上海期中填选50题（压轴版）-2021-2022学年九年级数学期中考试满分全攻略（沪教版）教师版

上海期中填选精选50题(压轴版)

能力提升

一、单选题

1.(2020•上海)已知点A(-2,a),BQ,b),C(4,c)是抛物线y=Y一以上的三点，则右,1。

的大小关系为()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b

【答案】D

【分析】将A,B,C三点坐标分别代入抛物线y=x?-4x,然后化简计算即可.

【详解】解：•.•点4-2,a),B(2,b),C(4,c)是抛物线y=/-4x上的三点，

a=(-2『-4x(-2)=12,

b=2l-4x2=-4,

2

C=4-4X4=0.

a>c>b

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标，将点坐标分别代入关系式，正确运算，求出a,

b,c是解题的关键.

2.(2021・上海九年级专题练习)抛物线力x+c(awO)上部分点的横坐标x,纵坐标y

的对应值如下表，那么下列结论中正确的是()

X・・・-2-1012♦・・

・・・

y…04664

A.a>0；B.Z?<0；C.c<0；D.abc<0.

【答案】D

【分析】利用待定系数法求得〃、b、c的值，根据么b、c,的值即可求解.

【详解】时y=4；x=0时y=6；x=-2时y=0,

・・.a-b+c=4

c=6

4a-2b+c=0,

解得：a=-Lb=l,c=6.

“6c=-l*lx6=-6<0,

故选；D

【点睛】本题考查的是二次函数的性质及用待定系数法求二次函数的解析式，先根据图表列

出关于以从c的方程组，求出外从c的值是解答此题的关键.

3.（2021•上海九年级专题练习）已知二次函数y=-f+2x-3,那么下列关于该函数的判

断正确的是（）

A.该函数图象有最高点（0,-3）B.该函数图象有最低点（0,-3）

C.该函数图象在x轴的下方；D.该函数图象在对称轴左侧是下降的.

【答案】C

【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，

从而可以解答本题.

【详解】•二次函数y=-x2+2x-3=-（x-1）2-2,

该函数图象有最高点（1,-2）,故选项A错误，选项B错误；

该函数图象在x轴下方，故选项C正确；

该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D错误；

故选：C.

【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键

是明确题意，利用二次函数的性质解答.

4.（2021•上海九年级专题练习）抛物线尸（aWO）对称轴为直线*=-1,其部分

图象如图所示，则下列结论：

①62-4ac>0；

②2a=8；

③力（at+b）Wa-6（t为任意实数）；

④392c<0；

735

⑤点（-,，必），（一5，女），（1，"3）是该抛物线上的点，且又<、<〃2,

其中正确结论的个数是（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】A

【分析】利用抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（最小值），增减性逐个进行

判断，得出答案.

【详解】.解：抛物线与x轴有两个不同交点，因此少-4ac>0,故①正确；

对称轴为x=-l,即：--y-=-'>也就是2a=6,故②正确；

2a

当*=-1时，yi&k=a-当x=-时，y=a/+Z?1+c,

-lAc,

即：t（at+b）Wa-。，故③正确；

由抛物线的对称性可知与/轴另一个交点0C/V1,当x=l时，丁=>加0<0,又2a=4即a=

；b,代入•得：g4历cVO,也就是3卅2cV0；因此④正确；

735

点力（-；，％）,B（--,%）,C,用）到对称轴x=-1的距周分别为£八LB、Lcf

224

则有乙>乙〉以，且/、琳对称轴左侧，，在对称轴的右侧，故因此⑤正确，

综上所述，正确的结论有七个，

故选：A.

【点睛】考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与a、b、c的关系式解决问题的关键.

5.（2021•上海浦东新区•）关于抛物线y=-炉+2%一3的判断，下列说法正确的是（）

A.抛物线的开口方向向上B.抛物线的对称轴是直线x=-l

C.抛物线对称轴左侧部分是下降的D.抛物线顶点到工轴的距离是2

【答案】D

【分析】根据二次项系数的正负性判断开口方向；根据对称轴公式X=-g计算对称轴；根据

2a

开口方向判断图象是上升还是下降；根据顶点坐标公式•，华攵］计算顶点坐标进行判

断.

【详解】A：二次项系数为-1<0，故开口向下，错误；

b2,

B：对称轴公式欠=-五=-诏可=1,错误；

C：开口向下，在对称轴左侧部分上升，错误；

D：顶点坐标公式'号子）代入计算得顶点为（1,-2）,顶点到x轴的距离是2,正确.

故答案选：D

【点睛】本题考查：次函数的图象与性质，掌握相关的公式以及系数特殊性判断是解题关键.

