《常微分方程》(王高雄)第三版课后答案

常微分方程习题2.1

1.半2孙，并求满足初始条件：x=O,y=l的特解.

ax

解：对原式进行变量分离得

1,2

—dy2x公，两边同时积分得：1nly|X。，即V把工仇丁1代入得

x~

c1,故它的特解为ye°

2

2.ydx(xl)dy0,并求满足初始条件：x=O,y=l的特解.

解：对原式进行变量分离得：

~^—dx」力，当y0时，两边同时积分得；—G即y-----------

x1y''ycIn$]

当y0时显然也是原方程的解。当x0,y1时，代入式子得c1,故特解是

1

y——r。

111“X|

2

空1y

dxxyx^y

解：原式可化为：

22

手U——二显然二■0,故分离变量得-^dy-^dx

dxyxx>\yxx

1212o

1

两边积分得51nlyln|jj-lnlXln|c](c0),即(1y)(1%一)%

22、2

y)。

故原方程的解为(1)XX

4(1Qydx(1y)xdy0

解：由y0或X0>方程的解，当孙0时，变量分离公1ydy0

两边积分In卜|xlnj|\yc,即In町|*yc,

故原方程的解为1中[xyc-,y0;x0.

5:(yx)dy(yx)dx0

解禁Xdydu

，令—w,yiix,x——

yxxdxdx

duu1

则〃x———―「，变量分离，得：

dxu

U1X

两边积分得：arct&u，n(l%)用

,dy22

6.x-y

dxy

解：令)■“X,空UX"，则原方程化为：

Xdxax

du(1“2),分离变量得:二^dx

^=2dusgnx

dxxux

两边积分得：arcsinusgnx

代回原来变量，得arcsin上sgnxIn才|c

x

2%,也是方程的解。

另夕卜

7：tgydxctgxdy0

解：变量分离，得：ctgydytgxdx

两边积分得：中sin》ln|cosA：|

y

解：变量分离，得当力

ey

9:x(lnxIny)dyydx0

解：方程可变为：ln^dy^dx0

xX

令〃则有：、氏Inw

4d\nu

XX1Inu

代回原变量得：0In上

X

吟e

解：变量分离.dyedx

y

两边积分ee

dyy

丁eX

解：变量分离,

eec

两边积分得：

11（Xy）2

.a中x'

解：令xyr,则半$1

axax

原方程可变为f11

dx（2

变量分离得：21dt公，两边积分awfgrxc

t1

代回变量得：arctg{xy）xc

12.虫―L—

dx(xy)

解

令Xyt,则半W1，原方程可变为W

dxdxdx

变量分离，Tlfdx,两边积分，arctgtx代回变量

xyarctg{xy)xc

1392A,V1

dxx2y1

解：方程组2xy10,x2y10；的解为x

令xX

dXX2Y

令上U,则方程可化为：X?22U2

XdX12U

变量分离

14,立X5

dxxy2

解：令》y5f,则当手，

dxdx

原方程化为：以」，变量分离。7)dtIdx

dxt7

两边积分;‘7t7xc

12

代回变量爰(Xy5)-7cx>'5)lxc.

l5上(X1)2(4y1)28孙1

dx

解：方程化为泰x22尤1I6y28yl8孙1(x4y1)22

令1x4yu,则关于x求导得14半半，所以;坐u2

dxdx4dx4

i90Q

分离变量一——dudx,两边积分得a/rfg(-三力6xc,是

4«•9333

原方程的解。

解.dy_(>3)22/dy33[(/)22一」,令为

32

dxy2(2孙3x2dx2xyx七则原方程化为

3u2

du3〃26x22

x这是齐次方程令

dx2xux22u]

x

2Z

»muduzxdz,所以"6dzdzz'°......⑴

—z,WJ——―—―zx—,x——―--

xaxax2z1dxax2z1

当z2z60,得z3或z2是(1)方程的解。即y33x或)，32x是方程的解。

当z2z60时，变量分离:21dz两边积分的(z3),(z2)3x

zzax

即(/3x)7(/2x)3x5c,又因为V3x^y32x包含在通解中当。0时。故原方程

715

的解为(V3%)(/2x)3%c

*dy2x33xyx

dx3x2y2y3y

解：原方程化为事x(2V3y2i)dy22/3y11

dxy(.3x22y21)dxr3x22y21

入，2EIdu2v3M1小

vy〃，；；；；；%匕；；；；；；贝［I3----—；~...(1)

dv3v2M1

"J"1u的解为(1,i);令zVL,y"L

方程组3v2M10

则有2z3yu,,,,从而方程(1)化为在23:

