(新高考)高考数学一轮复习讲义+巩固练习8.3《圆的方程》(原卷版)

§8.3圆的方程考试要求1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理1．圆的定义和圆的方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2(r>0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2﹣4F>0)圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2<r2⇔M在圆内．常用结论1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x﹣x1)(x﹣x2)＋(y﹣y1)(y﹣y2)＝0.2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．3．圆心在任一弦的垂直平分线上．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)圆x2＋y2＝a2的半径为a.()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2﹣4AF>0.()(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.()教材改编题1．圆x2＋y2﹣4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(2,3)，3 B．(﹣2,3)，eq\r(3)C．(﹣2，﹣3)，13 D．(2，﹣3)，eq\r(13)2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝23．若坐标原点在圆(x﹣m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为________．题型一圆的方程例1(1)已知圆M与直线3x﹣4y＝0及3x﹣4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝﹣x﹣4上，则圆M的方程为()A．(x＋3)2＋(y﹣1)2＝1 B．(x﹣3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝1(2)已知圆的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，且过点A(2，﹣3)，B(﹣2，﹣5)，则圆的一般方程为________________．教师备选1．已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，﹣1)，则圆E的标准方程为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,4)2．在平面直角坐标系Oxy中，以点(0,1)为圆心且与直线x﹣by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为()A．x2＋(y﹣1)2＝4 B．x2＋(y﹣1)2＝2C．x2＋(y﹣1)2＝8 D．x2＋(y﹣1)2＝16思维升华(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．跟踪训练1(1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是()A．x2＋(y﹣2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x﹣1)2＋(y﹣3)2＝1 D．x2＋(y﹣3)2＝4(2)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝1 B．(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝1C．(x＋2)2＋(y﹣1)2＝1 D．(x﹣2)2＋(y＋1)2＝1题型二与圆有关的轨迹问题例2已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(﹣1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．教师备选已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练2(1)当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，连接它与定点Q(3,0)，则线段PQ的中点M的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝1 B．(x﹣3)2＋y2＝1C．(2x﹣3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1(2)自圆C：(x﹣3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A．8x﹣6y﹣21＝0 B．8x＋6y﹣21＝0C．6x＋8y﹣21＝0 D．6x﹣8y﹣21＝0题型三与圆有关的最值问题命题点1利用几何性质求最值例3已知M(x，y)为圆C：x2＋y2﹣4x﹣14y＋45＝0上任意一点，且点Q(﹣2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求eq\f(y－3,x＋2)的最大值和最小值；(3)求y﹣x的最大值和最小值．命题点2利用函数求最值例4设点P(x，y)是圆x2＋(y﹣3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(﹣2,0)．则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值为________．延伸探究若将本题改为“设点P(x，y)是圆(x﹣3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，﹣2)”，则|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最大值为________．教师备选1．已知圆C：(x﹣3)2＋(y﹣4)2＝1和两点A(﹣m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7B．6C．5D．42．若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，A(﹣1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为()A．2B．2eq\r(2)C．4eq\r(2)D．4思维升华与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如μ＝eq\f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x﹣a)2＋(y﹣b)2形式的最值问题．(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．跟踪训练3(1)已知A(﹣2,0)，B(2,0)，点P是圆C：(x﹣3)2＋(y﹣eq\r(7))2＝1上的动点，则|AP|2＋|BP|2的最小值为()A．9B．14C．16D．26(2)已知x，y满足x2＋y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，则eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为()A．2B.eq\f(17,4)C.eq\f(29,5)D.eq\f(13\r(13),4)课时精练1．圆x2＋y2＋4x﹣6y﹣3＝0的圆心坐标和半径分别为()A．(4，﹣6)，16 B．(2，﹣3)，4C．(﹣2,3)，4 D．(2，﹣3)，162．圆(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为()A．(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y﹣2)2＝1C．(x＋2)2＋(y﹣1)2＝1 D．(x﹣1)2＋(y＋2)2＝13．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2＋y2﹣2x﹣3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x﹣3＝0 D．x2＋y2﹣4x＝04．点P(4，﹣2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．(x﹣2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x﹣2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y﹣2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y﹣1)2＝15．(多选)已知△ABC的三个顶点为A(﹣1,2)，B(2,1)，C(3,4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是()A．圆M的圆心坐标为(1,3)B．圆M的半径为eq\r(5)C．圆M关于直线x＋y＝0对称D．点(2,3)在圆M内6．(多选)设有一组圆Ck：(x﹣k)2＋(y﹣k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是()A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆Ck均不经过点(3,0)C．经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个D．所有圆的面积均为4π7．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(﹣1,1)，B(1,3)，若M(m，eq\r(6))在圆C内，则m的取值范围为________．8．已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2﹣4x﹣2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．9．已知圆心为C的圆经过点A(﹣1,1)和B(﹣2，﹣2)，且圆心在直线l：x＋y﹣1＝0上．(1)求圆心为C的圆的标准方程；(2)设点P在圆C上，点Q在直线x﹣y＋5＝0上，求|PQ|的最小值．10．已知点A(﹣3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．11．点A为圆(x﹣1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，|PA|＝1，则点P的轨迹方程是()A．(x﹣1)2＋y2＝4 B．(x﹣1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝﹣2x12．等边△ABC的面积为9eq\r(3)，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|＝1，则eq\o(NA,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))的最小值为()A．﹣5﹣2eq\r(3) B．﹣5﹣4eq\r(3)C．﹣6﹣2eq\r(3) D．﹣6﹣4eq\r(3)13．(多选)已知圆C过点M(1，﹣2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是()A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上B．满足条件的圆C有且只有一个C．点(2，﹣1)在满足条件的圆C上D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4eq\r(2)14．已知长为2a(a＞0)的线段AB的两个端点A和B分别在