2024届安徽高中教科研联盟数学高二下期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2024届安徽高中教科研联盟数学高二下期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如4266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A． B． C． D．2．设向量与向量垂直，且，，则下列向量与向量共线的是（）A． B． C． D．3．若两个正实数满足,且恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．的展开式中各项系数之和为，设，则（）A． B． C． D．5．过点且与直线垂直的直线方程是（）A． B．C． D．6．下列函数中，值域为的偶函数是（）A． B． C． D．7．在等差数列{an}中，若a2=4，A．-1 B．0 C．1 D．68．已知是周期为4的偶函数，当时，则（）A．0 B．1 C．2 D．39．“，”是“双曲线的离心率为”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件10．已知正三棱柱的所有顶点都在球的球面上，且该正三棱柱的底面边长为，体积为，则球的表面积为（）A． B． C． D．11．设等差数列{}的前项和为，若，则=A．20 B．35 C．45 D．9012．若函数fx=3sinπ-ωx+sin5π2+ωx，且fA．2kπ-2π3C．kπ-5π12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量与，则的最小值是__________.14．已知函数在点处的切线为，则直线、曲线以及轴所围成的区域的面积为__________．15．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图三所示，则其中每天在校平均开销在元的学生人数为_________．16．已知满足约束条件则的最大值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，梯形面积为.（1）当，时，求梯形的周长(精确到)；（2）记，求面积以为自变量的函数解析式，并写出其定义域.18．（12分）已知数列，的前n项和分别为，，，且.(1)求数列的前n项和；(2)求的通项公式.19．（12分）如图，已知在四棱锥中，为中点，平面平面，，，，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．20．（12分）如图，在三棱柱中，，，点在平而内的射影为(1)证明：四边形为矩形；(2)分别为与的中点，点在线段上，已知平面，求的值.(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值21．（12分）已知数列的前项和为，且，.（Ⅰ）试计算，，，，并猜想的表达式；（Ⅱ）求出的表达式，并证明（Ⅰ）中你的猜想.22．（10分）已知函数，.（1）当时，求的单调区间；（2）若有两个零点，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

由算筹含义直接求解．【题目详解】解：由算筹含义得到8771用算筹可表示为．故选C．【题目点拨】本题考查中华传统文化中的数学问题，考查简单的合理推理、考查函数与方程思想，是中等题.2、B【解题分析】

先根据向量计算出的值，然后写出的坐标表示，最后判断选项中的向量哪一个与其共线.【题目详解】因为向量与向量垂直，所以，解得，所以，则向量与向量共线，故选：B.【题目点拨】本题考查向量的垂直与共线问题，难度较易.当，若，则，若，则.3、D【解题分析】

将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式，可得出实数的取值范围．【题目详解】由基本不等式得，当且仅当，由于，，即当时，等号成立，所以，的最小值为，由题意可得，即，解得，因此，实数的取值范围是，故选D.【题目点拨】本题考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值，对于不等式成立的问题，需要结合量词来决定所选择的最值，考查计算能力，属于中等题．4、B【解题分析】

先求出的值，再根据，利用通项公式求出的值.【题目详解】令，可得的展开式中各项系数之和为，，设，则.故选：B【题目点拨】本题考查了二项式定理求多项式的系数和，二项式定理展开式的通项公式，需熟记公式，属于基础题.5、B【解题分析】

先求出所求直线的斜率，再写出直线的点斜式方程化简整理即得解.【题目详解】由题得直线的斜率为所以直线的方程为，即：故选B【题目点拨】本题主要考查相互垂直的直线的斜率关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6、C【解题分析】试题分析：A中，函数为偶函数，但，不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且，满足条件；D中，函数为偶函数，但，不满足条件，故选C．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域．7、B【解题分析】在等差数列an中，若a2=4,a4=2，则8、D【解题分析】

利用函数的周期性，化简所求函数值的自变量为已知函数的定义域中，代入求解即可．【题目详解】f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时f（x）=，则f（2014）+f（2015）=f（2012+2）+f（2016﹣1）=f（2）+f（﹣1）=log22+1+12=1．故选：D．【题目点拨】本题考查分段函数的应用，函数的周期性以及函数值的求法，考查计算能力．9、D【解题分析】

当时，计算可得离心率为，但是离心率为时，我们只能得到，故可得两者之间的条件关系.【题目详解】当时，双曲线化为标准方程是，其离心率是；但当双曲线的离心率为时，即的离心率为，则，得，所以不一定非要.故“”是“双曲线的离心率为”的充分不必要条件.故选D.【题目点拨】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.10、C【解题分析】

正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积．【题目详解】由题意可知，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为，设正三棱柱的高为，由，得，∴外接球的半径为，∴外接球的表面积为：．故选C．【题目点拨】本题主要考查了正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．11、C【解题分析】