、3z2yodz公n丫

J，—

z

令

t4,则有半dt.dt23/dt22t2

z历，所以一z--..-.-.-.--(-2-)-

zdzdz32tdz32t

当

22/20时，，即f1,是方程(2)的解。得y2*22或＞2x2

是原方程的解

当

2"附’分离变量得冒殳两边积分的…2(/-2)5c

另外

y2-2,或＞2X2,包含在其通解中，故原方程的解为y2X2(y2x22)5c

18.证明方程土华/(町)经变换孙〃可化为变量分离方程，并由此求解下列方程

yax

:烂站2也小

ydx2x2y2

证明：因为xyu,关于x求导导得yx，孚，所以x半*y

dxdxdxdx

得二也1f(u),------------(f(u)1)-iuf(u)u)

ydxdxy(f(u)1)xx

故此方程为此方程为变程。

xdy]22

解(1):当X0或y0是原方程的解，当xyOs时，方程化为

ydxxy

人du1—udu1.

令xyu,则方程化为-—(2u3),变量分离得:-------一dx

dxx2uu?x

两边同时积分得T—A4,即/—A2,y

CC0也包含在此通解中。

22

uX2y

故原方程的解为原■上一cx；x0.

xy2

解⑵令xyu,则原方程化为电12u214〃

笊JR“)

x2u2

分离变量得才">■两边积分得咽?

这也就是方程的解。

已知f(x)f(x)dtl,x0,试求函匆'(x)的一般表达式•

0

解：设f(x)=y,则原方程化为f(x)dt1两边求导得‘量)

1

y3公一不丁;;;;;;;;;;;;两边积分得xc—所以y

dxyay2y72%c

1X

把y/代入fWdt

y/2xC0y

X11

dt4xc;;;;;;;;;;(14~c-c)V_2x/得c0,所以y

0J2rcyflx

20.求具有性质x(t+s尸普里的函数x(t),已知x，(0)存在。

1x(r)x(s)

解：令t=s=0x(0)="⑼"⑼=2」。)若x(0)。得x--1矛盾。

1x(0)1x(0)x(0)

所以x(0)=0.x'(t)=lim约_警号?_%'(0)(1x(7))

tr[lx(r)尤(。

竽x1(0)(lx2⑺)取?x'(0)dt两边积分得arctg

dt1xv)

x(t)=x<0)t+c所以x(t尸tg[x，(0)t+c]当t=0时x(0)=0故c=0所以

x(t)=tg[x5(0)t]

02411黄罕鳞(41)甘代祥(42)

习题2.2

求下列方程的解

1.—=ysinx

dx

解：y=e(sinxedxdxc)

=ex[--er(sinxcosx)+c]

2

=cer--(sinxcosx)是原方程的解。

2

2—+3x=e12*

dt

解：原方程可化为：—=~3x+e2j

dt

所以：x=e(e2(e3，"dtc)

=e3,(le5,+c)

5

=ce3—Le*是原方程的解。

5

ods,1.

o.—=-scosZ+—sino2t

dt2

1•C3dr」

'S=ecostdl(—sin2tedt)

2

=esin/(sinzcos招<xndtc)

esin/(sinr^sin/e<inlc)

=cesin/sinr1是原方程的解。

4.尘土ye。”,n为常数.

dxn

解：原方程可化为：勺-ye。"

axn

VpLx^-dx

yexXxnexdxc)

x'\exc）是原方程的解.

匚ay,\2x

5.江下71=0

解：原方程可化为：立1

dxx

ye(e

/dxc)

(In-[)lnx21_

e2、dxc)

0e

=X2(1ce，)是原方程的解.

dyx4x3

dxxy2

解：虫匚二！

dxxy

=+z

V%

令

,则

二wdu

yux—=ux—

工

八dxdx

此

因

WX瓦x

八J

国1

u2dudx

—u3Xc

3

u33xxc(*)

将工M带入（*）中得：y33/ex3

X是原方程的解.

