数学八年级下册专题17.1 勾股定理-重难点题型（人教版）（教师版）

专题17.1勾股定理-重难点题型【人教版】【知识点1勾股定理】在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=【题型1勾股定理的认识】【例1】（2021春•路南区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）已知a：b＝3：4，c＝10，则a＝，b＝；（2）已知a＝6，b＝8，则斜边c上的高h＝．【分析】（1）设a＝3k，则b＝4k，由勾股定理求出c＝5k，再根据c＝10求出k的值，进而得到a与b的值；（2）首先根据勾股定理求得斜边c＝10；然后由面积法来求斜边上的高线．【解答】解：（1）设a＝3k，则b＝4k，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴c=a2+∵c＝10，∴5k＝10，解得k＝2，∴a＝3×2＝6，b＝4×2＝8；（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，∴c=a设斜边上的高为h，则12ab=1∴h=ab故答案是：6，8；4.8．【点评】本题考查了勾股定理的运用，直角三角形面积的求法，需同学们灵活掌握．注意：（1）中可根据勾股定理求出已知边所占的份数，进一步求解；（2）中掌握直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．【变式1-1】（2020秋•本溪期末）在Rt△ABC中，斜边AB＝3，则AB2+BC2+CA2＝．【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理得到斜边的平方等于两直角边的平方和，根据斜边AB的长，可得出两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，∴AC2+BC2＝AB2，又AB＝3，∴AC2+BC2＝AB2＝9，则AB2+BC2+CA2＝AB2+（BC2+CA2）＝9+9＝18．故答案为：18【点评】此题考查了勾股定理，是一道基本题型．熟练掌握勾股定理是解本题的关键．【变式1-2】（2021春•广州期中）在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（）A．AC2+AB2＝BC2 B．AB2+BC2＝AC2 C．AC2﹣BC2＝AB2 D．AC2+BC2＝AB2【分析】根据在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，可以得到∠C的度数，然后根据勾股定理，即可判断各个选项中的说法是否正确．【解答】解：在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2＝AB2，故选项D正确，选项A、B、C错误，故选：D．【点评】本题考查勾股定理、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．【变式1-3】（2020春•灵山县期末）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，两直角边长及斜边上的高分别为a，b，h，则下列关系式成立的是（）A．2a2+2C．h2＝ab D．h2＝a2+b2【分析】设斜边为c，根据勾股定理得出c=a【解答】解：设斜边为c，根据勾股定理得出c=a∵12ab=1∴ab=a2+b2•h，即a2b2＝a2h2+∴a2即1a故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．【题型2利用勾股定理解勾股树问题】【例2】（2020秋•惠来县期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）A．16 B．25 C．144 D．169【分析】根据勾股定理解答即可．【解答】解：根据勾股定理得出：AB=A∴EF＝AB＝5，∴阴影部分面积是25，故选：B．【点评】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2解答．【变式2-1】（2021春•海淀区校级月考）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，则图中所有正方形的面积的和是（）A．64cm2 B．81cm2 C．128cm2 D．192cm2【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积进而求出即可．【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2，又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，∴正方形A、B、C、D的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）＝x2+y2＝82＝64（cm2），则所有正方形的面积的和是：64×3＝192（cm2）．故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理，根据数形结合得出正方形之间面积关系是解题关键．【变式2-2】（2021春•汉阳区期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为6，10，4，6，则最大正方形E的面积是（）A．94 B．26 C．22 D．16【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，即S3＝6+10+4+6＝26．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．【变式2-3】（2021春•天津期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于．【分析】根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到S1+S2的值，从而可以解答本题．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵S1＝π（AC2）2×12，S2＝π（BC2）2×12，S3＝π∴S1+S2＝π（AC2）2×12+π（BC2）2×12=π∵S3＝9π，∴S1+S2＝9π，故答案为：9π．