六年级数学上册 第19讲 数字迷综合二（教师版）全国通用

第19讲数字迷综合二兴趣篇1、将表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案。【答案】设是两个互质的自然数，那么。由于互质，如果是两个自然数的倒数，那么是4的约数。那么。。2、在算式中，、、分别代表三个不同的自然数，这三个数的和可能是多少？【答案】14如果都比2大，那么.因此中必有一个数为2，不妨令。。显然，中必然有3的倍数。如果中没有3，那么，因此必有一个数为3。，因此，，。3、如图，将图中每一行左右相邻的两数相加，再除以12，将所得的余数写在它们下一行相应的圆圈内。逐行依次进行上面的操作，最后得到最低端的一个数。请问：对于第一行中不同的自然数，最底端的数一共有多少种取值，分别是什么？【答案】3种；分别是8，0，4我们可以先求和，最后再取余数。如果起始5个数是，那么最后一个数是。在这道题中，最后一个数是。又，余数只能是0,4,8，共3种。4、将最小的10个合数填到图中的10个空格中，要求满足以下条件：①填入的数能被它所在列的最上面给出的数整除；②第三行中每个数都比它上面那一格中的数大；请问：第三行中5个数的和最小等于多少？【答案】66填入的数有：4,6,8,9,10,12,14,15,16,18。那么我们可以确定的有：5下面填10,15。剩下的3的倍数的数有6,9,12,18，必须要填在3和6下面。为了让第3行数字尽量小，有：。剩下4,8,14,16必须填在2和4下面。为了让第3行尽量小，有。 那么整个表格填法如下：。第3行5个数的和最小为665、将1至7这7个自然数填入图中的8个方格内，要求其中有一个数字用两次，其余数字各用1次，并使图中右下角的4个方格中的每格内所填的数均等于它上方和左方相邻方格内两个数的平均数。请给出一种填法，并求出共有多少种填法。【答案】如右上图。1-7这7个数中，1和7是特殊数，因为没有哪两个数的平均数是1或7。因此1,7只能填在这4个位置中。根据右下角的4个数可以推断：且为偶数。那么只有。共有4种填法，其中一个如下图：6、请将数字1至9分别填入图中的各个圆圈中，使得图中每条线段两个端点中所填的数的差（大减小）均为3或4。请给出一种填法，并求出共有多少种填法。【答案】如右图，是图中的特殊位置。因为和四个数相邻，那么它和4个数的差为3或4。因此，。与3个数相邻，因此。和的情况是对等的。那么我们只考虑一个。如果，那么。那么；。共有4种不同填法。再考虑的情况，又有4种。共8种。 7、6□0.3=○，6□=○，6□=○，6□=○。在上面4个算式的方框中，分别填上加、减、乘、除4个运算符号，使4个算式的得数之和尽可能大。请问：这个最大的和等于多少？【答案】要让和最大，那么乘以最大的，除以最小的；加上次大的，减去次小的。于是和的最大值为。8、请用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字各一次，组成5个自然数，使得它们依次是某个自然数的1、2、3、4、5倍。【答案】18，36，54，72，90设这个自然数的数位和是，那么的倍的数位和为。因此这5个数的数位和是：又5个数的数位和是45，是9的倍数。因此。 如果是一位数，那么不可能是三位数，5个数不可能把10个数字各用一次。如果是两位数，那么要求，因此。5个数是：18，36，54，72，90。9、在如图所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数。第二行中的5个数字各是多少？【答案】从左至右分别是2，1，2，0，0分别代表0,1,2,3,4在中出现的次数。必然都是一位数，那么它们共有5个数字，因此。（1）。否则中必有1个数是4，那么5个数中有4个数相同，这是不可能的。（2）。否则中必有1个数是3，中有3个数相同，这也是不可能的。（3）由上两点，。但是，否则。因此。（4），那么。如果，那么我们不能找到的取值。那么。由此可得，。10、图中相同字母表示相同数字，不同字母表示不同数字。