碍V…

解文主(尤1)3

dxx1

2々

P(x)—r，Q(x)(xI)3

X1

Pa)dre二*,八2

eA-I(x1)

方程的通解为：

y=eFWdx(e"x)'AQ(x)Jxc)

―J—*(x+lPdx+c)

=(x+l)2(

(%IF

=(x+l)2((x+1)dx+c)

2

(X+1)2(W

-c)

即：2y=c(x+l)2+(x+l＞为方程的通解。

8空=^

dx%y

则P(y)=-,Q(y)y2

y

Ly

eP(y)dy«y

方程的通解为：

X=eP(y)dyP(y)dy°(>M)'C)

=y(L(?dyc)

y*y

y3

=—cy

2

即x=2_+cy是方程的通解，且y=0也是方程的解。

2

9半空二L,。为常数

axxx

解：P(x)KQ(X)—

XX

eP[x}dxexx〃

方程的通解为：y="","«COG)公C)

1x+1,、

=x(------dx+c)

Jx"x

当a0时，务程的通解为

y=x+ln/x/+c

当。1时，方程的通解为

y=cx+xln/x/T

当a0,时方程的通解为

,x1

y=cxa+---

l-aa

1dy3

10.x—yx

dx

解?13

dx2%

P(x)X3

X

P(x)dxx.1

ee

x

方程的通解为：

P(x)dx

y=ee"(")"'Q(x)公c)

卞3dxc)

_XXx^x

c

4X

r3

方程的通解为：y=c

4x

11.—xyX3y3

解:V孙X3y3

两边除以y3

dy3

亚""”

I2声

心(xy2

令y2z

dz2(xzx尸

dx

P(x)2x,(2(x)2x3

epxdxe2出外

方程的通解为：

x

z二EPdx{eP'cbcQ(x)cbcc)

=e.(eq(k世c)

=x2ceX11

故方程的通解为：V(x2

ceq1)1,且)，0也是方程的解。

S/1小力Ac21nxi

12.(ylnx2)ycbcxdy本—

dyInx22y

dxxyx

两边除以V

dyInx2y

2

ydxXX

dy1Inx2y1

dxXX

令y1z

dz2Inx

——z---

dxxx

~、2〜、Inx

P(x)~;Q(x)—

xx

方程的通解为：

P。)今C)

ze(e

Ze>'>(史)公c)X2_L(止)心c)

XVXX

c9\nx1

一厂---—

424

方程的通解为:y(f尤2"i1,且y=0也是解。

424

13

2xydy(2y2x)dx

dy2y2xy1

dx2xyx2y

这是n=-l时的伯努利方程。

两边同除以‘，

y

£

4dxx；2

dz2y22z

------1—

dx--x--------x

7

P(x)=-Q(x)=-1

X

由一阶线性方程的求解公式

22

ze苫-dxdxc)

_(2e

-XXc

y2xx2c

14dy_"3x

dxx2

两边同乘以e'吟01232

axx

人vdzdy

令"z—ey—

dxdx

半吆4这是n=2时的伯努利方程。

dxxxx

两边同除以Z2瞥—4令1T

zdxxzx"z

dT工兹dT3T1

dxz1dxdxxx1

3i

p(x)=2_Q(x)=-l

xx

由一阶线性方程的求解公式

Te31e也公

(x

12

二x(

32XC)

1

=—XCX3

2I

1

z(&cx3

2)1

ey(&

CX3

2)1

—x2eyceyX3

2

1，〃

—xxey

2

15空一二^

dxxyx'y

dx33

—yxy'x'

dy

这是n=3时的伯努利方程。

两边同除以X3二孚Z尸

x'ayX2

令z2x3—

dydy

——2y2=2yz2y3P(y)=-2yQ(y)=2y3

dyX2

由一阶线性方程的求解公式

Ze2M，(2y3

e2处dyc)

ze

=y21cey2

x2(y21ce＞，2)1

x2ey2(y21cey2)ey\

2

e/(lxX2y2)cx2

6A力

y=e+

±

於

办

y

区

P(x)=lQ(x)=e"由一阶线性方程的求解公式

dx

yeXeeldx(bcc)

=e'(exeXdxc)

=ex(xc)

e，(xc)ex**

oe(xc)ax

c=l

y=e*(xc)

17设函数(t)于oo<t<8上连续，'(0)存在且满足系式

关

(t+s)=(t)(s)

试求此函数。

令t=s=O得(0+0)=(0)(0)即(0)=(0)2故(0)0或(0)1

⑴当(0)0时⑴(/0)(f)(0)即⑺0

/(8,8)

⑸八,八一(tt)(t)「(Z)(t)⑺

⑵当(°)i时Plim------：------=hm-------：------

10At0t

")((7)1)(/0)(0)

-lim------：------lim-------：------⑺

/0tI

t0

=(0)(r)

于是一‘(0)⑺变量分离得L(0)力积分ce«o),

dt

由于(0)1,即t=。时1l=ce°c=l

故⑺

20.试证：

(1)一阶非齐线性方程(2.28)的任解之差必为相应的齐线性方程(2.3)

两

之解；

(2)若yy(x)是(23)的非零解，而y而)是(2.28)的解则方程(2.28)

的通解可表为ycy(x)y(x),其中c低意常.数

(3)方程(2.3)任一解的常倍或任解之和(或差)仍是方程(2.3)

数两

的解.