6.（2021•上海）下列关于二次函数尸V-3的图象与性质的描述，不正确的是（）

A.该函数图象的开口向上

B.函数值展着自变量x的值的增大而增大

C.该函数图象关于谕对称

D.该函数图象可由函数产产的图象平移得到

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可得.

【详解】A.由a=l>0知抛物线开口向上，此选项描述正确；

B.•.•抛物线的开口向上且对称轴为掰，，当*>0时，液x的增大而证得：故此选项描述错

误；

由产-V+2产-（x-1尸+1知抛物线的顶点坐标为（1,1）,此选项错误；

C.•.•抛物线的对称轴为通由，.•.该函数图象关于碑由对称，此选项描述正确：

D.该函数图象可由函数片*的图象向下平移3个单位得到，此选项描述正确.

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质及二次函数图象平移的规律逐一

分析四个选项的正误是解题的关键.

7.（2020•上海松江区•）如果将抛物线y=x'+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的解

析式为（）

A.y=（x-1）?+2B.y=（x+1）2+2C.y=x2+lD.y=x2+3

【答案】B

【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线y=x?+2的顶点坐标为（0,2）,再根据点平移的规

律得到点（0,2）平移后所得对应点的坐标为（-1,2）,然后根据顶点式写出平移后的抛物

线的解析式.

【详解】抛物线y=x「+2的顶点坐标为（0,2）,点（0,2）向左平移1个单位长度所得对应点

的坐标为（-1,2）,所以平移后的抛物线的解析式为y=（x+1）'2,

故选：B.

【点睛】本题考查了二函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以

求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,

利用待定系数法求出解析式：二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

8.（2020•上海普陀•）在下列对抛物线y=-（x-l）2的描述中，正确的是（）

A.开口向上B.顶点在x轴上

c.对称轴是直线*=-1D.与y轴的交点是（o,i）

【答案】B

【分析】根据函数y=a（x-h）'的性质逐项排查即可.

【详解】解：•.•y=-（x-l）2

.♦•该抛物线开口方向向下，顶点坐标（1，0）,顶点在x轴上，对称轴为直线x=l,与y轴交点

为（0,-1）,

所以A、C、D选项错误，B选项正确，

故选B.

【点睛】本题主要考查了函数y=a（x-h）。的性质，掌握根据函数解析式确定抛物线的开口方

向、对称轴和顶点坐标的方法成为解答本题的关键.

9.（2021•上海崇明•九年级）抛物线y=a（x-A）2+A的顶点总在（）

A.第一象限B.第二象限c.直线y=x上D.直线y=-x上

【答案】C

【分析】根据抛物线的顶点式可知其顶点坐标为（k,k）,再根据横坐标与纵坐标相等即可

得出结论.

【详解】•.•抛物线的解析式为y=a（x-k），k,

抛物线的顶点坐标为（k,k）,

•.•顶点坐标的横坐标与纵坐标相等，

.••抛物线的顶点坐标总在直线y=x上.

故选：C.

【点睛】本题考查的是二次函数的性质，根据抛物线的顶点式得出其顶点横坐标与纵坐标相

等是解答此题的关键.

10.（2021•上海）如图，在正方形力犯（冲，AABP是等边三角形，AP,协的延长线分别交

边切于点反F,联结〃?、CP、1金明0交于点〃，下列结论中错误的是（）

A.AE=2DEB./FPfAPHC.^CFP~^APCD.CP2=PH-PB

【答案】C

【分析】A.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题.

B.根据两角相等两个三角形相似即可判断.

C.通过计算证明NDPBWNDPF,即可判断.

D.利用相似三角形的性质即可证明.

【详解】解：：四边形ABCD是正方形，

/.ZD=ZDAB=90o,

•••△ABP是等边三角形，

...NPAB=NPBA=NAPB=60°,

/.ZDAE=30°,

；.AE=2DE,故A正确；

：AB〃CD,

AZCFP=ZABP=ZAPH=60°,

VZPHA=ZPBA+ZBAH=600+45°=105°,

又：BC=BP,ZPBC=30°,

AZBPC=ZBCP=75°,

：.ZCPF=105°,

ZPHA=ZCPF,又易得NAPB=/CFP=60°,

/.△CFP^AAPH,故B正确；

VZCPB=600+75°=135°WNDPF,

...△PFC与4PCA不相似，故C错误；

VZPCH=ZPCB-ZBCH=75°-45°=30°,

...NPCH=NPBC,

VZCPII=ZBPC,

/.△PCH^APBC,

.PCPH

"~PB~1PC'

.,.PC2=PH-PB,故D正确，

故选：c.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角

形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

11.（2018•上海嘉定区•九年级期中）如图，由5个同样大小的正方形合成一个矩形，那么

勺度数是（）.

