2024届江苏省无锡市惠山区七校数学九上期末经典模拟试题含解析

2024届江苏省无锡市惠山区七校数学九上期末经典模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D2．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数为()A． B． C． D．3．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将沿直线翻折后，设点的对应点为点，双曲线经过点，则的值为（）A．8 B．6 C． D．4．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）5．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°6．如图，AB是半径为1的⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为劣弧CB的中点，点P是直径AB上一个动点，则PC+PD的最小值为（）A．1 B．2 C． D．7．已知反比例函数，下列结论中不正确的是．（）A．图象必经过点(3，-2) B．图象位于第二、四象限C．若，则 D．在每一个象限内，随值的增大而增大8．下列方程中，没有实数根的方程是（）A．(x-1)2=2C．3x29．如图，向量与均为单位向量，且OA⊥OB，令=+，则=（）A．1 B． C． D．210．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个11．已知，则的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°12．已知关于的一元二次方程有一个根是-2，那么的值是()A．-2 B．-1 C．2 D．10二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为__________．14．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，连接AQ．若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ的面积为_______．15．函数y＝﹣（x﹣1）2+1（x≥3）的最大值是_____．16．关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则关于x的方程的解是________．17．已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为_____．18．如图，反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k=_____．三、解答题（共78分）19．（8分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1和2；乙袋中有3个完全相同的小球，分别标有数字1，2和3，小明从甲袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为y，这样确定了点M的坐标(x，y)．（1）写出点M所有可能的坐标；（2）求点M在直线上的概率．20．（8分）如图，△ABC中，AB=8，AC=6.（1）请用尺规作图的方法在AB上找点D，使得△ACD∽△ABC（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求AD的长21．（8分）如图，⊙O的半径为，A、B为⊙O上两点，C为⊙O内一点，AC⊥BC，AC=，BC=．（1）判断点O、C、B的位置关系；（2）求图中阴影部分的面积．22．（10分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．23．（10分）解分式方程：（1）．（2）．24．（10分）计算．25．（12分）如图，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝12，D是AC边上一点，且AB2＝AD•AC，连接BD，点E、F分别是BC、AC上两点（点E不与B、C重合），∠AEF＝∠C，AE与BD相交于点G．（1）求BD的长；（2）求证△BGE∽△CEF；（3）连接FG，当△GEF是等腰三角形时，直接写出BE的所有可能的长度．26．关于的方程有实根．（1）求的取值范围；（2）设方程的两实根分别为且，求的值．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】根据网格图形可得所给△EFG是两直角边分别为1，2的直角三角形，然后利用相似三角形的判定方法选择答案即可．【详解】解：观察图形可得△EFG中，直角边的比为，观各选项，，只有D选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，观察出所给图形的直角三角形的特点是解题的关键．2、A【分析】根据旋转的性质即可得到结论．【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转后得到，

