数学九年级上册专题25.1 概率初步章末重难点突破（人教版）（学生版）

专题25.1概率初步章末重难点突破【人教版】【知识点1必然事件、不可能事件、随机事件】在一定条件下，有些事件必然会发生，这样得事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样得事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生得事件称为随机事件。必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定得，所以它们统称为确定性事件。【考点1事件的判断】【例1】（2021•花溪区模拟）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（）A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关【变式1-1】（2021•文山州模拟）下列事件中是不可能事件的是（）A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．百步穿杨 D．水中捞月【变式1-2】（2021•淮安）下列事件是必然事件的是（）A．没有水分，种子发芽 B．如果a、b都是实数，那么a+b＝b+a C．打开电视，正在播广告 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上【变式1-3】（2021春•建邺区校级期中）下列事件：①如果a、b都是实数，那么a+b＝b+a；②射击一次，中靶；③抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上；④8张相同的小标签分别标有数字1～8，从中任意抽取1张，抽到0号签．其中，属于确定事件的是．（填序号）【知识点2概率】一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小得数值，称为随机事件A发生得概率，记作P（A）。一般地，如果在一次试验中，有n种可能得结果，并且它们发生得可能性都相等，事件A包含其中得m种结果，那么事件A发生得概率P（A）=。由m与n得含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1、当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0、【考点2概率公式的计算】【例2】（2021春•项城市期末）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂色，再把它分割成棱长为1的正方体，从中任取一个小正方体，则取得小正方体恰好有两个面涂色的概率为（）A．827 B．1227 C．627【变式2-1】（2021•宁波模拟）小栋画了4个图，分别是矩形，扇形，等边三角形，平行四边形，从这4个图中任取一个，取出的图形是中心对称图形的概率是（）A．14 B．12 C．3【变式2-2】（2021•沙坪坝区校级开学）从﹣3，﹣2，0，1，2五个数中任选一个数记为m，则使关于x的一次函数y＝（m+1）x﹣2不经过第一象限的概率为．【变式2-3】（2021春•天府新区期末）若从﹣1，0，1，2，3这五个数中任抽取一个数作为a的值，使关于x的方程a+1x−2+22−x=【知识点3用列举法求概率】一般地，如果在一次试验中，有n种可能得结果，并且它们发生得可能性都相等，事件A包含其中得m种结果，那么事件A发生得概率P（A）=。【考点3几何概率】【例3】（2021•广饶县二模）小明随机地在如图所示的圆及其内部区域投针，则针扎到其内接等边三角形（阴影）区域的概率为（）A．12 B．312π C．3【变式3-1】（2021•随州）如图，从一个大正方形中截去面积为3cm2和12cm2的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（）A．49 B．59 C．25【变式3-2】（2021•阳东区模拟）如图是由四个直角边长分别为2和4的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”飞镖板，小明站在投镖线上向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则针扎在阴影部分的概率是．【变式3-3】（2021•深圳模拟）如图，⊙O与正方形ABCD各边相切，若随机向正方形内投一粒米（将米粒看成一个点），则米粒落在阴影部分的概率是．【知识点4用列表法求概率】当一次试验要涉及两个因素并且可能出现得结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常用列表法。列表法就是用表格得形式反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，以及某一事件发生得可能得次数与方式，并求出概率得方法。【考点4用列表法求概率】【例4】（2021•新昌县模拟）某校九（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，将“垃圾分类”的知晓情况分为A，B，C，D四类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图．根据以上信息解决下列问题：（1）补全条形统计图，并求出扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角．（2）类别A的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分类”知识竞赛，求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．【变式4-1】（2021•海港区模拟）如图，是两个圆形转盘，同时旋转两个转盘，两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率是（）A．34 B．14 C．