DCB

A.90°B.60°C.45°D.不能确定

【答案】C

【分析】利用勾股定理分别计算出4ACD和AADB的各个边长，根据有三边比值相等的两三角

形相似可判定4ACD和aADB相定理即可求出似，再根据相似三角形的性质：对应角相等和三

角形外角和定理即可求出/ABD+NADB的度数.

【详解】解：设每个小正方形的边长为1,

由勾股定理得：AC=V2,AD=6，AB=Vl(j.

又YDCE,BD=5,

.AD#ACy/2y/5DC1卡

BD5ABM5ADyj55

.ADACDC

'•丽一瓦―布’

.,.△ADC^ABDA,

ZDAC=ZABD,

VZACB=45°,

AZACB=ZDAC+ZADB=45°,

.\ZABD+ZADB=45°.

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质以及勾股定理的运用和三角形的

外角和不相邻的两内角之间的关系.

二、填空题

12.(2021•上海奉贤•九年级)当两条曲线关于某直线/对称时，我们把这两条曲线叫做关

于直线/的对称曲线，如果抛物线C：y=/-2x与抛物线C?关于直线x=-l的对称曲线，那么

抛物线C2的表达式为.

【答案】y=(x+3)2-l

【分析】先把抛物线a的解析式写成顶点式得到顶点坐标，根据对称的关系得到G的顶点坐

标，从而得到G的解析式.

【详解】解：G：y=f-2x=(x-l)2-l,

.♦•顶点坐标是P(L-l),

点P(l,-1)关于直线x=—l对称的点是P(—3,-1),

2

C2:^=(X+3)-1.

故答案为：＞,=(x+3)--1.

【点睛】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是掌握二次函数图象的性质.

13.(2021•上海松江•九年级)已知点A(2,yJ,8(3,%)在抛物线,=/-2*+。((:为常数)

上，贝IJH%（填、"="或）

【答案】<

【分析】先确定抛物线的开口方向向上，然后再求出抛物线的对称轴，最后根据离对称轴距

离越远的点、函数值越大解答即可.

【详解】解：,.,y=x2-2x+c

.•.抛物线开口方向向上，对称轴为X=YJ=1

-2x1

V2-1<3-1

必<力.

故答案为<.

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上，离对称轴距离越远

的点、函数值越大成为解答本题的关键.

14.（2021•上海闵行•）抛物线y=-W-3x在对称轴的右侧部分是的（填“上

升”或“下降”）.

【答案】下降

【分析】先将函数解析式化为顶点式，根据函数的性质解答.

【详解】：y=-x2-3x==-（x+|y+\,

3

抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-£,

在对称轴右侧部分y随着x的增大而减小，

故答案为：下降.

【点睛】此题考查抛物线的性质：当a>0时，对称轴左减右增；当a<0时，对称轴左增右减，

熟记抛物线的性质是解题的关键.

15.（2021•上海闵行•）符抛物线y=x?+2x向下平移1个单位，那么所得抛物线与y轴的交

点的坐标为.

【答案】（O-D

【分析】先确定抛物线y=』+2x的顶点坐标为（T,-1）,再利用点平移的坐标规律写出平

移后顶点坐标，然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式即可求得结论.

【详解】解:二,抛物线y=x2+2x=（x+l/-l

二顶点坐标为（T,T）,

.♦.点（-1,-1）向下平移1个单位所得对应点的坐标为（-1,-2）,

所以平移后的抛物线的表达式为y=/+2x-L

令x=0,则y=-l,

.♦•抛物线与y轴的交点的坐标为（0,-1）

故答案为：（0,-1）.

【点睛】本题考查/二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所

以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐

标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

16.（2021•上海九年级）二次函数y=』+2x+机图像上的最低点的横坐标为

【答案】-1

【分析】将二次函数丫=/+2》+所用顶点式表示出来，再根据函数图像开口向上，即可求得

最低点的横坐标.

【详解】解：二次函数y=x2+2x+m可化为y=（x+lf+〃?-1,因为二次项系数为1,大于零,

所以函数图像开口向上，所以最低点为顶点，横坐标为-1,故答案为-1.

【点睛】本题考查函数的最值问题，用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式是解决本题

的关键.

17.（2021•上海崇明•九年级）如果将抛物线y=（x-l『先向左平移2个单位，再向上平移1

个单位，那么所得的新抛物线的解析式为________.