且是5的倍数，是4的倍数，求的所有可能值。【答案】3235，3435，3835 （1）若，没有合适的的。（2）若，此时，所以，的值为3235,3435或3835。拓展篇1、自然数12和60是一对很有趣的数，它们的积12×60=720，恰好是12+60=72的10倍，满足上述条件的数对还有哪些，请再举出3对。【答案】（20，20）；（15，30）；（11，110）；（14，35）设这两个数是，那么，那么就转化成了一个分数拆分问题。设是两个互质的自然数，。如果和是两个自然数的倒数，那么是10的约数。于是有：，对应的的值是：。除去外还有4对。2、将表示成两个自然数的倒数之和，给出所有的答案。【答案】设是两个互质的自然数，那么。由于互质，如果是两个自然数的倒数，那么是6的约数。那么。对应的拆分方法有。3、求方程的所有正整数解。【答案】，，，。设是两个互质的自然数，如果和是两个自然数的倒数，那么是35的约数，且不能同时为1.满足条件的数组有：，对应的所有解有：，，，。4、将写成三个自然数（可以相同）的倒数之和，共有多少种方法？【答案】10种设3个自然数分别为，且。那么。又，那么。（1）时，，，5种拆法；（2）时，，，3种拆法；（3）时，，，1种拆法；（4）时，，，1种拆法。共计10种拆法。5、表示一个四位数，表示一个三位数，、、、、、、分别代表1至9中不同的数字。已知。请问：乘积的最大值与最小值相差多少？【答案】525000和相同，差小积大。考虑到7个字母代表不同数字，那么最小是1234，那么。乘积最大为；和相同，差大积小。由于，那么的最小值为234，那么。乘积最小为。最大值与最小值的差为：。6、从1至9中选出8个数字填入算式“□□□□＋□□□□=13579”的方框中，每个数字恰好填一次，使等式成立。请问：（1）没有被选出的数字是多少？（2）两个四位数中较大的数最小是多少？最大是多少？【答案】（1）2；（2）最小7184，最大9865根据计算结果判断，两加数同位相加所得结果可能为：，，，。又，从1-9选出8个数，它们的和应在36-44之间。那么只有和符合条件，没有被选出的数为2。如果是模式，那么可以得到：（两加数同位可互换）；如果是模式，那么可以得到：（两加数同位可互换）。那么，两个四位数中较大的一个最大是9865，最小是7184。7、在下面两个算式：，中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，求的值。【答案】9题目出错，无解！8、小明按照下列算式：乙组的数□甲组的数○1=对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号。他将计算结果填入图表中。有人发现表中14个数中有两个数是错误的，请你改正。请问：改正后的两个数的和事多少？【答案】2改为1.5；改为；先分析□和○所代表的符号。观察第一行的4个计算结果，前3个都比乙大，那么我们可以推测，□代表“”。，那么○代表“＋”号。接下来我们根据算式对每一个结果进行验算：我们发现，第一行第3个数不对，应该将改为；而第二行所有数都有问题。那就说明是2错了。我们倒推一下，发现把2改为1.5，那么所有答案都与原答案相符。因此，出错的两个数的和是。9、如图，请在这个3×6方格表的每个空格中填入一个整数，使得对于第一行中的每个数，它在第二行中出现的次数恰好等于该列第三行所填的数，而它在第三行中出现的次数又恰好等于该列第二行所填的数。（例如第二行第一列中的3，表示第三行中有3个0。）【答案】第二行的数从左至右依次为3，1，1，1，0，0；第三行的数从左至右依次为2，3，0，1，0，0本题和兴趣篇第9题是同一类题。我们可以推知，每一行6个数的和为6。首先考虑4,5下面必须填0。以第二行的4为例：若第二行4下填1，那么意味着第三行有1个4，那么这个4只能填在第三行的0或1下面。如果填在0下面，那么说明第二行有4个0，即第二行剩下4个位置都是0,。那么第二行6个数的和不为6。如果4填在1下，说明第二行有4个1，那么第二行6个数的和已经超过6了。