空间曲线曲率计算公式及推导

1.4空间曲线的曲率定义及

计算公式

f->

引理设°G）是单位圆周上的向量，即II。（5川=1

—>—>

设与(之间的夹角记为

a(s+-)Qs)，贝U有

lim|丁|=||a'(s)||

面7°\s

证明由于

—>—>

fQ(S+A5)—4(S)

a(s)=lim--------------------

Asf。As

后⑸1blim应0匕&处

所以33

c.附.\e

2sin——sin——

=lim|--------1=lim|____2_

A—。AsAzO△eAv

T

=um।----1

加

Aso

(用解等腰三角形或用余弦定理，得

||6z(5+Ay)-a(s)||=Vl2+12-2xlxlxcosA^

=^2-2(l-2sin2^)=2|sin^|

O)

—>—>

定理L2设曲线r：r="S)(S是弧长参数)上的每一点有一

—>

个单位向量"(s),

"(s+Av)与Q(s)之间的夹角记为八8，则有

lim|—1=||a\s)||

加一°As

o

—>—>

设曲线「：〃=〃(s)，这里参数$是曲线自身的弧长，

—►-»

我们知道，,⑸是曲线的切向量，且"/(S)11=1,

—>

即/（S）是单位向量。

->->->->

记T=r'(s),T'(s)=r〃(s)

A8t

—>lim|—Hir(5)||

T(s)与T(s+Ay)的夹角心-0As-度量了曲

线的弯曲程度，我们称之为曲线r="$）的曲率，用《）来表示,

4(s)—lim|1

即A5f。As

lim|—1=11T'⑸11=11/'(s)ll

由于心—As-

->

所以曲率-S）引〃（sM

（举例解释，需要曲率这个量来刻画曲线；曲珑拐弯，拐弯抹角的程

度。）

.f——

例1.直线可以用向量方程表示为"S）="s+",其中〃和U为

—>

常向量，并且"""二1,这时切向量丁⑸=「'（$）=”是常向量,

从而〃"G)=°,曲率左(s)=°。

―>

反之，假如左二o,即⑸=0,

T,(、ffT->f

us+v

由此可知〃(s)是常向量，进而解得"S)=，其中〃和口为

常向量。

由此可知：直线的特征是k=00

例2求圆曲线

f

r(9)=(ocosaasin。)

的曲率。

8二上

解由于5=1夕，一a,

所以圆方程的弧长参数表示为

r{s}=(tzcos—,«sin—)

a

r\s)=(-sin—,cos-)

这时，aa

:/1s1.s、

r(s)=(——cos—,——sin—)

aaaa

f1

k(s)二||一〃。)||二一

于是，a

即圆的曲率等于其半径的倒数。

空间曲线曲率的计算公式：

设曲线r：〃="/)，这里参数’不必是弧长参数。

—>—>

drdrdt?,、dt

——=--------=r(?)——

我们有dsdtdsds

2

dr722、d~t

将以上两式的双方作向量外积，得

—>—>

2

drdr)丁3

——x--=rxr(t

dsds~

->->->

drdr

-------二1

dsds

dr

ds

得*=。.（即相互垂直）

所以

—>

d~r

校)=11LII

ds

->

drd-r

川n加*下北

->->dt

=||/⑺xr"⑺II♦1（了）31

as

T

由于||dr||=ds

I当3=||半『3=||"『3/%『3

所以asatat

由此得出曲率公式

lkW?（/）||

k（D=

ll?（OII3

—>

厂⑺=（M，）,y«）,z«））

护||7«）X7'«）||2

JO

=11后）『||八）『-（％,/⑺）2

22

=3⑺2+y（r）+z'（r）2）.（x〃（r）2+/（r）+z"（ty）

一(x'Q)x〃⑺+/(?)/(?)+Z'("⑺)2

I

ZQ)="

代入曲率公式，可得简便计算公式

1—>—>—>T

=——[II产⑴||2-||r'(t)~-r"⑴>]2

II/(Oil3

例3求圆柱螺线

r(t)=(acost,asint,bt)a>0

的曲率。

解解法1直接计算，得

r'(t)=(-asmt,acost,b)

从“一u计算起的弧长为

1

\la2+b2

1

co=-1一,—,

记,则有r=公，

—>

于是尸_r(s)=(acosCDS,asinCDS,bcos)