【答案】y=（x+l）2+l

【分析】先确定原抛物线的顶点坐标，再根据平移方式确定平移后的顶点坐标，最后直接写

出抛物线解析式即可.

【详解】解：•••抛物线y=（x-l『的顶点坐标为（1,0）

.♦.向左平移2个单位，再向上平移1个单位后抛物线的顶点坐标为（-1,1）

...平移后抛物线解析式为y=（x++1.

故答案为y=（x+l），l.

【点睛】本题主要考查的了二次函数图象的平移变换，理解二次函数的平移规律“左加右减,

上加下减”成为解答本题的关键.

18.（2021・上海静安•）在二次函数y=x?-2x+3图像的上升部分所对应的自变量x的取值

范围是―.

【答案】x>l

【分析】先将函数解析式化为顶点式形式，根据函数的增减性解答.

【详解】；y=x2-2x+3=（x-iy+2,

，对称轴为直线x=l,

Vl>0,图象开口向上，

.•.当x〈l时，y随着x的增大而减小；当x>l时，y随着x的增大而增大，

故答案为：x>l.

【点睛】此题考查二次函数的增减性：当a〉0时，对称轴左减右增；当a〈0时，对称轴左增右

减.

19.（2021•上海）抛物线y=-2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是.（填“上

升”或“下降”）

【答案】上升

【分析】根据二次函数的增减性即可解答.

【详解】解：•.•当xVO时，y随x的增大而增大

...在y轴的左侧部分是上升的.

故填：上升.

【点睛】本题主要考查二次函数的增减性，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键.

20.（2013•上海九年级）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些

小正方形的顶点上，则/ABC的正切值是

【答案】2

试题分析：设小正方形边长为a,链接AC,那么

*满"=

/町=Ji毒褶朴『输'『=篝通琳

yvvvy'

因为应獭署=」刈蛹"=翻『

''■I以随吸次通意?===—二金

考点：勾股定理

点评：本题是锐角三角函数与勾股定理的结合，难度适中，解题关键是注意转化思想和数形

结合思想的应用.

21.（2017•上海闵行区•）如图，在等腰△力%中，AB=AC,Z^=30°.以点妫旋转中心,

AH

旋转30°,点力、C分别落在点“、C'处，直线力大力Z'交于点〃，那么下的值为-

【答案】石-1或2-6

试题解析：分成两种情况进行讨论：

⑴顺时针旋转时.过点4'作AE1AC，

分析可知八4'8是等腰三角形，ZA7)E=30.

设AB=AC=2.

则BC=26BA'=BA=2.A,C=BC-BA,=2>/3-2.

解aA'CE可得：DE=CE=3-瓜

AE=AC-CE=y/3-l.

AD=DE-AE=4-25

，丝=匕22一"

AC2

（2）逆时针旋转时:

分析可知VACD是等腰三角形，

设AB=AC=2.

则BC=26AC'=BC'-BA=26-2.

AD=AC=2-^3-2.

AC2

故答案为2-6或6-1.

22.（2017•上海杨浦区•）如图，在冲，AB=AC,将△/a绕点4旋转，当点6与点C®合时,

2

点C落在点〃处，如果sin生BO6,那么比的中点，睇口⑦的中点力的距离是—

【答案】4.

试题解析：

根据题意可知：CM=CN=^BC=3.

cosZMCN=cos2ZB=l-2sin2B=-.

9

MN2=MC2+NC2-2MC-NCcosZMCN=32+32-2x3x3xi=16.

9

解得：MN=4.

故答案为4.

23.（2016•上海中考模拟）在直角三角形ABC中，CD,CE分别是斜边AB上的高，中线，BC=a,

AC=3（a>3）若tanNOCE=g,则2=.

【答案】3M+3

【详解】设DE=x,

VtanZDCE=-

3

CD=3x,CE=VlOx,AD=-JiO-x

在RtAACD中

(7i0x-x)2+(3x)2=32

解得：

20

在RtAAfiC中

«2=(2710A:)2-32=40x2-9=20+2^/10-9=11+2加=(1+加-

24.(2020•上海九年级专题练习)在梯形力舐冲，AB//DC,NQ90°,BC=6,32,tanJ

3

=:.点明纥h一点，过点附乍〃〃4竣边49于点R将△上沿直线£7翻折得到△G£E当EG

4

过点用寸，应的长为_____.