同理可得，4,5下面必须填0。且第二三行中不会出现4或5（否则4,5下面不是0）。 （1），如果说明3在第二行出现了2次，那么第三行除了3个0以外，还有3个其他数，而这是不可能的。因此； （2），如果，那么由（1），。那么没有合适取值。因此； （3），那么第二行只有2个0，那么，。10、在图所示的3×3方格表中，“学、而、思、中、国、第、一、品、牌”这9个汉字分别表示1至9中的不同数字，并满足：①每一个“田”字形内4个数之和都相等；②；③国＞第。请问：“学而思中国第一品牌”代表的九位数是多少？ 【答案】516897243为了表述方便，我们把汉字改为字母。那么。又每一个“田”字形内4个数之和都相等，那么我们可以得到如下等式：。其中每个式子中都有中间数，可去掉。 那么现在我们可以得到。下面对于的数字归属进行讨论：（1），那么，不成立；（2），那么。。又，因此，。那么在2,7,9里找不到合适的取值；（3），那么。。又，因此，。那么在2,8,9里找不到合适的取值；（4），那么。。又，因此，。又，因此。综上，“学而思中国第一品牌”代表的九位数是516897243。11、将1至9填入图的圆圈内，使图中所有三角形（共7个）的3个顶点数字之和都相等。【答案】其中一种填法如下图所示为了便于叙述说明，圆圈内应填的数，先由字母代替．设每个三角形三个顶点圆圈内的数字和为．又∵、，分别代表1～9这九个数．即：．,．这15就说明每个三角形三个顶点的数字之和是15．在1～9九个数中，三个数的和等于15的组合情况有以下8种即：(1、9、5)；(1、8、6)；(2、9、4)；(2、8、5)；(3、7、5)；(2、7、6)；(3、8、4)；(4、5、6)；观察九个数字在上述8种情况下出现的次数看，数字2、4、5、6、8都均出现了三次，其他数字均只出现两次，所以，符合题意的组合中的2、8、5和4、5、6可填入图中的圆圈内，这样就得到本题的两个解．编者按：在找中间3个数时，可以借助3阶幻方（如上图）。在1～9九个数中，三个数的和等于15的8种情况分别对应于幻方的3行3列2对角线。在图中的7个三角形中，3个朝上的小三角形和3个大三角形分别对应幻方中的3行和3列。那么剩下的1个向下的三角形顶点的3个数字，只能是幻方2个对角线之一。因此中间数只能是或。12、图中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形。现在把1、2、3、4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1、2、3、4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1、2、3、4分别填在小正方形的4个顶点上。请问：（1）能否使8个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由。（2）能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由。【答案】（1）不能，8个三角形顶点上数字的和为60，且相等，不成立；（2）能，其中一种填法如下图所示。（1）大正方形顶点用了1次，中正方形顶点用了3次，小正方形顶点用了2次。那么全部8个三角形的顶点和为，不是8的倍数。因此不能使8个三角形顶点上数字之和都相等。（2）能。我们发现，每个三角形都有2个顶点在同一个正方形上，那么这两个顶点处的数字肯定不同。因此这8个三角形顶点和最小是，最大是。4至11间恰好有8个数。我们可构造如下图的一种填法，这里8个三角形顶点和恰好是4至11超越篇1、请在算式“”的每个方框中填入一个数字，使其成为等式，请写出所有的可能。【答案】，，，等号两边同时乘以10，那么就变成了其中都是两位数。设是两个互质的自然数，。如果和是两个自然数的倒数，那么是21的约数，且是2的倍数。满足条件的数组有：。对应的拆分方法有如下5种：，其中不满足条件。于是，题目有5个答案：，，，。2、在图的算式中填入0至9各一次，使算式成立。