2完整版本.有限域上的不可约多项式有限域上的不可约多项式

如何判别一个多项式不可约，并没有一个行之有效的方法1.在无限数域上的不可约多项式问题复数域上的任何多项式都是可约的。实数域上任何多项式，根据复根共轭的性质，知道实数域上只有2次不可约多项式。有理数域，存在任意次不可约多项式。

定理1：若n次整系数多项式f(x)∈Z[x]在有理数域Q上可约，则f(x)在整数环Z上一定可约。定理2(艾森斯坦(Eisenstein)判别法)：设f(x)=a0+a1x+…+anxn是整系数多项式，若能找到一个素数p，使得(1)p不能整除an；(2)p|a0,a1,┅,an-1；(3)p2不能整除a0；那么，f(x)在有理数域上不可约。艾森斯坦判别法是充分条件，不满足定理2的多项式，不一定就可约。如x2+3x+2和x2+1，都不满足定理2条件，前者在有理数域上可约，后者不可约。2.有限域上的不可约多项式有限域上的不可约多项式，最直观的就是将域上所有n次多项式按次数列成表，次数小的在前面，大的在后，次数相等的按某种规定排列先后，排在最前面的多项式就是不可约的，把它圈出来，再把该多项式倍式的多项式从表中划去。剩下没有圈和划去的多项式中排在最前的就是不可约的，重复这一过程即可，但当n适当大时，工作量就很大。设f(x)是F(q=pk)上的n次多项式，如果f(0)=0,则f(x)有因子x,故f(x)可约.如果f(0)

0，若f(x)可约，则f(x)必有次数

n/2的不可约因式g(x)。设g(x)次数为m,因为g(x)是有限域F上的m次不可约多项式，则根据有限域上不可约多项式根域的结论知，g(x)|xqm-1-1,即f(x)与xqm-1-1有次数大于1的公因子。检验f(x)是否可约，只要考察下列最大公因子：（f(x)，xqi-1-1）,对i=1,2,┅,[n/2],如果这些最大公因子都是1，则f(x)不可约。常用的判断Z2上一个n次多项式是可约的方法有：1）如果f(x)的常数项为0，除非f(x)=x，否则一定可约。2）如果f(x)中系数为1的项个数为偶数，则一定可约。3）如果(f(x),f’(x))

1,则一定可约。4）如果f(x+1)可约，则f(x)一定可约。5）如果xnf(1/x)可约，则f(x)一定可约。对于Z2上一个n次多项式f(x)=xn+xk+1(n,k不同时为偶数)，则有：1）当n

4时，若n

1mod3,k

2mod3,或n

2mod3而k

1mod3时，f(x)有因子x2+x+1，即f(x)可约。2）f(x)满足下列3个条件中一个时，f(x)可约：i)n是偶数，k是奇数，n

2k,而nk/2

0mod4或

1mod4ii)n是奇数，k是偶数，k不能整除2n,而n

3mod8iii)n是奇数，k是偶数，k|2n,而n

1mod8一、基本概念1.代数系统运算，Sn

S的映射称为S上的n元运算代数系统：一个非空集合S,与一个或若干个定义在S上的运算Q1,…,Qk(k

1),就构成了一个代数系统,表示为[S;Q1,…,Qk]。单位元，结合律，交换律，逆元，零元，分配律同态，同构2.相容设“~”为S上的等价关系，“*”为S上的二元运算。若对任意a,b,c,dS，当a~b，c~d时，必有a

c~b

d，则称等价关系~与运算

是相容的，称~为代数系统[S;

]的相容等价关系。3.半群，拟群，群有关定理4.元素的阶和群的阶定义,结论5.子群与陪集概念,定理,陪集的实质正规子群6.商群与群同态基本定理7.环的基本概念环的零元,环的单位元,交换环在环中讨论元素可逆1-un=(1-u)(1+u+u2++un-1)8.特征数整环的特征数9.子环，理想，商环主理想,主理想环10.多项式环11.扩域与单扩域线性空间与域的关系素域12.代数元与代数扩域极小多项式13.根域根域的存在性与唯一性(同构意义下)14.有限域，形式微商15.本原元与本原多项式二、证明及判别、计算1.群群？元素阶与群的阶陪集与划分,拉格朗日定理应用,特别是补充证明的一些结论。子群，正规子群的验证和证明设

是群G上的等价关系,并且对于G的任意三个元素a,x,x‘，若ax

ax’则必有x

x‘。证明：与G中单位元等价的元素全体构成G的一个子群。H={x

G|xe}对任意的xH，xe=xe=xx-1，因此有ex-1，所以x-1H，对任意的x,yH，有xe，ye，即x-1xy=eye=x-1x，因此有xyxe，所以xyH用群同态基本定理证明群同构2.环环，理想,子环的判别设环R存在唯一一个右单位元，证明该环一定存在单位元。er为右单位元，对任意的a∈R，(era-a+er)，设法证明(era-a+er)也是右单位元设A是环R的理想，B是R的子集，B={b|对任意a

A,ba=0}，证明：B是环R的理想。商环中的元素表示零因子用环同态基本定理证明环同构求多项式的逆3.域扩域,代数元求在有理数域上的极小多项式.4.根域确定根域,及扩张次数有限域的根域存在性,唯一性证明方法重根与形式微商Zp上n次不可约多项式根域Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域是什么？定理:Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域是GF(pn)=Zp()推论16.6:GF(pm)中的元素恰为多项式xpm-x

Zp[x]的pm个根。习题16.16如果

是f(x)在其根域上的根,则N=Zp(

)该结论是针对有限域Zp上的多项式，对于无限域是不成立的。例如x3-

是Q[x]上的不可约多项式，

为其根，但Q(

)不是x3-

的根域。5.本原元与本原多项式有关定理和结论的证明GF(pn)的表述,化简求出所有本原元,本原多项式已知

为GF(pn)上的本原元，怎样求出GF(pn)上的所有本原元？GF*(pn)中的每个元素可表示为

的幂次形式

k。由习题14.19知，

k的阶为pn-1当且仅当(k,pn-1)=1，即

k为本原元当且仅当(k,pn-1)=1。因此我们就可在

,

2,

pn-1中找出所有的本原元。已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),怎样求出所有的n次本原多项式?1.

为本原多项式f(x)的根,则有f(x)=(x-

)(x-

p)(x-

p2)

(x-

pn-1)2.已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),求所有n次本原多项式的方法是:(1)先求出f(x)的一个根,即本原元

,然后求出GF(pn)中的所有本原元,(2)根据求出的本原元按结论1中的方法构造其他本原多项式.3.凡不可约多项式若有一个根是本原元,则它的所有根都是本原元,即,它一定是本原多项式.已知x4+x+1是Z2上的本原多项式,设

是x4+x+1的根,(1)求出GF(16)上的所有本原元，并用

的幂次形式表示.(2)求出Z2上的所有四次本原多项式。与15互质：1，2，4，7，8，11，13，14，2，

4，

7，

8，

11，

13，

14，(x-

)(x-

2)(x-

4)(x-

8)(x-

7)(x-(

7)2)(x-(

7)22)(x-(

7)23)=(x-

7)(x-

14)(x-

13)(x-

11)定理2(艾森斯坦(Eisenstein)判别法)：设f(x)=a0+a1x+…+anxn是整系数多项式，若能找到一个素数p，使得(1)p不能整除an；(2)p|a0,a1,┅,an-1；(3)p2不能整除a0；那么，f(x)在有理数域上不可约。1.证明2xn+9x2+6(n>2)是