【答案】黑

12

【分析】根据平行线的性质得到/月=/以8,/GFE=/AMF,根据轴对称的性质得到

ZBFE,求得跖；得到/尸=月/,作以让1奸点0,求得N/1如=N0Q8=9O°.根据矩

形的性质得至此》=伽=2,QD=CB=6,求得"》=10-2=8,根据勾股定理得到］〃=逐石而=

10,设EB=3x,求得/«=4x,必,=6-3x,求得川三加=10-4x,GM=^>x-10,根据相似三角

形的性质得到36x-孩，求得应=?-3x,根据勾股定理列方程即可得到结论.

【详解】如图,

D

E

彳尸QB

■:EF//AD,

:./A=/EFB,4GFE=4AMF,

・・•△◎£与△"Z关于"对称，

:.△GFE^XBFE,

:・/GFE=2BFE,

[NA=NAMF,

•••△4斯是等腰三角形，

:・AF=F就,

作以U力好点0,

・・・/力@9=/〃390°.

■:ABHDC,

:"CDQ=9N.

,.・N6=90°,

・・,四边形切碘矩形，

：.CD=QB=2,QD=CB=6,

：.AQ=\Q-2=8,

在RtZU优中，由勾股定理得

AD=J64+36=10,

3

丁tan4=一,

4

BE3

:.tan/EFB==—,

BF4

设殖=3%

:・FB=4x,四=6-3x,

・'・"'=损"=10-4%

*.GM=^x-10,

■:/G=NB=/DQA=90°,ZGMD=AA,

・・・△〃&-△%1,

.DGGM

•,质二9‘

6A--,

2

DE——-3x,

2

在Rt△㈤)中，由勾股定理得

(--3x)2-(6-3x)2=4,

2

解得：3x=J,

...当£G过点明班三片.

故答案为

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰二角形的判定及性质的运用，矩形的性

质的运用，勾股定理的性质的运用，轴对称的性质的运用，正确的作出辅助线是解题的关键.

25.(2021•上海九年级专题练习)如图，已知在平行四边形48(力中，715=10,8c=15,tan

4

|■，点尸是边4。上一点，联结能将线段硼着点正逆时针旋转90°得到线段做如果点

0恰好落在平行四边形力吸彳的边上，那么4用值是.

【答案】6或10

【分析】分情况解答：当点播在"上时，作比1_L4奸凡Qd/姣/原延长线于反没PE=x,

4FO

通过证明△月?匡△。能得出分一QQx,DF=x-1,由tanN/7?gtan/=—=,即可得

3DF

4

出AP的值；当点。落在4?上时，得出N/缈=/均图=90°,由tan/l=i，即可得出AP的值；当

RF4

点播在直线比上时，作航L4吁£PFVBC^F.则四边形仍必是矩形.由tan4===7，

AE3

可得出△力空足等腰直角三角形，此时求出80不满足题意，舍去.

【详解】

解：如图1中，当点的在"上时，作应J_4〃于反。凡L49交力郎延长线于反

设PE=x.

BE4

在RtZ\4螃中，Vtan/1=—=-,48=10,

AE3

:・BE=8,AE=6f

・・,将线段必绕着点。逆时针旋转90°得到线段放,

:・/BPQ=9C,

：,4EBK4BPE=4BPE+4FPQ=90°,

：./EBP=/FPQ,

°：PB=PQ,/PEB=/PFQ=9G,

:.△PBgXQPFqAAS),

:.PE=QF=x,EB=PF=8,

:.DF=AE+PE+PF-AD=x-1,

・・,CD//AB,

：.ZFDQ=ZAf

4FQ

/.tanZ/7?^=tan/l=y=而：,

..-4

"x-139

Ax=4,

:.PE=4,

'/J户=6+4=10；

如图2,当点够在4?上时,

•.•将线段必绕着点/逆时针旋转90°得到线段图,

:"BPQ=9Q",

:.NAPB=/BPg9Q°,

Ap4

在Rt△力研，VtanJ=—=一，48=10,

BP3

6；

如图3中，当点3客在直线比上时，作应J_4?于瓦月江比于汇则四边形跖叼是矩形.

:.BE=8,1£=6,

:.PF=BE=8,

•.•△加0是等腰直角二角形，PFLBQ,

:.PF=BF=FQ=3,

:.PB=PQ=8&,BQ=及PB=\6>\5（不合题意舍去），

综上所述，/砸值是6或10,

故答案为：6或10.

【点睛】本题主要考查旋转的性质，由正切求边长，正确画出图形，分情况解答是解题的关

键.