利用等差数列的前n项和的性质得到S9=，直接求解．【题目详解】∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a4+a6=10，∴S9=故选：C．【题目点拨】这个题目考查的是数列求和的常用方法；数列通项的求法中有:直接根据等差等比数列公式求和；已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。12、A【解题分析】

本题首先要对三角函数进行化简，再通过α-β的最小值是π2推出函数的最小正周期，然后得出ω【题目详解】fx==3sin=2sin再由fα=2，fβ=0，α-β的最小值是fx=2sinx+x∈2kπ-2π3【题目点拨】本题需要对三角函数公式的运用十分熟练并且能够通过函数图像的特征来求出周期以及增区间．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

,所以，所以，故当时，的最小值是.考点：向量的模点评：本题考查向量的模的最值，解题的关键是能准确的表示出模的函数，再求解最值.14、【解题分析】

先利用二倍角公式化简函数f（x）的解析式，利用导数求出该点的斜率，然后求出切点的坐标，得出切线的方程，最后根据定积分即可求出直线l、曲线f（x）以及轴所围成的区域的面积．【题目详解】∵f（x）=1﹣2sin2x=cos（2x），f（）=0，∴切点坐标为了（，0）．又f′（x）=﹣2sin2x．∴f′（）=﹣2，切线的斜率k=﹣2，∵切线方程为：y=﹣2（x﹣），即y=﹣2x+，所以直线l、曲线f（x）以及y轴所围成的区域的面积为：.故答案为：．【题目点拨】（1）本题主要考查定积分的计算，考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用定积分求曲边梯形的面积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)图中阴影部分的面积S=.15、1【解题分析】分析：由频率分布直方图，得每天在校平均开销在[50，60]元的学生所点的频率为0.3，由此能求出每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数．详解：由频率分布直方图，得：每天在校平均开销在[50，60]元的学生所点的频率为：1﹣（0.01+0.024+0.036）×10=0.3∴每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为500×0.3=1．故答案为1点睛：本题考查频率分布直方图的应用，考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.16、1【解题分析】

做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.【题目详解】约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示.由得，则目标函数过点时，取得最大值，.故答案为：1【题目点拨】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）周长是；（2），定义域.【解题分析】分析：（1）以下底所在直线为轴，等腰梯形所在的对称轴为轴，建立直角坐标系，可得椭圆方程为，由题，，则代入椭圆方程得，可求，由此可求求梯形的周长.（2）由题可得，，由此可求，进而得到定义域.详解：（1）以下底所在直线为轴，等腰梯形所在的对称轴为轴，建立直角坐标系，可得椭圆方程为，，，∴代入椭圆方程得，∴，所以梯形的周长是；（2）得，∴，，定义域.点睛：本题考查了函数模型的应用问题，也考查了求函数定义域的问题，是综合性题目．18、（1）（2）【解题分析】

（1）先将表示为，然后利用裂项求和法可求出；（2）先求出数列的前项和，于是得出，然后利用作差法可求出数列的通项公式．【题目详解】（1）因为，所以；（2）因为，所以.当时.；当时，.故【题目点拨】本题考查裂项法求和以及作差法求数列的通项公式，求通项要结合递推式的结构选择合适的方法求数列通项，求和则需考查数列通项的结构合理选择合适的求和方法进行计算，属于常考题．19、（1）见解析；（2）【解题分析】

分析：（1）由勾股定理可得，可得平面，于是，由正三角形的性质可得，可得底面，从而可得结果；（2）以为，过作的垂线为建立坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可求出二面角的余弦值.详解：（1）证明：∵，，，，∴，，，，∴，∵平面平面,两平面的交线为∴平面，∴，∵，为中点，∴，梯形中与相交∴底面，∴平面平面．（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，∴，，，，设平面的一个法向量为，平面的法向量为，则由可得取，得，，即，由可得取，得，，即，∴．故二面角的余弦值为．点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20、（1）详见解析（2）（3）【解题分析】

（1）根据投影分析线段长度关系，由此得到长度关系，由此去证明四边形为矩形；（2）通过取中点，作出辅助线，利用线面平行确定点位置，从而完成的计算；（3）建立合适空间直角坐标系，利用向量法求解锐二面角的余弦值.【题目详解】（1）证明：平面，在平面，在与中，又，，四边形为矩形；（2）取的中点，连结交于，分别为的中点，，，又为的中点，，四边形为平行四边形，即，平面，；（3）如图，以为坐标原点，过分别与平行的直线为轴，轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，，平面的法向量，，设为平面的法向量得，平面与平面所成锐二面角的余弦值为【题目点拨】本题考查立体几何的综合应用，难度一般.利用向量方法求解二面角的余弦值时，要注意一个问题：有时候求解出的余弦值是负值，但实际结果却是正值，这里其实我们需要回原图中去观察一下两个面所成的二面角是锐角还是钝角，然后给出判断即可.21、(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)，证明见解析.【解题分析】分析：（1）利用公式，将已知转换成关于的