【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【题型3利用勾股定理求线段长度】【例3】（2020秋•新吴区期中）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（）A．21 B．15 C．6 D．21或9【分析】高线AH可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即可求解．【解答】解：如图所示，在Rt△ABH中，∵AB＝17，AH＝8，∴BH=1在Rt△ACH中，∵AC＝10，AH＝8，∴CH=1∴当AH在三角形的内部时，如图1，BC＝15+6＝21；当AH在三角形的外部时，如图2，BC＝15﹣6＝9．∴BC的长是21或9．故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．【变式3-1】（2021春•庆云县月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝15cm，CH⊥AB垂足为H，CH＝．【分析】利用勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积求法得出HC的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据勾股定理可得：BC=A∵Rt△ABC的面积=12×BC×AC=1∴20×15＝25×CH，解得，CH＝12（cm）．答案为12cm．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【变式3-2】（2021春•天津期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则BE的长为．【分析】根据线段垂直平分线的性质，可以得到AE＝BE，再根据勾股定理，即可求得BE的长．【解答】解：连接AE，∵ED是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，设AE＝BE＝x，∵AC＝9，BC＝12，∴CE＝12﹣x，∵∠ACE＝90°，∴AC2+CE2＝AE2，即92+（12﹣x）2＝x2，解得x=75故答案为：758【点评】本题考查勾股定理、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式3-3】（2020秋•上海期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD＝．【分析】根据勾股定理求出CD，再根据勾股定理用BD表示出BC，根据题意列出方程，解方程得到答案．【解答】解：在Rt△ACD中，CD=AC2在Rt△BCD中，BC=C在Rt△ABC中，BC=A∴27+BD解得，BD＝9，故答案为：9．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【题型4利用勾股定理求面积】【例4】（2020秋•青羊区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为（）A．3 B．10 C．12 D．15【分析】作DH⊥AC于H，如图，先根据勾股定理计算出AC＝10，再利用角平分线的性质得到DB＝DH，进行利用面积法得到12×AB×CD=12DH×AC，则可求出DH，然后根据三角形面积公式计算【解答】解：作DH⊥AC于H，如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=6∵AD为∠BAC的角平分线，∴DB＝DH，∵12×AB×CD=12∴6（8﹣DH）＝10DH，解得DH＝3，∴S△ADC=1故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．也考查了角平分线的性质．【变式4-1】（2020秋•肥西县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC＝3，且BD：DC＝5：4，AB＝5，则△ABD的面积是．【分析】根据角平分线的性质，可以得到DE＝DC，然后根据BC＝3，且BD：DC＝5：4，可以得到DC的长，从而可以得到DE的长，再根据AB的长，即可计算出△ABD的面积．【解答】解：作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE，∵BC＝3，且BD：DC＝5：4，∴DC＝3×4∴DE=4∵AB＝5，DE⊥AB，∴△ABD的面积是：AB⋅DE2故答案为：103【点评】本题考查勾股定理、角平分线的性质，解答本题的关键是求出DE的长，利用数形结合的思想解答．【变式4-2】（2020秋•锦江区校级期中）已知△ABC中，AB＝17，BC＝21，CA＝10，求BC边上的高及△ABC的面积、【分析】作AD⊥BC于D，设CD＝x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝21﹣x，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，即102﹣x2＝172﹣（21﹣x）2，解得，x＝6，即CD＝6，则AD=A△ABC的面积=12×BC×【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【变式4-3】（2020秋•中原区校级月考）如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD=52，则△A．18 B．36 C．72 D．125【分析】先作辅助线，AE⊥CD于点E，CF⊥AD于点F，然后根据勾股定理，可以得到CF的长，再根据等积法可以得到AE的长，然后即可计算出△ABC的面积．【解答】解：作AE⊥CD于点E，作CF⊥AD于点F，∵AC＝CD＝5，AD＝6，CF⊥AD，∴AF＝3，∠AFC＝90°，∴CF=A∵CD⋅AE2∴5AE2解得．AE=24∵BD=52，∴BC=15∴△ABC的面积是：BC⋅AE2故选：A．【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【知识点2勾股定理的验证】勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的．