4

26.（2021•上海）如图，在RtZ\4%中，ZACB=90°,AC=6,cotB=y,点/为边上一

点，将△6"沿着AC翻折得到PC,B'G与边4燃交于点〃，如果内恰好为直角三角

［分析盼两种情形:如图1中，当NDPB=2时，过点C作CH，于”.如图2中，当ZPDB=9（r

时，设BP=P8=x.分别求解即可解决问题.

【详解】解：如图1中，当皿叼=90°时，过点C作C"_LAB干，.

B’H

D

\

X

/^*******^^?

图1

.:cotB=:,AC=6,

AC3

；.BC=8,

22

..AB=>JAC^BC=782+62=10^

•.•-.BCMC=LAB・CH,

22

24

:.CH=—,

5

vZB+ZA=90°,4+ZP£>8=90°,ZB=ZB,"DB;ZADC,

..ZADC=ZA,

.*.AC=CZ）=6,

•.•C//1AD,

.'.AH=DH=AC2-CH2=业-（等=费，

:.BD=AB-AD=\0-=^,DB=CB-CD=CB-CA=2,设尸8=x,

在RtAPDB，中，则有/+（今-4=22,

解得x=|或2（舍弃），

如图2中，当ZP£>a=90°时，设8P=W=x.

图2

在RtAPDB，中，贝I］有V=(|-x/+(号尸，

解得x=4,

综上所述，满足条件的P3的值为1Q或4.

故答案为4或

【点睛】本题考查解直角三角形，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思

考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

27.（2021•上海九年级专题练习）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如

3

图，已知在对余四边形A3CD中，AB=10,8c=12,CD=5tanB=-,那么边AO的长为

f4

【答案】9

3

【分析】连接AC,作人石J_8C交BC于E点，由tan8=：,AB=IO,可得AE=6,BE=8,并求出AC

的长，作。交AD于F点，可证=最后求得AF和DF的长，可解出最终结果.

【详解】解：如图，连接A3作交BC于E点，

3

••,tan8=-,AB=10,

4

AF3

/.tanB=——=-,设AE=3x,BE=4x,

BE4

22

•••AE-+BE=AB-，则（3x）2+（旬）=25x=100,

解得x=2,则AE=6,BE=8,

又•.•8C=12,ACE=BC-BE=4,

AC=>JAE2+CE2=2万，

作CF_LA。交AD于F点，

VZB+ZD=90°,ND+NDCF=90°,

3DF

Z_B=Z.DCF,tanB=—=tanZDCF=，

4CF

又•.•8=5,.,.同理可得DF=3,CF=4,

•1-AF=JAC2-CF2=6,

■■•AD=AF+DF=9.

故答案为:9.

【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握

直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键.

28.（2021•上海九年级专题练习）在RtaABC中，ZACB=90°,AC=BC,点E、尸分别

是边CA、的中点，已知点P在线段E尸上，联结AP,将线段AP绕点P逆时针旋转90°得

到线段OP，如果点P、D、C在同一直线上，那么tan/C4P=.

【答案】应+1或点-1.

【分析】分两种情形：①当点〃在线段阳1时，延长血友6c的延长线于"证明4g戊即可解

决问题.

【详解】解：①如图2中，当点麻线段凡上时，延长/姣龙的延长线于

H

•：CE=EA,CF=FB,

：.EF//AB,

,:AC=AB,N/CS=90°

：.ZCEf=ZCAB=45°,

'：PgPA,NAPD=9G°

:"PAD=/PDA=45°,

：.^HDC=APDA=^°,

•.,点E是边C4的中点，

:.EA=E~EC

:./EPC=/CEP,

VAHDC=ZDCA+ZDAC=450,

ZCEF=ZDCA^ZEPC=45°,

・・・ZDAC=AEPC=/ECP,

：.DA=DC,设则。A=oc=&〃,

.・,PC=(0+l)a

・PC(V2+l)a_

••tanZCAP=——--------」=a+l

PAa

②如图3中，当点班线段切上时，

由①可知，EF//AB,ZCAB=ZP/)A=45°,

：,ZCAD=180°-ZACD-450,

ZCOA=180°-N4CTM5°

：.ACAI)=ACOAy

•:EF"AB,

:"CPE=/COA,

:./CPE=4CAD,

・・•点E是边C4的中点，

：.EA=EP=EC

：.AECP=ACPE>

：.Z.ECP=/LCAD,

•**DA=DCi设则/7?=a,DA—DC-y/2ci,

.♦・PC=[42-\)a

・PC

••tanZCAP=—='--------=母-\

PAa

综上所述，tanNC铲的值是虚+1或0-1.

【点睛】本题考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，外角的性质，三角

形内角和，勾股定理和三角函数等知识，熟悉相关性质是解题的关键.