户'(s)=a)(-asincos,acoscos,b)

/'(s)=ar(-acoscos,-asincos,0)

故稔)=/⑸||=#”小

解法2直接计算，得

—)

r'(t)=(-asint,acost,b)

-»

/'«)=(-acost-asinr,0)I

所以，

II:11=JY+r

/

II31|=a

/

—>—)

(/⑺/〃⑺)=0

I

—>—)

2

vl|/(0xr70ll

—>—>—>—>

=11/⑺『||小)『一(/«)，〃⑺)2

=a2(a2+b2)

I

心l|rW?(r)||

k(八二----------------------

11%『

代入公式

得出曲率

它是一个常数，这与几何直觉是相符合的。

平面曲线的曲率计算公式：

->

设平面曲线L：厂⑺=(x«)，y«))。

—>—>—>―A

斗々)『|卜〃⑺『一(/⑺/〃⑺了

=(y(r)2+y(O2).(Z(r)2+/(r)2)

—(%'«)%〃")+V0)y〃Q))2

=(%'⑺y〃⑺一九〃⑺y'⑺产

所以，平面曲线L:

厂O=（x«）,y«））的曲率

wJ/(r)/(r)-Z(r)W)l

3(—+y3)%

对曲线y=y。）,

（x=x

此时］一（%）,

则曲率

Iy〃(%)I

k(x)=

(i+y%

若曲线由极坐标方程r=r（9）给出，且“,）二阶可导。

则可得

x=r(0)cos0

y=r(3)sin0

x=r'cos。一厂sin6

y'=r'sin8+rcos。

x"-r"cos。一2/sin。一rcos，

ny"=r"sin8+2/cos。一rsin。

由曲率公式

k(t)=------------------------------------------v-------

(£(力2+y，0)2)%

/

可计算：

f⑹2+y(e)2=/+产

x\6)y〃(6)-%〃(e)y(e)

22

=(?r"cos6sin6-rr"sinz6+2/2cos?g_cossjn_rr'cos6?sin6?+rsin0)

-(/r"cos6sin0+rr*cos20-2r,2sin20—2rrrcossin-rr*cossin-r1cos20)

=r2+2/—rr'

o

代入，得曲率为

\r~+2r'-rr"\

KJ----~

(户+小)2

例6求心形线r="（1+COS。）（4>0）在°二°处的曲率。

解

r（6»）=2a

r|柒0=_asin夕19=o=O

r\0=o=-acos0\（,=o^-a

，

r2+।czr-rrn

K=3

代入公式(/+/2户

...它在e二°曲率为

（2Q）~-2a（-a）3

k=

34a

「（2疥

空间曲线曲率公式的另一种证明方法：

对光滑曲线：⑺,te[a,/3](

S«)='||p(r)||dr了=11/⑺ll>0

dt_\_1

ds，II；'⑺II

dtt

s=s")严格递增反函数存在记为t='G)把它代入r="/)；

—>

所以，厂是s的函数，这里参数S是弧长参数。

我们有

—>—>

d.r_drdt

dsdtds

drdt=11/Q)II=1

—>—>—>

drdr

asdsds

T—>

设曲线「：'="，）=（%⑺,y0）,z（。）

这里参数’不必是弧长参数。

我们有"Q)=(x'Q),y'Q),z'Q))

—>->—>

II/«)『=(/()/«))

I

di7⑺ny=[(P(o,rwr

1——二

=”‘《）’/«））22(%/%))

ll?(OH.

I

__?dc~

sQ)=fl|/«)||dr帮=11/(。”

JotCll

ti

—>—>—>—>

„dr.....dr,drdr,

11—11=1II—ll-2=l---=1

as/as/dsds

JIGV<-II_IIG)</-IIIIGV<-IIJIG)</-II

(OVW)--i―(GVW)r

<-<-<-<-

spJIG)/II

三(IIQ)川I)一

<-~r

spIIQ)jllSpSpSp

--X)-()---(--)--

ipI---------Ipipp

IP

IIQ)/IIspII⑺*1=2

~rjp

spsp

(万)万⑺<+?

spspjpsp

—Q)/=--------二—

卬］jpapAp

<—<—

spsp'spsp

J_-p--J--p--0=-J-P---/--r

—>->

drd~r

--------=U

由dsds~

代入计算，得

TTz7/—>✓7z7/

/⑺,尸⑺(丁)2+||/⑺『f(?)=0

asasas

由此而来

->—>AtTz/z7f

/⑺•/(力(f)2=-||/⑺(f)

dsasas

->

d~r2,2I”、d.dt.