用面积方法证明勾股定理是最常见的一种方法.【题型5勾股定理的验证】【例1】（2021春•海淀区校级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．【解答】解：A、∵12ab+12c2+12ab=12（a∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×12ab+c2＝（a+b）∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×12ab+（b﹣a）2＝c∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．【变式5-1】（2020秋•中牟县期中）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四边形AECD＝S四边形DEBC【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．【解答】解：根据勾股定理可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的证明依据．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．【变式5-2】（2020秋•仓山区校级期末）在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab．由此推出勾股定理a2+b2（1）请你用图（Ⅱ）的面积表达式验证勾股定理（其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间的部分是一个小正方形EFGH，AE＝a，BE＝b，AB＝c）；（2）请你用图（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y）2＝x2+2xy+y2．【分析】（1）根据大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个直角三角形的面积，即可证明；（2）可以拼成一个边长是x+y的正方形，它由两个边长分别是x、y的正方形和两个长、宽分别是x、y的长方形组成；【解答】解：（1）大正方形的面积为：c2，中间小正方形面积为：（b﹣a）2；四个直角三角形面积和为：4×12由图形关系可知：大正方形面积＝小正方形面积+四直角三角形面积，即有：c2＝（b﹣a）2+4×12ab＝b2﹣2ab+a2+2ab＝a2+b（2）如图示：大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y）2，它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，即x2+2xy+y2所以有：（x+y）2＝x2+2xy+y2成立；【点评】此题考查勾股定理问题，注意熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法．【变式5-3】（2020春•包河区校级期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为4×12ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）运用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，列出方程求解即可；（3）画出边长为a+b和a+2b的矩形即可．【解答】解：（1）梯形ABCD的面积为12也可以表示为12ab+1即a2+b2＝c2；（2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，解得x=9（3）如图，由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．【点评】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握相关定理是解答此题的关键．【知识点3勾股定理的应用】（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．

（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．【题型6勾股定理的应用】【例6】（2021春•涪城区校级期中）如图，有一直立标杆，它的上部被风从B处吹折，杆顶C着地，离杆脚2m，修好后又被风吹折，因新断处D比前一次低0.5m，故杆顶E着地比前次远1m，求原标杆的高度．【分析】由题中条件，可设原标杆AB的高为x，进而再依据勾股定理建立平衡方程，进而求解即可．【解答】解：依题意得AC＝2，AE＝3，设原标杆的高为x，∵∠A＝90°，∴由题中条件可得AB2+AC2＝BC2，即AB2+22＝（x﹣AB）2，整理，得x2﹣2ABx＝4，同理，得（AB﹣0.5）2+32＝（x﹣AB+0.5）2，整理，得x2﹣2ABx+x＝9，解得x＝5．∴原来标杆的高度为5米．【点评】本题主要考查了简单的勾股定理的应用问题，能够熟练掌握．【变式6-1】（2021春•永定区期中）如图，木工师傅将一根长2.5米的梯子（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，这时梯足B到墙底端O的距离是0.7米，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到点A′时，梯足将外移多少米？【分析】在直角△ABO中，已知AB，BO可以求AO，在△A′OB′中，再利用勾股定理计算出B′O的长，进而可得BB′的长．【解答】解：在直角△ABO中，AB为斜边，已知AB＝2.5米，BO＝0.7米，则根据勾股定理求得AO=A∵A点下移0.4米，∴A′O＝2米，在Rt△A′OB′中，已知A′B′＝2.5米，A′O＝2米，则根据勾股定理B′O=A'B∴BB′＝OB′﹣BO＝1.5﹣0.7＝0.8（米），所以梯子向外平移0.8米．【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理的灵活运用，本题中找到AB＝A′B′的等量关系是解题的关键．【变式6-2】（2020秋•沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部