河南省八市学评2024届高二数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

河南省八市学评2024届高二数学第二学期期末学业水平测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．定义在上的函数满足下列两个条件：（1）对任意的恒有成立；（2）当时，；记函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2．随机变量的分布列如下表，其中，，成等差数列，且，246则（）A． B． C． D．3．空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标是A．(－10,2,8) B．(－10,2,－8) C．(5,2,－8) D．(－10,3,－8)4．过点且与直线垂直的直线方程是（）A． B．C． D．5．已知有下列各式：，，成立，观察上面各式，按此规律若，则正数（）A． B． C． D．6．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（）A． B． C． D．7．是第四象限角，，则等于()A． B．C． D．8．设.若函数，的定义域是.则下列说法错误的是（）A．若，都是增函数，则函数为增函数B．若，都是减函数，则函数为减函数C．若，都是奇函数，则函数为奇函数D．若，都是偶函数，则函数为偶函数9．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是A． B． C． D．10．空间中不共面的4点A，B，C，D，若其中3点到平面的距离相等且为第四个点到平面的倍，这样的平面的个数为（）A．8 B．16 C．32 D．4811．已知函数，若，均在［1，4］内，且，，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12．以下说法正确的是（）A．命题“，”的否定是“，”B．命题“，互为倒数，则”的逆命题为真C．命题“若，都是偶数，则是偶数”的否命题为真D．“”是“”的充要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心为.由此推测，函数的图象的对称中心为________.14．已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________．15．2019年5月15日，亚洲文明对话大会在中国北京开幕.来自亚洲全部47个国家和世界其他国家及国际组织的1352位会议代表共同出席大会.为了保护各国国家元首的安全，相关部门将5个安保小组安排到的三个不同区域内开展安保工作，其中“甲安保小组”不能单独被分派，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有_________种.16．若直线与直线与直线互相垂直，则实数=_______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出（单位:百元）的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：组别[0,20）[20,40）[40,60）[60,80）[80,100）频数22504502908（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布，若该市共有高中毕业生35000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在8100元以上；（3）已知样本数据中旅游费用支出在[80,100）范围内的8名学生中有5名女生，3名男生，现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为，求的分布列与数学期望.附:若，则，18．（12分）设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=1．（1）求y=f（x）的解析式；（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．19．（12分）在棱长为的正方体中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝λEO.（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值;（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.20．（12分）已知二次函数满足，且.（1）求的解析式；（2）设函数，当时，求的最小值；（3）设函数，若对任意，总存在，使得成立，求m的取值范围.21．（12分）如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，已知，，，四边形为直角梯形，，.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.22．（10分）甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率是，乙胜的概率是，不会出现平局．（1）如果两人赛3局，求甲恰好胜2局的概率和乙至少胜1局的概率；（2）如果采用五局三胜制若甲、乙任何一方先胜3局，则比赛结束，结果为先胜3局者获胜，求甲获胜的概率．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）＝﹣x+2b，x∈（b，2b]，又因为f（x）＝k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可【题目详解】因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x；f（x）＝2（2）=4﹣x，x∈（2，4]，f（x）＝4（2）=8﹣x，x∈（4，8]，…所以f（x）＝﹣x+2b，x∈（b，2b]．（b取1，2，4…）由题意得f（x）＝k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示只需过（1，0）的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）kPA2，kPB，所以可得k的范围为故选：C．【题目点拨】解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学思想，是解决数学问题的必备的解题工具．2、A【解题分析】

根据a,b,c成等差数列，a+b+c=1，可解得a,b,c，进而求出.【题目详解】由，得.则，故选A.【题目点拨】本题考查根据随机变量X的分布列求概率，分析题目条件易求出．3、B【解题分析】

直接利用中点坐标公式求解即可.【题目详解】设点关于点的对称点的坐标是,根据中点坐标公式可得，解得，所以点关于点的对称点的坐标是(－10,2,－8)，故选B.【题目点拨】本题主要考查中点坐标公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.4、B【解题分析】