∴，

∴，

故选：A．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用，能求出∠ACD的度数是解此题的关键．3、A【分析】作轴于，轴于，设．依据直线的解析式即可得到点和点的坐标，进而得出，，再根据勾股定理即可得到，进而得出，即可得到的值．【详解】解：作轴于，轴于，如图，设，当时，，则，当时，，解得，则，∵沿直线翻折后，点的对应点为点，∴，，在中，，①在中，，②①-②得，把代入①得，解得，∴，∴，∴．故选A．【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于掌握反比例函数（为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．4、B【解析】用关于原点的对称点的坐标特征进行判断即可.【详解】点P(-1,2)关于原点的对称点的坐标为(1,-2),故选:B.【点睛】根据两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反.5、B【详解】∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-15°=30°，故选B．6、C【分析】作D点关于AB的对称点E，连接OC．OE、CE，CE交AB于P'，如图，利用对称的性质得到P'E=P'D，，再根据两点之间线段最短判断点P点在P'时，PC+PD的值最小，接着根据圆周角定理得到∠BOC=60°，∠BOE=30°，然后通过证明△COE为等腰直角三角形得到CE的长即可．【详解】作D点关于AB的对称点E，连接OC、OE、CE，CE交AB于P'，如图，∵点D与点E关于AB对称，∴P'E=P'D，，∴P'C+P'D=P'C+P'E=CE，∴点P点在P'时，PC+PD的值最小，最小值为CE的长度．∵∠BOC=2∠CAB=2×30°=60°，而D为的中点，∴∠BOE∠BOC=30°，∴∠COE=60°+30°=90°，∴△COE为等腰直角三角形，∴CEOC，∴PC+PD的最小值为．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7、C【分析】A．将x=3代入反比例函数，根据所求得的y值即可判断；B．根据反比例函数的k值的正负即可判断；C．结合反比例函数的图象和性质即可判断；D．根据反比例函数的k值的正负即可判断．【详解】解：A．当x=3时，，故函数图象必经过点(3，-2)，A选项正确；B．由反比例函数的系数k=-6＜0，得到反比例函数图象位于第二、四象限，本选项正确；C．由反比例函数图象可知：当，则，故本选项不正确；D．由反比例函数的系数k=-6＜0，得到反比例函数图象在各自象限y随x的增大而增大，故本选项正确．故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数（k≠0），当k＞0时，图象位于第一、三象限，且在每一个象限，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象位于第二、四象限，且在每一个象限，y随x的增大而增大．在做本题的时候可根据k值画出函数的大致图，结合图象进行分析．8、D【解析】先把方程化为一般式，再分别计算各方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：A、方程化为一般形式为：x2-2x-1=0，△＝（−2）2−4×1×（−1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B、方程化为一般形式为：2x2-x-3=0，△＝（−1）2−4×2×（−3）＝25＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C、△＝（−2）2−4×3×（−1）＝16＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项错误；D、△＝22−4×1×4＝−12＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9、B【解析】根据向量的运算法则可得:=,故选B.10、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，是中心对称图形；第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第四个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；既是中心对称图形又是轴对称图形的有1个，故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．11、C【解析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】解：由，得α=60°，

故选：C．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．12、C【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝−1代入关于x的一元二次方程，列出关于a的一元一次方程，通过解方程即可求得a的值．【详解】根据题意知，x＝−1是关于x的一元二次方程的根，∴（−1）1＋3×（−1）＋a＝0，即−1＋a＝0，解得，a＝1．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解使方程的左右两边相等．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】同圆或等圆中，两弦相等，所对的优弧或劣弧也对应相等，据此求解即可.【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∴===,∴的长等于⊙O周长的四分之一，∵⊙O的半径为6，∴⊙O的周长==，∴的长等于，故答案为：.【点睛】本题主要考查了圆中弧与弦之间的关系，熟练掌握相关概念是解题关键.14、【分析】由旋转的性质可得△BPQ是等边三角形，由全等三角形的判定可得△ABQ≌△CBP(SAS)，由勾股定理的逆定理可得△APQ是直角三角形，求四边形的面积转化为求两个特殊三角形的面积即可．【详解】解：连接PQ，由旋转的性质可得，BP=BQ，又∵∠PBQ=60°，∴△BPQ是等边三角形，∴PQ=BP，在等边三角形ABC中，∠CBA=60°，AB=BC，∴∠ABQ=60°-∠ABP∠CBP=60°-∠ABP∴∠ABQ=∠CBP在△ABQ与△CBP中，∴△ABQ≌△CBP(SAS)，∴AQ=PC，又∵PA=4，PB=5，PC=3，∴PQ=BP=5，PC=AQ=3，在△APQ中，因为，25=16+9，∴由勾股定理的逆定理可知△APQ是直角三角形，∴，故答案为：【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定、勾股定理的逆定理及特殊三角形的面积，解题的关键是作出辅助线，转化为特殊三角形进行求解．15、-1【分析】根据函数图象自变量取值范围得出对应y的值，即是函数的最值．【详解】解：∵函数y＝-（x-1）2+1，∴对称轴为直线x＝1，当x＞1时，y随x的增大而减小，∵当x＝1时，y＝-1，∴函数y＝-（x-1）2+1（x≥1）的最大值是-1．故答案为-1．【点睛】此题考查的是求二次函数的最值，掌握二次函数对称轴两侧的增减性是解决此题的关键．16、x1＝－12，x2＝1【分析】把后面一个方程中的x＋3看作一个整体，相当于前面方程中的x来求解．【详解】解：∵关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程变形为，即此方程中x＋3＝－9或x＋3＝11，解得x1＝－12，x2＝1，故方程的解为x1＝－12，x2＝1．故答案为x1＝－12，x2＝1．【点睛】此题主要考查了方程解的含义．注意观察两个方程的特点，运用整体思想进行简便计算．17、3＜r≤1或r＝．【解析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝3，BC＝1．∴AB＝5，如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r＝，当直线与圆如图所示也可以有一个交点，∴3＜r≤1，故答案为3＜r≤1或r＝．【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案，此题比较容易漏解．18、-3【解析】分析：由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．详解：过点P做PE⊥y轴于点E，∵四边形ABCD为平行四边形∴AB=CD又∵BD⊥x轴∴ABDO为矩形∴AB=DO∴S矩形ABDO=S▱ABCD=6∵P为对角线交点，PE⊥y轴∴四边形PDOE为矩形面积为3即DO•EO=3∴设P点坐标为（x，y）k=xy=﹣3故答案为：﹣3点睛：本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义以及平行四边形的性质．三、解答题（共78分）19、点M坐标总共有九种可能情况：（0,1），（0,2），（0,3），（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3）．（2）.【解析】试题分析：（1）通过列表展示所有9种等可能的结果数；