证明：孚千方Q(x)(2.28)

ax

牛尸(x)y⑵3)

ax

(1)设%,%是(2.28)的任意两个解

则丁P(》)y。。)(1)

ax

吗

/P(x)y2。(幻(2)

(1)-(2)得

dy,y,

”,一尸(x)(yy)

ax।2

即y〃y悬施方程(2.3)

所以，命题成立。

(2)由题意得：

华P(x))⑶

ax

dy(x)P(x)丈x)Q(x)⑷

dx

1)先证ycyy是(2.28)的一解。

于是C得

34

cdydycP(x)yP(x)yQ(x)

dxdx

""50尸(X)(cyy)Q(x)

dx

故ycy(2.28)的一懦。

2)现证方程(4)的任一解都可成cyy的形式

写

设必是(2.28)的一个解

uy

则7ZTP(x)y°。)⑷)

于是(4')-(4)得

粤立如)什.犷

ax

-7—~P(x)dx

从而打ycecy

即yycy

i

所以，命题成立。

(3)设%,%是(2.3)的任意两个解

吗

则—P(x)y(5)

ax3

P(x)y4(6)

叫

于是(5)c得cP(x)y3

a\cy/

即—。(幻©3)其中C为任意常数

dx

也就是yc>3满足方程(2.3)

.出得

赤石P*)"P(x)网

即d(力@p(x)(y川

ax34

也就是yy3>4满足方程(2.3)

所以命题成立。

21.建立分具有下列性的曲所足的微分方程求解。

试别质线满并

(5)曲上任一点的切的截距等于切点坐的平方；

线线纵横标

(6)曲上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；

线

解：设p(x,y)为曲线上的任一点，过，点曲缆切飨程

为

yyy'(xX)

从而此切坐上

的交点坐标为(龙川),(0,yxy')

线与两标轴

即横截距为x3

y

纵截距为yxy'。

由题意得：

(5)yxy'x2

方程变形为

dx

dy1

——yx

dxx

于是ye-(x)dxdxc)

*1(1l丑④阻cc)

|x|((/|-c)

x((x3公c)

x

x(xc)

X2ex

2

所以，方程的通解为yxcxo

(6)yxy'

2

方程变形为

x空y_X

dx22

dy11

dx2x2

(\e依c)

于是y乩

2

1i.L

/((pDdxc)

c)

1

Xex

所以，方程的通解为yxex2o

22.求解下列方程。

(1)(x21/xy0

解:y叶,工

A1X1

yejlex21

1ii

=/x21/2[-...........-dxc]

X211

//1/5

,221/72dxi

=/x1/-------rc]

[/x21/1

-cJ/lX2/x

(2)ysinxeosxysin3x0

dyysin2x

dxsinxcosxcosx

1

P(x)=一——Q(x)=siirx

sinxcosxcosx

由一阶线性方程的求解公式

.9-1

yBsinxcosx小sinx------心」、

-------esinxcosxdXC)

COSX

sinx..、

------(zsinxorc)

cos尢

sinx、

------(zcosxc)

cosx

-tgxcsinx

礴题2.3

1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。

1.(x2y)dx(x2y)dy0

解：2L1,g=1.

y*

则也A

yx

所以此方程是恰当方程。

凑微分，x2dx2ydy{ydxxdy)0

得：xyy2C

2.(y3x2)dx(4yx)dy0

解：2Li,JLi.

y*

则辿A,

yx

所以此方程为恰当方程。

凑微分，ydxxdy3x2dx4ydy0

得x3xy2y2C

3.2[kdxi[1-2^}dy0

(xy)-xy(xy)

解：_M_2y(xy)?y)(1)2盯

'y(xy)4(xy”

N2x(xy)22x2(xy)2xy

X(Xy)4(Xy)3

则辿A,

%y

因此此方程是恰当方程。

V1

u⑴

/x2

X(xy)尤

1X2

u(2)

yy(x))2

2

icdx(y

对(i)做x的积分，贝ij”/i1)

。y)

=上—Inx(y)(3)

(Xy)2yd(y)

对(3)做y的积分，则上

y*y)2dy

_2xyy2d(y)

(xy)2dy

=j_d

y(xy)之

f(y)1x2y22xy1x22xyy211

则f

222

dyy(xy)(xy)y(xy)y

(y)(-l)dy\nyy

y

y2yy2,D'y2

u——In九1"yIn--————-——IrT旦

xyxx,yxxy

故此方程的通解为In上上C

xxy

4、2(3xy22x3)dx3(2x2yy2)dyo

解：—12xy,—I2xy.