先求出所求直线的斜率，再写出直线的点斜式方程化简整理即得解.【题目详解】由题得直线的斜率为所以直线的方程为，即：故选B【题目点拨】本题主要考查相互垂直的直线的斜率关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5、C【解题分析】

观察上面各式,,,,类比推理即可得到结果.【题目详解】由题,观察上面各式可得,,,则,所以,故选:C【题目点拨】本题考查类比推理,考查理解分析能力.6、A【解题分析】

构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用函数为奇函数得出，将不等式转化为，即，利用函数的单调性可求解．【题目详解】构造函数，则，所以，函数在上单调递减，由于函数为奇函数，则，则，，由，得，即，所以，，由于函数在上为单调递减，因此，，故选A．【题目点拨】本题考查利用函数的单调性解函数不等式问题，解决本题的关键在于构造新函数，一般而言，利用构造新函数来解函数不等式的基本步骤如下：（1）根据导数不等式结构构造新函数；（2）对函数求导，确定函数的单调性，必要时分析函数的单调性；（3）将不等式转化为，利用函数的单调性得出与的大小关系．7、B【解题分析】

∵α是第四象限角，∴sinα<0.∵，∴sinα＝，故选B.8、C【解题分析】

根据题意得出，据此依次分析选项，综合即可得出答案．【题目详解】根据题意可知，，则，据此依次分析选项：对于A选项，若函数、都是增函数，可得图象均为上升，则函数为增函数，A选项正确；对于B选项，若函数、都是减函数，可得它们的图象都是下降的，则函数为减函数，B选项正确；对于C选项，若函数、都是奇函数，则函数不一定是奇函数，如，，可得函数不关于原点对称，C选项错误；对于D选项，若函数、都是偶函数，可得它们的图象都关于轴对称，则函数为偶函数，D选项正确．故选C．【题目点拨】本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定，解题时要理解题中函数的定义，考查判断这些基本性质时，可以从定义出发来理解，也可以借助图象来理解，考查分析问题的能力，属于难题．9、C【解题分析】试题分析：当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C．考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性．10、C【解题分析】

由题意分类讨论各种情况，然后利用加法原理确定满足题意的平面的个数即可.【题目详解】第一种情况，A，B，C，D点在平面的同侧.当平面∥平面BCD时，A与平面的距离是与平面BCD的距离的2倍.这种情况下有4个平面.第二种情况，A，B，C，D中有3个点在平面的一侧，第4个点在平面的另一侧，这时又有两种情形：一种情形是平面与平面BCD平行，且A与平面的距离是平面与平面BCD距离的2倍.这时有4个平面.另一种情形如图a所示，图中E，F分别是AB，AC的中点，K是AD的三等分点中靠近A的分点，A，B，C到平面EFK（即平面）的距离是D到平面EFK距离的一半.∵EF可以是AB，AC的中点的连线，又可以是AB，BC的中点的连线，或AC，BC的中点的连线，∴这种情形下的平面有3×4=12（个）.第三种情况，如图b所示，在A，B，C，D四点中，平面两侧各种有两点.容易看出：点A到平面EFMN（平面）的距离是B，C，D到该平面距离的2倍．就A，C与B，D分别位于平面两侧的情形来看，就有A离平面远，B离平面远，C离平面远，D离平面远这四种情况.又“AC，BD异面，则这样的异面直线共有3对，∴平面有4×3=12（个）.综上分析，平面有4+4+12+12=32（个）.故选C.【题目点拨】本题主要考查分类讨论的数学思想，计数原理的应用，空间几何体的结构特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11、D【解题分析】

先求导，利用函数的单调性，结合，确定;再利用，即，可得，，设，，确定在上递增，在有零点，即可求实数的取值范围．【题目详解】解：，当时，恒成立，则f（x）在（0，+∞）上递增，则f（x）不可能有两个相等的函数值．故；由题设，则＝考虑到，即，设，，则在上恒成立，在上递增，在有零点，则，，故实数的取值范围是．【题目点拨】本题考查了通过构造函数，转化为函数存在零点，求参数取值范围的问题，本题的难点是根据已知条件，以及，变形为，，然后构造函数转化为函数零点问题.12、B【解题分析】

