杨辉三角问题

第六章

杨辉三角问题1(2004年上海市普通高校春季高考数学试卷第11题)如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为2:3.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051………………………………一.引入高考问题杨辉是谁?什么叫杨辉三角形?2解读:杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家。字谦光，钱塘〔今杭州〕人。杨辉的数学著作甚多,有《日用算法》《杨辉算法》等.杨辉杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合的性质有关，杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律。古今中外，许多数学家如贾宪、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过，并将研究结果应用于实践。二.杨辉简介3

11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………

这个表就称为杨辉三角三.什么叫杨辉三角?4四.这个表出自何处？这样的表，最早出现在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》一书中。在这本书里，记载着类似下面的表：56历史证明，“杨辉三角〞出现在杨辉编著的《详解九章算术》一书中，且我国北宋数学家贾宪〔约公元11世纪〕已经用过它，这说明我国发现这个表不晚于11世纪．然而，在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角．其实，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右.7五.杨辉三角根本性质1.三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加2.杨辉三角具有对称性〔对称美〕，与首末两端“等距离〞的两个数相等3.所有行的第二个数构成等差数列

11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………

讨论8

111

12113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………

所有行的第二个数构成等差数列9

111121

13311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………

三角形数4.第三斜行的规律10

11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………

5.与数字11的幂的关系11

11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………

6.与数字2的幂的关系++++++杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂。12〔a+b)1=〔a+b)2=〔a+b)3=〔a+b)4=〔a+b)5=〔a+b)6=

1a+1b1a2+2ab+1b21a3+3a2b+3ab2+1b31a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b41a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b51a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6

111211331146411510105116152015617.与二项式展开式系数的关系〔a+b)n展开式的系数就是杨辉三角的第n+1行写一写13右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式Cnk

an-kbk

：二项展开式的通项,记作Tk+1Cnk：

二项式系数(k∈{0,1,2,‥·n})(a+b)n＝Cn0

an

＋Cn1

an-1b＋Cn2

an-2b2＋‥·＋Cnk

an-kbk＋

‥·＋Cnnbn(n∈N*)Tk+1=Cnk

an-kbk(k∈{0,1,2,‥·n})二项式系数为Cn0，Cn1，Cn2，…

Cnk,…,Cnn.就是杨辉三角的第n+1行的数字.重要性质：〔每年必考〕14第1行1第6行15101051第2行11第3行121第4行1331第5行14641第7行1615201561第8行172135352171第9行18285670562881……第n+1行15

11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………

8.斜行和水平行之间的关系

n行中的第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和第1行第6行第2行第3行第4行第5行第7行16

111121133114641151010511615201561

9.斐波那契数列112358换一角度“斜〞向看：斜线的和依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．a1=1,a2=1,a3＝2，……有：an=an-1+an-2(n≥3)17斐波那契数与植物花瓣3……百合和蝴蝶花5…蓝花、耧[lóu]

斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛[gèn]花8………翠雀花13………金盏和玫瑰21……………紫宛34、55、89……………雏菊18同学们，杨辉三角中还有很多奥秘等待你们去探索、发现！19(2004年上海市普通高校春季高考数学试卷第11题)如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为2:3.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051………………………………n=34解决高考问题20高考模拟题21高考模拟题222007年高考23多24高考模拟题2526【2010年高考浙江卷理科数学试题】〔19〕如图，一个小球从M处投入，通过管道自上面下落到A或B或C，小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。某商家按上述投球方式进行促销活动，假设投入的小球落到A，B，C，那么分别设为1，2，3等奖.〔I〕获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%，记随机变量为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及数学期望〔II〕假设有3人次〔投入1球为1人次〕参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求.27（Ⅰ）解：由题意得的分布列为 则（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，获得1等奖或2等奖的概率为 由题意得 则P90%70%50%3328

11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………

1.在弹球游戏中的应用

六.杨辉三角的实际应用29弹球游戏，小球向容器内跌落，碰到第一层挡物后向两侧跌落碰到第二层阻挡物，再向两侧跌落第三层阻挡物，如此一直下跌最终小球落入底层。根据具体地区获的相应的奖品〔AG区奖品最好，BF区奖品次之，CE区奖品第三，D区奖品最差〕。AB