2023年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（三）数学试题

绝密★启用前2023年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（三）数学试卷本试卷共4页，22题.全卷满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔分别填写在试题卷和答题卡规定的位置上.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，则与的夹角为（）A.B.C.D.2.若集合，则的子集个数为（）A.1B.2C.4D.8

3.二项式的展开式中，的系数为（）A.1B.2C.4D.6

4.圆梦杯第二届考试中，有考生的成绩超过70分，有考生的成绩超过100分，若某考生的成绩超过70分，则该考生的成绩超过100分的概率为（）A.B.C.D.5.已知圆台的上下底面半径分别为1和2，高为2，则该圆台的侧面积为（）A.B.C.D.6.已知等差数列的前项和为，且，命题“”，命题：“”，则命题是命题的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.若函数单调递增，则的取值范围为（）A.B.C.D.8.我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上.已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（）A.若，则B.若，则与为异面直线C.若，则D.若，则10.若，且，则（）A.B.C.D.11.已知双曲线的右焦点为，动点在直线上，且，线段分别交于两点，过作的垂线，垂足为.设的面积为的面积为，则（）A.B.C.恒为定值D.的最小值为12.已知数列的前项和为，若，则（）A.为等差数列B.C.D.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若过点的圆与两坐标轴都相切，则该圆的半径为__________.14.若复数满足，则__________.15.已知函数在区间有且仅有1个零点，则的取值范围为__________.16.正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比的最小值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列满足是公比为2的等比数列.（1）证明：是等比数列；（2）求的前项和.18.（12分）在三棱锥中，点在上，.（1）证明：平面平面；（2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.19.（12分）记钝角的内角的对边分别为，已知.（1）若，求的面积；（2）若线段上存在点，使得，求的取值范围.20.（12分）某市教育局为了调查学生热爱数学是否与学生的年级有关，从全市随机抽取了50位高二学生和位高三学生进行调查，每位学生对“是否热爱数学”提出“热爱”或“不热爱”的观点，得到如下数据：高二高三热爱3020不热爱20（1）以该50名高二学生热爱数学的频率作为全市高二学生热爱数学的概率，从全市的高二学生中随机抽取3名学生，记为这3名学生中热爱数学的学生人数，求的分布列和期望；（2）若至少有的把握认为热爱数学与学生的年级有关，求的最小值.附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82821.（12分）已知函数.（1）若是的极值点，求；（2）讨论函数的零点个数.22.（12分）已知椭圆的左焦点为，直线与圆相切于点，且与交于两点，其中在第一象限，在第四象限.（1）求的最小值；（2）设为坐标原点，若，求的方程.2023年普通高等学校招生“圆梦杯”统一考试数学试题参考答案选择题题号123456789101112答案CBDBCCBCADADBCBCD填空题题号13141516答案或1解答题17.（1），为首项为2，公比为3的等比数列；（2）.18.（1），为中点，而平面，平面平面平面.（2）当面时，最大，以为轴，为轴，过垂直于平面的线为轴，，记