y%

MN

yX

则此方程为恰当方程。

凑微分，6xy2dx4x3dx6x2ydy3y2dyO

3dd)或光，火龙3)o

得：X，3九2),2y3c

5.(lsinx-^cos2+l)dx+(lcos二-3sin£+_L)dy=o

yyx2xxxy2yy2

解,M=—sin---^008—+1———sin—+—

yyxxxxyyy

M1.xxx1y,y.y

———sin---rcos------cos—+—sin—

yy~yyyxxx

N1.xxx1y,y.y

—sin-----cos------cos—+—sin—

xyyy'yxxx

所以，JL=2Lt故原方程为恰当方程

yx

H—sin—dx--4-cos—dx+dx+-cos—dy--4-sin—dy+—dy=O

yyx~xxxy~yyi

d(-cos—)+d(sin—)+dx+d(--)=0

y九y

所以，d(sin工-cos—+x--)=0

xyy

故所求的解为sin上-cos±+x」二C

xyy

求下列方程的解：

6.2x(ye*2-l)dx+e*2dy=0

解：」!_=2xe*",—=2xer2

yx

所以，2L=JL,故原方程为恰当方程

y*

又2xye*2dx-2xdx+e,dy=O

所以，d(ye^-x2)=0

故所求的解为y^-x2=c

7.(e'+3y2)dx+2xydy=0

解：e'dx+3y2dx+2xydy=0

e*x2dx+3x2y2dx+2x3ydy=0

所以，deA(x2-2x+2)+d(x3y2)=0

即d[e'(x2-2x+2)+x3y2]=0

故方程的解为e'(x2-2x+2)+x32_

y〜r

8.2xydx+(x2+l)dy=0

解：2xydx+x2dy+dy=0

d(x2y)+dy=0

即d(x2y+y)=0

故方程的解为x2y+y=C

22

9、ydxxdyxydx

解：两边同除以炉/得，叱心

%y

即,darctg—dx

y

故方程的通解为arg次—xc

y

10、ydxXyhy

解：方程可化为：ydx"dyydy

y

即，d—ydy

y

故方程的通解为：二42c即：2*yy2c

y2

同时，y=0也是方程的解。

11、y1xydxxdy0

解：方程可化为：ydxxdy1xydx

,,,.dxy,

axy1xydx即nn.-----dx

1xy

故方程的通解为：ln|xyc

2

12、yxdxXdy0

解：方程可化为：2/dx

X

d-dx

x

故方程的通解为：上CX即：yxcX

X

13、x2ydxxdy0

解：这里M%2y,Nx,——

yx

MN

yx1方程有积分因子eX>

Nx

两边乘以得：方程XX2ydxX2dy0是恰当方程

故方程的通解为：尤之2xydxx2—/2xydxdy

二3

3xyc

即：x33x2yc

14、xcosxysinxydxxcosxydy0

解：这里Mxcosxysinxy,Nxcosxy

m斗MN.

四刀------cosxyxsinxy

yx

故方程的通解为：

si

Xcosxy9:ydxx冲了^Os尢yxy"公dy,

即：xsinxyc

15、ycosxxsinxdxysinxxcosxdyo

解：这里Mycosxxsinx,Nysinxxcosx

y*

MN

)’「1方程有积分因子：edye两边乘以得：

M

方程ycosxxsinxdxe^sinxxcosxdy0为恰当方程

故通解为,eycosxxsinxdxN—eycosxxsinxdxdy

即：eysinxy1ecosxc

16、x4ycbc2xdyy33ydx5xdy0

解：两边同乘以炉)得：

4xj法2xycly3xydx工ydy*0

dx4y2dxy，’0

故方程的通解为：尤35

yc

叵I17、试导出方程M(X,y)公N(X,Y)dy0具有形为(盯)和(xy)的

积分因子的充要条件。

解：若方程具有(xy)为积分因子，

(M)(N)

（（Xy）是连续可导）

yx

MN

M―N

yyXX

M

M—N——)

yxyX

(i)令zXy

dzdd

xdzXdzydz

.,ddN

M——N——

dzdzxy

(M一N

N)—),

dzxy

NM

dx

ydz(xy)dz

MN

NM

X

方程有积分因子（Xy）的充要条件是y是xy的函数,

MN

此时，积分因子为（xy）e(z)dz

(2)令zxy

dddzd

X

xdzxydzydz

dN

Mx—Ny—)

dzdzxy

dN