

四、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

设数列｛“前〃项和S“满足S„+a=与L，〃GN*.

n~+n

（1）证明：数列，Sn-—1为等比数歹ij；

I"+1J

11bn7

（2）记丁=---s“，求数列；一百\的前项和T.

b“〃+1欧-1电+「川nn

18.（12分）

如图，在三棱柱ABC-A4cl中，AC=y/2,AB=\,E,尸分别为AC,的中点,

且斯，平面A4£C.

c

（1）求棱8C的长度；

叵

（2）若且AA/C的面积S^FC=f，求二面角与一4尸一。的正弦值.

19.（12分）

在AABC中，D为边BC上一点,ZBAD^90°,ZB=NDAC,12BD=7AC.

⑴求tan2B；

（2）若AB=7,求△ABC内切圆的半径.

20.（12分）

高性能计算芯片是一切人工智能的基础.国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需

进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测.智能检测在生产线上自动完成，包括安全检

测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为"，—,

5049

—,人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置

48

一个综合指标.人工检测综合指标不达标的概率为<〃<1）.

（1）求每个AI芯片智能检测不达标的概率；

（2）人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为f（p）,当〃=为时，/（p）

取得最大值，求网;

（3）若AI芯片的合格率不超过93%,则需对生产工序进行改良.以（2）中确定的Po作为

p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良.

21.（12分）

fV2

己知双曲线C：/一方•=1（a>02>0）的离心率为V2,过点E（l,o）的直线/与C左右

两支分别交于M,N两个不同的点（异于顶点）.

（1）若点P为线段的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（。为坐标原点）;

(2)若A,8为双曲线的左右顶点，且|的=4,试判断直线AN与直线8M的交点G是

否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由

22.(12分)

已知函数〃x)=(cosx-l)eT,g(x)=ax2+(1-ex^x[ae/?).

(1)当xe(O,»)时，求函数/(x)的最小值；

(2)当xe-£,+8]时，不等式“1(■¥)2迎?恒成立，求实数。的取值范围.

2)e

2023年第八届湖北省高三（4月）调研模拟考试

数学参考答案

一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.

1—4BDBA5-8ACBD

二、多选题.本题共4小题，每小题5分,共20分.

9.AC10.BCD11.ABD12.BCD

三、填空题.本题共4小题，每小题5分,共20分.

4-

13.—14.415.\<a<ee16.7

5

四、解答题

17.（1）且%=S,一S,T（）22），

rr-vn

,12S"S’-=，

〃+1n

入〃22）,

In+ljn

s

””]」（心2），令〃=1,可得$=（）,

c[2、'

n

.11

••Sc=，

122

所以数列，s“一一二|是首项为一J",公比为_L

的等比数歹

H+1J22

由⑴可得SL.+NFL）=-Q）

,•「+,-“+1）-2」

.•也=2"

；______4______

色（2«-l）（2n+,-l）

=---1-------1--

•;48。一4四。］为三棱柱，

:.DE〃BF且DE=BF,

：.四边形DEFB为平行四边形，

J.EF//DB

又印1平面A4G。.081平面A4CC,

DB1AC,

又。为AC的中点，

...△ABC为等腰三角形，

:.BC=AB=l

(2)由(1)知，AB2+BC2=AC2,

：.ABLBC,

:.EF=DB=%,且A811B£

且EFlAC,

11V241

：.S^FC=-A]C-EF=-A1CX^=^,

\C=2,

由(1)知D81平面

DBLAA1,又三棱柱中AA^//BB],

r.DB1BBi

又B41AA，所以SB〕_LAB,ABDB=B,

：.BB11平面ABC,

BB]1平面A|B|C|,所以ABC-弓8£为直三棱柱,

二AAA。为直角三角形，可求得

又在三棱柱ABC—a4G中,ABIBC,

AI41EC

以B1为坐标原点，向量4G，8必，方向为X轴，y轴，Z轴正方向建立空间直角坐

标系用一孙z,4(0,0,0),A（O,1,O）,C,（1,0,0）,C（l,0,V2），B（0,0,V2）,

F（0,0,当1,

12）

所以4尸=0,-1,^-,4C=（1,_1,何

I2）

设平面A/C的一个法向量为“=(x,y,z),则

p+*z=o,取鸟

即.

々・AC—ox-y+V2z=0

易知平面与4尸的一个法向量为々=(1,0,0),

设二面角B}-\F-C的平面角为0,

1

|cos^|

同同2

sin^=—

2

19.

A

（1）设AB=ADAC=cc,

AZADC=90°+a,ZC=90°-2a,

ADAC

在△AOC中，由正弦定理可得——-----=————

sin（90°-2a?）sin（90+a）

1o

在△ABO中，AD=BDsina,又AC=±3D，

7

nn.—BD

所以8Dsina=j,

cos2acosa

•.•.sinacosc=—12cosc2a，

7

・1・C12c

・・—sin2a=—cos2c，

27

・24

tan2a=——•

7

“、・・，r2tana24

（2）・tan2a=------------=——，

l-tan~a7

/.（3tana+4）（4tana-3）=0,

又易知a为锐角，

・3

・・tana――

4

..34

••sina=—，cosa=—，

55

•；AB=7,

35

:.BD=—

4f

•••△ARD中，AC=15,

3

又cos/BAC=cos（90°+a）=—sina=，

在△ABC中，

由余弦定理可得，BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosABAC=400

・・・3c=20.

设△A8Q的内切圆半径为r,则

ACsinZBAC^-(AB+AC+BC)r，

则r=2

20.(1)记事件4="每个A/芯片智能检测不达标”，则

4948473

⑴P(A)=1-P(A)=1-------X-------X-------

50494850

(2)由题意/(p)=GoP(l—0)”,

・••/'(P)=50(1-p)4"+px49(1-p)4*x(-l)]

=50(1-p)48(1-50/7)

令/'(P)=。，则'=元,

当o<〃4,IT(P)>O，

当。>白，尸(力<。，

所以/(p)的最大值点〃0=、.

记事件8="人工检测达标”，则

同=1--,又P伍)=1--—=—

1>5050I15050

所以-5)=P(可P(耳可=|^x||=92.12%<93%,

所以需要对生产工序进行改良.

21.(1)由题意得｛a，所以。=。，

c2=a2+b2

设Nh，%)，?(不，%)，则

(22

工一”=1

2

</b

29

殳一江=1

作差得M-%-与_.%+%2=”&

为一%a2y+%a2%

又MN的斜率&〃'=江"=4■•区，女°p=&,

%一々a-y0x0

..b2.

所以^MN^OP=~2=^

a

(2):2a=4

:・a=b=2,A(—2,0)

B(3,0)

直线/：x=1+/y,rWO,

设M(±,y),N(马,%)，

联立卜=：+?('*°)得优_1)/+2h_3=0,

x--y-4、'

A=16/一12>

『一1*0"0

“+为=言’所以加火=堂产

所以［

设直线AN：y=-^(x+2),BM：y（无一2）

%一2

93

X(&+2)_y(%+3)_。|)，+3乂5y+万％

所以土土2