29.（2021•上海九年级专题练习）如图，在向AABC,ZC=9O°,AC=6,5c=8,D是BC

的中点，点E在边AB上，将ABDE沿直线QE翻折，使得点B落在同一平面内的点U处，线

段B7）交边AB于点尸，联结A&,当尸是直角三角形时，BE的长为.

【答案】2或工

【分析】分两种情况讨论，当NAFB'=90。时，则4">=90°,利用锐角三角函数先求解OF,

BF,ffF,设BE=x,再表示B'E,EF,再利用勾股定理求解x即可得到答案；当NAfi^=90。

时，如图，连接A£）,过E作于H,先证明：后.4）。名44）8',再证明ZAD£=90。,

设BE=5x,利用的锐角二角函数可得£”=3,BH=4x,DH=4-4x,AE=lO-5x,利用勾

股定理求解x可得答案.

【详解】解：.AC=6,BC=S,ZC=90°,

:.AB=\0,

。是8c的中点,

;.BD=CD=B'D=4,

当ZAFB'=90°时，则NBFD=90°,

・•・sin4=如工竺

AB5DB

B'

B

设BE=x,jljljB，E=%rEF=BF—x———x,

•.x=2,

BP：BE=2.

当ZABN=90。时，如图，连接AO,过E作EH1.BD于H,

同理可得：CD=BD=BD=4,

•,­AD=AD,NC=90。，

/.RtAADC为AD3f（HL）

:.ZADC=ZADBf,

\ABDE=ASDE,

ZADB'+/B'DE=90°=NADE,

设3E=5x,

AC3EH

由sin8D=——=一二——，

AB5BE

，EH=3x,BH=4x,

,\DH=4-4xf

.•.DE2=（3X）2+（4-4A）2,

A£：2=（10-5X）2,

AD2=62+42=52,

.-.（10-5x）2=52+（3x）2+（4-4x）2,

A

••BE=5x书

^lZB'AF=90°,不合题意，舍去.

综上：松的长为2或背40.

故答案为：2或背40.

【点睛】本题考查的是折叠的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角二角函数的应用,

掌握以上知识是解题的关键，要注意分情况讨论.

30.（2021•上海）如图，在RfAABC中，NACB=90。,AC=3,BC=4,8是A4BC的角平分线,

将R/AABC绕点A旋转，如果点C落在射线C。上，点B落在点E处，连接ED,那么ZAED的

正切值为

3

【答案】y

【分析】如图，过点D作DG_LAC于G,可得DG〃BC,即可证明△AGDs^ACB,可得三=三=?,

DCJBC4

由CD是角平分线可得/ACD=45°,可得CG=DG,进而可求出AG的长，根据勾股定理即可求出AD

的长，根据旋转的性质可得AC'=AC,AE=AB,根据等腰三角形的性质可得NCC'A=45。，可

得NCAC'=90°,可得旋转角为90°,可得NDAE=90°,利用勾股定理可求出AB的长，根据

正切的定义即可得答案.

【详解】如图，过点D作DGLAC于G,

VZACB=90°,

：.DG//BC,

AfZAC4

AAAGD^AACB,可得把=生=，

DGBC4

・；CD是角平分线，

/.ZACD=45°,

ACG=DG,

VAC=3,AC=AG+CG,

37

・••二OG+CG=3,BP-DG-3,

44

12

解得：DG=—,

9

AG--t

7

i--------------15

•*-AD=VDG2+AG2=y

,/将MAABC绕点A旋转，如果点。落在射线CD±,

AAC,二AC,AE=AB,

AZCC/A=ZACD=45°,

AZCACZ=90°,

・,・旋转角为90°,

AZDAE=90°,

VAC=3,BC=4,

AAB=5,

3

故答案为：—

【点睛】本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，正确得出旋转

角为90°并熟练掌握相关性质及定义是解题关键.

31.（2021•上海九年级专题练习）在AABC中，AB=4g,NB=45。，NC=60°.点。为

线段A8的中点，点E在边AC上，连结OE,沿直线DE将“4把折叠得到“TDE.连接AV,

当4ELAC时，则线段A4,的长为

【答案】2瓜

4FAD

【分析】求出AC的长证明AADE也△河,推出瓦二就，由此求出AE即可解决问题.

【详解】解：过点A作AMLBC,在Rt^ABM中，AM=ABxsin45°=4尤x也=4

2

AC=AM-sin60°=随

3

A'ELAC,

/AEA'=90°,

VAADE^AA'DE

/.ZAED=ZA'ED=45O,

.,.ZAED=ZB,

VZDAE=ZCAB,

.,.△ADE^AACB,

AEAD

AB-AC)

AE272

4虎一86

AE=2O

AN3AE=2加

【点睛】本题属于三角形综合题,考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，

相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.

