专题04 直线方程综合应用难题（原卷版）

专题04直线方程综合应用难题一、巩固提升练【题型一】斜率几何意义型应用【题型二】斜率与倾斜角应用【题型三】直线平行与垂直求参数【题型四】隐藏型垂直求最值【题型五】利用斜率解三角形【题型六】直线方程理论【题型七】光学性质【题型八】最小面积求直线【题型九】切线型求面积最值【题型十】数形结合求最值：距离公式【题型十一】数形结合求最值：绝对值型转化【题型十二】直线最值范围综合应用二、能力培优练热点好题归纳【题型一】斜率几何意义型应用1.（2021春·天津蓟州·高二校考期末）如图，过点作直线：的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为点，…，如此依次下去，得到一组线段：，，，……，则线段的长为（

）A． B． C． D．2.（2023·全国·高二专题练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（

）

A．0° B．1° C．2° D．3°3.（2022秋·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（

）A． B． C． D．4.（2023·全国·高二课堂例题）若函数，且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是（

）A．＞＞ B．＞＞C．＞＞ D．＞＞5.（2021·江苏·高二专题练习）已知正三角形的三个顶点均在抛物线上，其中一条边所在直线的斜率为，则的三个顶点的横坐标之和为．【题型二】斜率与倾斜角应用1.（2023·全国·高二专题练习）已知点，，则直线的倾斜角为．2.（2023·全国·高二专题练习）已知实数x，y满足方程，当]时，的取值范围为.3.（2020·高二课时练习）已知直线过原点且倾斜角为，其中，若在上，且满足条件，则的值等于.4.（2021·高二课时练习）已知坐标平面内两个不同的点，（），若直线的倾斜角是钝角，则的取值范围是5.．（2023·全国·高二专题练习）已知过点，的直线l的倾斜角为，若，则实数m的取值范围为.【题型三】直线平行与垂直1.（2019·北京·高二校考强基计划）设a为实数，若直线两两相交，且交点恰是直角三角形的三个顶点，则这样的有（

）A．2组 B．3组 C．4组 D．5组2.（2022·高二课时练习）设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则“、相交”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要3.（2022·全国·高二专题练习）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．4.（2023秋·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知直线：，：互相垂直，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5.（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳市第八十三中学校考开学考试）已知，为正整数，且直线与直线互相平行，则的最小值为（

）A．7 B．9 C．11 D．16【题型四】两动直线隐藏型垂直求最值1.．（2023·高二课时练习）设直线与直线的交点为；分别为上任意两点，点为的中点，若，则的值为A． B． C． D．2.（2021·高二课时练习），动直线过定点动直线过定点，若与交于点（异于点，），则的最大值为A． B． C． D．3.（2023秋·山西大同·高二大同一中校考阶段练习）将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则．3.（2021·江苏·高二专题练习），动直线过定点，动直线过定点，则点坐标为；若直线与相交于点（异于点,），则周长的最大值为．4.（2021·江苏·高二专题练习）设分别是△中的对边边长，则直线与直线的位置关系是．5.（2022秋·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法错误的是（

）A．点的坐标为 B．C． D．的最大值为5【题型五】利用斜率解三角形三大线1.（2023·全国·高二专题练习）已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（

）A． B． C．8 D．2.（2022·全国·高二）已知的三个顶点，则的高CD所在的直线方程是（

）A． B．C． D．3.（2022·河南·高二阶段练习）若等边三角形的一条中线所在直线的斜率为1，则该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为___________.4.（2022·全国·高二课时练习）如图，在中，，所在直线方程分别为和，则的角平分线所在直线的方程为（

）A． B． C． D．5.（2021·黑龙江·宝泉岭高级中学高二阶段练习）若△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为________.6.（2022·江苏·高二单元测试）已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为_______________________.【题型六】直线方程理论1.（2021·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（

）A．存在唯一的实数δ，使点N在直线上B．若，则过M，N两点的直线与直线l平行C．若，则直线经过线段M，N的中点；D．若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交；2.（2022·江苏·高二专题练习）设是直线:的一个方向向量，是直线的一个法向量.设向量与向量的夹角为，则为（

）A． B．C． D．3.（2022·江苏·高二专题练习）设，为不同的两点，直线.记，则下列结论中正确的个数是（）①不论为何值，点都不在直线上；②若，则过的直线与直线相交；③若，则直线经过的中点.A．0个 B．1个C．2个 D．3个.4.（2023·全国·高二专题练习）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（

）A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点5.（2020秋·上海浦东新·高二华师大二附中校考期中）已知是直线上一点，是外一点，则方程表示的直线（

）A．与重合 B．与交于点 C．过与平行 D．过与相交【题型七】光学性质1.（2022秋·全国·高二期中）已知，，从点射出的光线经直线反射后，再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（

）A． B．6 C． D．2.（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图，若光线经过的重心，则（