算式结果的四位数最小可能是多少，最大可能是多少？【答案】最小1026；最大1602考虑数位和。，又这10个数分别是0～9，因此它们的和为45。于是。那么进位次数只能为1或3，或18。（1）若，那么只发生一次进位，那么必然发生在百位。进位1次，那么只有，否则算式中会有重复数字。尝试可得或（2）若，那么发生三次进位。此时能组成的最小的数是1026，我们可以找到；能组成的最大数是1620，无解，我们考虑次大的1602。我们可以找到。 综上，最小1026；最大1602。3、在图中所示的除法竖式中，只知道一个数字“3”，且商是一个循环小数。问被除数是多少？【答案】16为了方便说明，标出字母．O.＝＝÷999＝÷，被除数与除数均为两位数．所以可以约分后为，999为除数的倍数，，999的约数中只有27、37为两位数，所以除数只能是27或37．第四行对应为×3，且为三位数，所以＝37．那么第四行为37×3＝111．则第五行首位为0减1，借位后为9．所以第五行为90，对应为×B+＝37×B+(<)．当B＝1时，37×B+小于37×(1+1)＝54，不满足；当B＝2时，37×B+＝37×2+＝90，解得被除数EF=16．4、图中有11条直线。请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等。求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数。【答案】18；7设每一行几个数之和为，最下面一格填。那么如下图：我们再来考虑位置，通过的直线共有5条，这5条线除了没有通过外，每个格子都经过一遍。那么，。那么为4的倍数。如果，那么，数字重复。那么，。综上，这个相等的和为18，*位置为7。5、将1至12这12个自然数填入图的灯笼中，使得四个椭圆和两条竖线上的各数之和均相等。这个和数最大是多少？请给出一种那个填法。【答案】为了方便表述，先给圆圈编号如右上图。设每个椭圆与竖线中相等的和为。那么我们把所有4个椭圆中的数相加，有那么。（1）若，那么中必有一个不大于11。假设为。那么（2）若，那么。，因此。而，那么，这是不可能的。（3）若我们能找到一组解如下：6、在图的五个圆圈内各填入一个正整数（可以填相同的数），使得图中八个三角形的顶点数字之和互不相同。满足这个条件的自然数有很多组，求使得所填五个数之和最小的一组。【答案】1，2，3，4，6正方形4个顶点上的圆圈任取3个可以组成一个三角形。那么，要让这4个三角形顶点和各不相同，4个顶点上的数字各不相同。中间点和正方形每条边可以组成三角形，那么，要让这4个三角形顶点和各不相同，4条边上那个的两个数字和各不相同。四个角上的数字最小为1,2,3,4。那么1,4；2,3不能在一起，1,4处于对角线位置。这样得到，中间数的最小值为7。如果1,2,3,4不全在正方形顶点上，那么正方形另一顶点的最小值为5。尝试1,2,3,4,5，无解。尝试1,2,3,4,6，可以找到符合条件的一种填法。7、图中共有9条直线，每条直线上有3个圆圈。现将1至9填入图中的圆圈内，能否找到满足下列要求之一的填法？如果能，请给出具体填法；如果不能，请说明理由。使得每条直线上3个圆圈内所填数之和都相等；使得其中有8条直线上3个圆圈内所填数之和相等。【答案】（1）不能，每个数在3条不同的线上，9条线的总和为135，每条线上3个数的和为15。自然数9所在的线上3个数只有两种情况：和，没有第三种情况。（2）能，其中一种填法如下图所示。（1）不能，每个点用了3次，那么可以算出每条线上3个数的和是。而自然数9所在的线上3个数只有两种情况：和，没有第三种情况。因此不能使得每条直线上3个圆圈内所填数之和都相等。（2）能。但这里要注意，9条线上的数字总和还是135，而有一条线上的3个数的和与其它8条线不同。那么这个相同的和必然不是15。如果这8个相同的和是16，那么。现在有，但是在中，找不到其中3个数的和是16，无法构造出来。如果这8个相同的和是14，那么。只有。可以构造出一个解，如下图。8、（1）请