32.（2021•上海九年级专题练习）如图，将AABC沿BC边上的中线A£＞平移到A/TB，。的位

置，已知AABC的面积为16,阴影部分三角形的面积为9,如果4r=1,那么4。的长为.

【答案】3

【分析】先证明aDA'E-ADAB,再利用相似三角形的性质求得A'D便可.

【详解】如图，

SAABC=16>SAA，卜产9,且AD为BC边的中线，

,•S.A，DE=3S热EF=4.5,SAABD=3KABC=8,

・・,将AABC沿BC边上的中线AD平移得到B'C9

・・・A'E//AB,

•••△DA'E^ADAB,

则（丝黑吟（*_丫=£

'\^D）5.（A7J+U8

a

解得A'D=3或A?D-三（舍），

故答案为3.

【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、

相似三角形的判定与性质等知识点.

33.（2021•上海）如图，在RtZ\ABC中，NC=90°,AC=6,BC=8,点D、E分别是边BC、

AB上一点，DE〃AC,BD=5拒，把ABDE绕着点B旋转得到△!»'£'（点D、E分别与点D',E'对

应），如果点A,D'、E'在同一直线上，那么AE'的长为.

【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当点D'在线段AE'上时，解直角三角形求出AD'

D'E,即可.如图2中，当E'在线段AD'上时，同法可得.

【详解】解：在RtZ\ACB中,

VZACB=90°,AC=6,BC=8,

•*-AB=A/AC2+BC2=>/62+82=10，

VDE/7AC,

AABDE^ABCA,

.DEBD

・・---=---，

ACBC

,DE5yf2

…了一丁’

ADE=15^,

4

「NAD'B=90°,

如图1中，当点D'在线段AE'上时，

图i

「△BDE绕着点B旋转得到△!?□'E'

D'B=DB=542,

AADZ=>lAB2-D'B-=71O2-(5>/2)2=5^,

又；OE=£)E="也，

4

.♦.AE'=AD'+D'E'=5点+=,

44

如图2中，当E'在线段AD'上时，同法可得AE'=AD'-D'E'=5应-巨&=%&

44

D'

图2

综上所述，满足条件的AE'的长为空也或辿.

44

故答案为生也或少区

44

【点睛】本题考查旋转变换，解直角三角形，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题

以及灵活运用所学的知识点，属于中考常考题型.

34.（2021•上海九年级专题练习）如图，在矩形4筋中，AB=3,BO4,将矩形力比吸点C

旋转，点4B、加勺对应点分别为力'、攵、〃'，当落在边切的延长线上时，边4'D'

与边力屈勺延长线交于点凡联结例那么线段用的长度为.

A'

【答案】吆

2

【分析】由勾股定理可求A'C=5,可得A'D=A'C-CD=2,由△ECDsaA'CB',对应边成比例即

可求出DE的长，再由AA'DFs/\CDE求出DF的长，最后在RtaDFC中由勾股定理即可求

【详解】解:由旋转前后对应边相等可知：A'B'=AB=3,B'C=BC=4

由勾股定理可知：A'C=，3、42=5，

.•.A'D=A'C-CD=2,

又NADC=NB'=90°,且NECD=NA'CB',

.,.△ECD^AA'CB',

.CDDE小拓m3DE

..而=府’代入数据：z=v

9

・・.DE=-,

4

又A'F〃CE,

二ZCED=ZA;FD,且NEDC=/FDA',

.♦.△A'DF^ACDE,

EDDC9

代入数据:a=3,

~FD~~AD

DF~2

在RtZ\DFC中由勾股定理可知：

CF=y]DF2+CD2=所¥

故答案为：地.

2

【点睛】本题借助矩形的性质考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质

和判定是解决此题的关键.

35.（2021•上海九年级专题练习）如图，已知矩形纸片ABCD,点E在边AB上，且8E=1,将

△CBE沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF,如果点D,F,E在同一直线上，

则线段AE的长为一.

【分析】设AE=x,根据折叠的性质和矩形的性质得到OE=r>C=4B=x+l,证明

△AEF-J9EA,利用对应边成比例列式求出AE的长.

【详解】解：设AE=x,则A8=x+1,

•••折叠，

BE=EF=1，ZBEC=ZFEC,

•.•四边形ABCD是矩形，

AB//CD,

：.NBEC=NDCE,

：.Z.FEC=ZDCE,

：.DE=DC=AB=x