）A． B． C．1 D．23..（2021·广东·广州市第十六中学高二期中）已知直线和点，，若直线上存在点使得最小，则的最小值是（

）A． B． C． D．4.（2021·广东·广州奥林匹克中学高二期中）已知点，O为坐标原点，P，Q分别在线段上运动，则的周长的最小值是（

）A． B． C．5 D．5.（2021·江苏·高二专题练习）如图，平面上两点，在直线上取两点使，且使的值取最小，则的坐标为____________．【题型八】最小面积求直线1.（2023·全国·高二对口高考）在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题：①存在正实数，使的面积为的直线仅有一条；②存在正实数，使的面积为的直线仅有二条；③存在正实数，使的面积为的直线仅有三条；④存在正实数，使的面积为的直线仅有四条．其中，所有真命题的序号是．A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④2.（2021·江苏·高二专题练习）已知直线与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为.当时，的最小值为（

）A． B． C． D．3.（2023秋·辽宁葫芦岛·高二校考开学考试）已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（

）A． B． C． D．14.（2022秋·河北邢台·高二统考阶段练习）已知直线的斜率小于0，且经过点，并与坐标轴交于，两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为（

）A． B． C． D．5.（2023·全国·高二专题练习）直线，动直线，动直线．设直线与两坐标轴分别交于两点，动直线l1与l2交于点P，则的面积最大值（

）A． B． C． D．11【题型九】切线型求面积最值1.（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知抛物线，点在上，直线与坐标轴交于两点，若面积的最小值为1，则（

）A．1 B． C．1或 D．或2.（2022春·全国·高二期中）设函数的图象为曲线C，为C上任意一点，过点R的直线PQ与C相切，且与x轴交于点P，与y轴交于点Q，当三角形POQ的面积取得最小值时，的值为（

）A． B．C． D．3.（2023·全国·高二专题练习）若直线与抛物线相切，且切点在第一象限，则与坐标轴围成三角形面积的最小值为.【题型十】数形结合求最值：距离公式知识点与技巧：求解形如的式子的最小值思路：（1）先将问题转化为点到点的距离之和问题；（2）画出图示，必要时借助点关于直线的对称点知识进行分析；（3）根据距离之和的最小值得到原式的最小值.1.（2023·全国·高二专题练习）我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（

）A． B． C． D．52.（2023·全国·高二专题练习）已知函数，给出下列四个结论：①函数的图像是轴对称图形；

②函数在上单调递减；③函数的值域是；

④方程有4个不同的实数解．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.（2022·全国·高二专题练习）已知，则的最小值为（

）A． B．3C． D．64.（2022秋·山东日照·高二山东省日照实验高级中学校考阶段练习）已知，为实数，代数式的最小值是.5.（2022·全国·高二专题练习）已知二元函数的最小值为，则正实数a的值为．【题型十一】数形结合：绝对值--点到直线距离公式1.（2023·全国·高二专题练习）已知实数，则的取值范围是.2.（2023·全国·高二专题练习）若恰有三组不全为0的实数对,满足关系式，则实数t的所有可能的值为．3.（2021·高二单元测试）已知直线交圆于，两点，则的取值范围为.4.（2021·湖北·武汉市洪山高级中学高二阶段练习）已知满足方程，则M的轨迹为（

）A．直线 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线【题型十二】直线最值范围综合应用1.（2022秋·四川绵阳·高二三台中学校考阶段练习）过点作直线l：的垂线，垂足为点Q，则点Q到直线的距离的最小值为．2.（2021秋·湖北武汉·高二武汉市第一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线：与曲线从左至右依次交于、、三点，若直线：上存在满足，则实数的取值范围是．3.（2023·全国·高二专题练习）在平面直线坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:（

）①对任意三点A、B、C，都有②已知点P(3,1)和直线则③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；④定点动点满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点．其中真命题的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．14.（2022秋·四川内江·高二威远中学校校考阶段练习）已知点，，，直线将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（

）A． B． C． D．5.（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（

）A． B． C． D．8培优练一、单选题1．（2023·全国·高二专题练习）设，则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高二专题练习）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（

）（参考数据：，．）A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.9483．（2023·全国·高二专题练习）函数的最大值为（

）.A． B． C． D．34．（2022秋·湖北武汉·高二武汉市第三中学校考阶段练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·湖南怀化·高二校考阶段练习）已知：，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）.则斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（

）A． B． C． D．87．（2022·全国·高二专题练习）设平面点集包含于，若按照某对应法则，使得中每一点都有唯一的实数与之对应，则称为在上的二元函数，且称为的定义域，对应的值为在点的函数值，记作，若二元函数，其中，，则二元函数的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．88．（2023秋·全国·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点满足，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题9．（2023秋·全国·高二随堂练习）已知直线，则下列结论正确的是（）A．原点到直线l距离等于2B．若点在直线l上，则C．点到直线l距离的最大值等于D．点到直线l距离的最小值等于10．（2023·全国·高二专题练习）已知平面上三条直线，，，若这三条直线将平面分为六部分，则的可能取值为（

）A．-2 B．-1 C．0