（2）找出满足点落在函数的图象上的结果数，然后根据概率公式求解．试题解析：(1)列表如下：yx1230(0,1)(0,2)(0,3)1(1,1)(1,2)(1,3)2(2,1)(2,2)(2,3)从表格中可知，点M坐标总共有九种可能情况：（0,1），（0,2），（0,3），（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3）．共有9种等可能的结果数；（2）当x=0时，y=-0+3=3，当x=1时，y=-1+3=2，当x=2时，y=-2+3=1，由（1）可得点M坐标总共有九种可能情况，点M落在直线上（记为事件A）有3种情况．20、（1）见图（2）AD=.【解析】（1）图形见详解,（2）根据相似列比例式即可求解.【详解】解：（1）见下图（2）∵△ACD∽△ABC,∴AC:AB=AD:AC,∵AB=8，AC=6,∴AD=.【点睛】本题考查了尺规作图和相似三角形的性质，中等难度,熟悉尺规作图步骤和相似三角形的性质是解题关键.21、（1）O、C、B三点在一条直线上，见解析；（2）【分析】（1）连接OA、OB、OC，证明∠ABC=∠ABO=60°，从而证得O、C、B三点在一条直线上；（2）利用扇形面积与三角形面积的差即可求得答案.【详解】（1）答：O、C、B三点在一条直线上．证明如下：连接OA、OB、OC，在中，,∵∴∠ABC=60°，在中，∵OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠ABO=60°，故点C在线段OB上，即O、C、B三点在一条直线上．（2）如图，由（1）得：△OAB是等边三角形，∴∠O=60°，∴．【点睛】本题考查了扇形面积公式与三角形面积公式，勾股定理、特殊角的三角函数值，利用证明∠ABC=∠ABO=60°，证得O、C、B三点在一条直线上是解题的关键.22、(1)方案1;B（5,0）;;(2)3.2m.【解析】试题分析：（1）根据抛物线在坐标系的位置，可用待定系数法求抛物线的解析式．（2）把x=3代入抛物线的解析式，即可得到结论．试题解析：解：方案1：（1）点B的坐标为（5，0），设抛物线的解析式为：．由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5），代入解析式可得：，∴抛物线的解析式为：；（2）由题意：把代入，解得：=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．方案2：（1）点B的坐标为（10，0）．设抛物线的解析式为：．由题意可以得到抛物线的顶点为（5，5），代入解析式可得：，∴抛物线的解析式为：；（2）由题意：把代入解得：=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．方案3：（1）点B的坐标为（5，），由题意可以得到抛物线的顶点为（0，0）．设抛物线的解析式为：，把点B的坐标（5，），代入解析式可得：，∴抛物线的解析式为：；（2）由题意：把代入解得：=，∴水面上涨的高度为3.2m．23、（1）；（2）无解【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）两边同时乘以去分母得：，去括号得：，移项合并得：，解得：，检验：时，，是原方程的解；（2）两边同时乘以去分母得：，去括号得：，移项合并得：，检验：时，，是原方程的增根，故原方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．24、-1【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝2﹣（2﹣2）﹣12＝2﹣2+2﹣12＝﹣1．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．25、（1）；（2）见解析；（3）4或﹣5+或﹣3+【分析】（1）证明△ADB∽△ABC，可得，由此即可解决问题．（2）想办法证明