一+/«)——(——)

--=r\t

由dsdsds，得

II?『=11%II2A4+2拓).»)g)2AA

asasasasas

+n?(on2(a)y

asas

—1fy,开

=V〃Q)『一一-II/(Oil2(z3/))2

ll/(/)ll4dsds

[(/⑺/〃Q))f

=Hr7?)ll2-------\\r(t)\\

II%『

II

1--—>—

——口1/«)1|2•||r'(f)||2一(/«)/"⑺))2]

11^(0II6

故得空间曲线「：

r«)=(x"),yQ),z。))

的曲率

左=11筌II

as

\->->——2

———酎"⑴『』/«)『-(々"⑴)为2

II/«)『

11/⑺II

设平面曲线L:

厂⑺=(x«),y«))

/

->—)

l|/Q)xr〃0)『

->—>—>—>

■1/(。『||/«)『—(/«"〃⑺)2

=(/(r)2+y(r)2).(Z(O2+/(z)2)

一(九'⑺KQ)+y'⑺<⑺了

=(£«)、〃⑺-/⑴>3)2

所以，平面曲线L:

厂«)二(%«)，)«))的曲率

k(f)=3«)y"Q)r"();/«)|

(/⑺2+y«)2)%

o

(x=X

当曲线L由方程>=/(")给出时，此时〔丁=/(%),采用

上式，

xr=iy=/'（%）x〃=o<=/〃（%）

故曲率

Iy〃I二"〃⑺I

k=

（1+（行）％[l+C/W]%

曲率半径：若光滑曲线L在点p处的曲率为k,

R=-

当“w°时，称k为曲线L在P处的曲率半径。

（平面曲线的情形，也有用几何图形给出的更便利直观的证法，见华

东师大的书。）

例1、求曲线>的曲率的最大值。

解由曲率K的表达式

]二（i+y'2）a3

=e-x（l+e2xy

K~|/|

273

从而得K的最大值为9o

例2、证明：若曲线的全部切线经过同一点，则该曲线是一条直线.

证明证法一

设曲线的切线经过“，

则有用)—%=4%)/«),

于是J。)=/l'Q),

r\t)xr'\t)=/«)/(，)xr〃(1)

假如"⑺X"⑺w0

/

则软力=1

再由“⑺=厂'«)+〃，)/'(，)

I

得〃疗⑺=0尸⑺=0

，/甲突,

所以"⑺x/⑺=0,

口而此支K(t)=

从而曲率0

故曲线必为一条直线.

证法二设曲线为“)，s为弧长参数全部切线经过的点为rG

则有«s)-%=4(s)7(s)

/从An而u/(s)=x'(s)/(s)+X(s)/'G),

由IIJ(s)『二l

得/(s)与r"(s)正交，

干J(s)||/(s)『二O,

于■是

|2(s)|=||«s)—2||w0,

t±JJ

以后尸(s)=0

必有'',

所以"(s)为一条直线.

例3、求椭圆

X=«COSZ,y=bsint,0<t<2万上曲率最大和最小点

解由于

xf=—asint,x"=—acost,

Y=bcost,y"=-bsint

W-F

由公式S+（行产,

K=________验______

得（〃sin2t+b2cos2

_ab

[（a2-Z?2）sin2Z+/?2]3/2

不妨设4">°,

f——rr

于是在“-u，〃（长轴端点）处曲率最大；

_71

而在‘一,、2（短轴端点）处曲率最小；

'--K=-

max729min2

且ba

fx2+y2+z2=9,

j丫22=q

例4、由下述方程确定一条球面曲线：〔")一>

给定曲线上的一点稣=(22)，

求曲线在4处的曲率.

解曲线为

r(x)=(x,y(x),z(x)).

I

由条彳名导X2-y2=3,2x2+Z2=12.

再由2x-2W=0,4x+2zz'=0得

丁一肛'丁-f

y=一，y

yy2y3

,2x„