根据全称命题的否定是特称命题的知识判断A选项的正确性.写出原命题的逆命题并判断真假性，由此判断B选项的正确性..写出原命题的否命题并判断真假性，由此判断C选项的正确性.根据充要条件的知识判断D选项的正确性.【题目详解】对于A选项，原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到要否定结论，故否定应是“，”，所以A选项错误.对于B选项，原命题的逆命题是“若，则互为倒数”，是真命题，故B选项正确.对于C选项，原命题的否命题为“若不都是偶数，则不是偶数”，当都为奇数时，是偶数，故为假命题.所以C选项错误.对于D选项，由，所以.“”不是“”的充要条件.故D选项错误.综上所述可知，B选项正确.故选：B【题目点拨】本小题主要考查全称命题的否定、逆命题、否命题以及充要条件等知识，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由已知可归纳推测出的对称中心为，再由函数平移可得的对称中心.【题目详解】由题意，题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为，即由此推测的对称中心为.又所以其对称中心为.故答案为：【题目点拨】本题考查归纳与推理，涉及到函数的对称中心的问题，是一道中档题.14、【解题分析】试题分析：因为，所以所以本题也可利用复数模的性质进行求解，即考点：复数的模15、108【解题分析】

根据题意，分两步，将5个安保小组分成组，然后全排列分派到每个区域，即可得到结果.【题目详解】根据题意，分两步进行：（1）将5个安保小组分成组，有种情况；（2）将分成的组全排列分派到每一个区域内，有种情况，根据分步计数原理，这样的安排方法共计有种情况.故答案为：108【题目点拨】本题考查了排列、组合以及分步计数原理，属于基础题.16、【解题分析】：，即三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）51；（2）805；（3）见解析【解题分析】试题分析：（1）根据中位数定义列式解得中位数，（2）由正态分布得旅游费用支出在元以上的概率为，再根据频数等于总数与频率乘积得人数.(3)先确定随机变量取法，再利用组合数分别求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：（1）设样本的中位数为，则，解得，所得样本中位数为（百元）.（2），，，旅游费用支出在元以上的概率为，，估计有位同学旅游费用支出在元以上.（3）的可能取值为，，，，，，，，∴的分布列为.18、(1)；(2)证明见解析.【解题分析】解：(1)方程7x－4y－12＝1可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝．又f′(x)＝a＋，于是，解得故f(x)＝x－．(2)证明：设P(x1，y1)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x1，y1)处的切线方程为y－y1＝(1＋)·(x－x1)，即y－(x1－)＝(1＋)(x－x1)．令x＝1得，y＝－，从而得切线与直线x＝1，交点坐标为(1，－)．令y＝x，得y＝x＝2x1，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x1,2x1)．所以点P(x1，y1)处的切线与直线x＝1，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x1|＝2．曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝1和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为2．19、（1）（2）λ＝2【解题分析】分析：以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点的坐标，

（1）求出异面直线与1的方向向量用数量积公式两线夹角的余弦值（或补角的余弦值）

（2）求出两个平面的法向量，由于两个平面垂直，故它们的法向量的内积为0，由此方程求参数的值即可．详解：(1)以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．则A(1，0，0)，，，D1(0，0，1)，E，于是，.由cos＝＝.所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为.（2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m·＝0，m·＝0得取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1).………8分由D1E＝λEO，则E，=.10分又设平面CDE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0.得取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ).12分因为平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得．点睛：本题查了异面直线所成的角以及两个平面垂直的问题，本题采用向量法来研究线线，面面的问题，这是空间向量的一个重要运用，大大降低了求解立体几何问题的难度．20、（1）；（2）；（3）【解题分析】

(1)根据二次函数,则可设,再根据题中所给的条件列出对应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的求得,再分析对称轴与区间的位置关系进行分类讨论求解的最小值即可.(3)根据题意可知需求与在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.【题目详解】(1)设.①∵,∴,又∵,∴,可得,∴解得即.(2)由题意知,,,对称轴为.①当,即时,函数h(x)在上