38【变式4-2】（2021•洛阳三模）现有三张正面分别标有数字﹣1，1，﹣2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取―张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P（m，n）在第三象限的概率为．【变式4-3】（2021•永定区模拟）今年是中国共产党百年华诞，中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启．红五月期间某校响应区团委以“红心向党，争做先锋”为主题的手抄报比赛，积极开展此项活动，学校将收到的手抄报幅数按年级进行统计，绘制了以下两幅统计图（不完整）．据图中提供的信息完成以下问题．（1）计算扇形统计图中“八年级”对应的圆心角是，并补全条形统计图．（2）经过评审，全校有4幅手抄报荣获特等奖，其中只有一幅来自七年级，学校准备从特等奖手抄报中任选两幅参加区级的手抄报比赛，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖手抄报被选送参加区级比赛的概率．【知识点5用树状图求概率】当一次试验要涉及3个或更多得因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常采用树形图。树形图就是反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，并求出概率得方法。（1）树形图法同样适用于各种情况出现得总次数不就是很大时求概率得方法。（2）在用列表法与树形图法求随机事件得概率时，应注意各种情况出现得可能性务必相同。【考点5用树状图求概率】【例5】（2021•兴庆区校级一模）为倡导“低碳出行”，每年9月22日为世界无车日，2020年9月22日，由中国城市公共交通协会联合清华大学中国城市研究院共同举办的第十四届“922绿色出行日”主题活动拉开序幕，环保部门对某城市居民出行使用交通方式的情况进行了问卷调查，将收回的问卷调查结果整理后，绘制了不完整的统计图，其中“骑自行车、电动车”所在的扇形的圆心角是162°．请根据以上信息解答下列问题：（1）请补全条形统计图．（2）如果绿色出行是指“骑自行车、电动车”和“坐公交车”，计算绿色出行在所有交通方式中的频率，并在50万人口的城市中选择绿色出行的共有多少人．（3）若参与问卷调查的人中选择“其他”交通方式的有两名女性，其余为男性，现从中随机选取两人进行跟踪调查，请借助树状图或者表格，求出恰好选到1男1女的概率．【变式5-1】（2021•恩施州）工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男工人的概率为（）A．35 B．15 C．310【变式5-2】（2021•镇平县模拟）三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤，得到数字a，b，则a≥b的概率是．【变式5-3】（2021•郧西县模拟）某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图频数分布表：组别时间/小时频数/人数A组0≤t＜12B组1≤t＜2mC组2≤t＜310D组3≤t＜412E组4≤t＜57F组t≥54请根据图表中的信息解答下列问题：（1）表中m＝；扇形统计图中，“B”部分对应的扇形圆心角的度数为；“C”部分所占百分比为；若该校有2000名学生，那么每周课外阅读时间超过4小时的人数大约为人；（2）已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生．【知识点6用频率估计概率】在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上瞧似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生得频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生得频率作为这个事件得概率得估计值。一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生得频率稳定于某一个常数P，那么事件A发生得频率P（A）=p。【考点6用频率估计概率】【例6】（2021•河北一模）育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试基本情况相同的条件下，得到如下数据：抽查小麦粒数1005001000200030004000发芽粒数9548696819402907a则a的值最有可能是（）A．3680 B．3720 C．3880 D．3960【变式6-1】（2021春•乐平市期末）黄豆在相同条件下发芽率试验，结果如表．下面3个推断：①当n＝100时，黄豆发芽的频率是0.970，所以黄豆发芽概率为0.970；②根据表格数据，估计黄豆发芽的概率为0.95；③若n＝6000时，估计黄豆发芽的粒数约为5700．其中正确的个数为（）每批粒数n3060100500100030005000发芽的粒数m28589747995728444752发芽的频率m0.9330.9670.9700.9580.9570.9480.950A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式6-2】（2021春•仪征市期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1002003005008001000摸到黑球的次数m65118189310482602摸到黑球的频率m0.650.590.630.620.6030.602（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近（精确到0.1）；（2）试估计袋子中有黑球个；（3）若学习小组通过实验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球个或减少黑球个．【变式6-3