2024届新课标全国卷高二数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

2024届新课标全国卷高二数学第二学期期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，都是实数，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（）A． B．C． D．3．设地球的半径为R，地球上A，B两地都在北纬45∘的纬度线上去，且其经度差为90∘，则A，A．πR B．πR2 C．πR34．函数(,则()A． B． C． D．大小关系不能确定5．已知等式x4+a1x3+A．(1,2,3,4)B．(0,3,4,0)C．(0,-3,4,-1)D．(-1,0,2,-2)6．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是()A．0.45 B．0.6 C．0.65 D．0.757．下列命题正确的是（）A．进制转换：B．已知一组样本数据为1，6，3，8，4，则中位数为3C．“若，则方程”的逆命题为真命题D．若命题：，，则：，8．已知平面，，直线，满足，，则下列是的充分条件是（）A． B． C． D．9．从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（）A．B．C．D．10．某机构需掌握55岁人群的睡眠情况，通过随机抽查110名性别不同的55岁的人的睡眠质量情况，得到如下列联表男女总计好402060不好203050总计6050110由得，.根据表0.0500.0100.0013.8416.63510.828得到下列结论，正确的是（）A．有以下的把握认为“睡眠质量与性别有关”B．有以上的把握认为“睡眠质量与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别无关”11．已知，则A． B． C． D．12．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上的点到直线的距离的最小值是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面凸四边形ABCD中，，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，，则的值为________.14．若，，且，则的最小值为__________．15．某人从处向正东方向走千米，然后向南偏西的方向走3千米，此时他离点的距离为千米，那么___________千米.16．设函数和函数，若对任意都有使得，则实数a的取值范围为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知定义在上的偶函数满足：当时，.（1）求函数的解析式；（2）设函数，若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围.18．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线相交于不同的两点，，若是的中点，求直线的斜率.19．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与直线（为参数，）交于点，与曲线交于点（异于极点），且，求.20．（12分）已知函数，．（）当时，证明：为偶函数；（）若在上单调递增，求实数的取值范围；（）若，求实数的取值范围，使在上恒成立．21．（12分）已知函数（且，e为自然对数的底数.）（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数只有一个零点，求a的值.22．（10分）（1）化简求值：（2）化简求值：+

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】分析：先证明充分性，两边同时平方即可，再证明必要性，取特值，从而判断出结果。详解：充分性：将两边平方可得：化简可得：则，故满足充分性必要性：，当时，，故不满足必要性条件则是的充分而不必要条件故选点睛：本题考查了充分条件与必要条件的判定，可以根据其定义进行判断，在必要性的判定时采用了取特值的方法，这里也要熟练不等式的运用2、D【解题分析】

先构造函数，再利用导函数研究函数的增减性，结合，的奇偶性判断函数的奇偶性，再结合已知可得，，即可得解.【题目详解】解：设,则，由当时，，则函数在为增函数，又，分别是定义在上的奇函数和偶函数，则在上为奇函数，则函数在为增函数，又，所以，则，则的解集为，即不等式的解集是，故选：D.【题目点拨】本题考查了函数的奇偶性及单调性，重点考查了导数的应用，属中档题.3、C【解题分析】分析：设在北纬45∘纬圆的圆心为C，球心为O，连结OA,OB,OC,AC,BC，根据地球纬度的定义，算出小圆半径AC=BC=2R2，由A,B两地经度差为90∘，在RtΔABC中算出AB=AC详解：设在北纬45∘纬圆的圆心为C，球心为O连结OA,OB,OC,AC,BC，则OC⊥平面ABC，在RtΔACO中，AC=OACcos45∘∴A,B两地经度差为90∘，∴∠ACB=在RtΔABC中，AB=A由此可得ΔAOB是边长为R的等边三角形，得∠AOB=60∴A,B两地球面的距离是60πR180=π点睛：本题考查地球上北纬45∘圆上两点球的距离，着重考查了球面距离及相关计算，经纬度等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于中档题4、C【解题分析】

对函数求导得到函数的导函数，进而得到原函数的单调性，从而得到结果.【题目详解】函数(,对函数求导得到当x>1时，导函数大于0，函数单调增，当x<1时，导函数小于0，函数单调递减，因为，故得到.故答案为C.【题目点拨】这个题目考查了导函数对于研究函数单调性的应用，函数的单调性可以通过常见函数的性质得到，也可以通过定义法证明得到函数的单调性，或者通过求导得到函数的单调性．5、C【解题分析】试题分析：本题可以采用排除法求解，由题设条件，等式左右两边的同次项的系数一定相等，故可以比较两边的系数来排除一定不对的选项，由于立方项的系数与常数项相对较简单，宜先比较立方项的系数与常数项，由此入手，相对较简．解：比较等式两边x3的系数，得4=4+b1，则b1=1，故排除A，D；再比较等式两边的常数项，有1=1+b1+b2+b3+b4，∴b1+b2+b3+b4=1．故排除B故应选C考点：二项式定理点评：排除法做选择题是一种间接法，适合题目条件较多，或者正面证明、判断较困难的题型．6、D【解题分析】根据题意，记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件，则.∴目标是被甲击中的概率是故选D.7、A【解题分析】

根据进制的转化可判断A，由中位数的概念可判断B，写出逆命题，再判断其真假可判断C.根据全称命题的否定为特称命题，可判断D.【题目详解】A.,故正确.B.样本数据1，6，3，8，4，则中位数为4.故不正确.C.“若，则方程”的逆命题为:“方程,则”，为假命题，故不正确.D.若命题：，.则：，，故不正确.故选：A【题目点拨】本题考查了进制的转化、逆命题，中位数以及全称命题的否定，属于基础题.8、D【解题分析】

根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项的充分性和必要性，判断得到答案.【题目详解】当时，可以，或，或相交，不充分，错误；当时，可以，或，或相交，不充分，错误；当时，不能得到，错误；当，时，则，充分性；当时，，故，与关系不确定，故不必要，正确；故选：.【题目点拨】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，充分条件，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.9、A【解题分析】按性别分层抽样男生女生各抽4人和2人；从8名女生中抽4人的方法为种；，4名男生中抽2人的方法为种；所以按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为故选A10、C【解题分析】

根据独立性检验的基本思想判断得解.【题目详解】因为，根据表可知；选C.【题目点拨】本题考查独立性检验的基本思想，属于基础题.11、C【解题分析】

根据已知求出，再求.【题目详解】因为，故，从而.故选C【题目点拨】本题主要考查诱导公式和同角的三角函数关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.12、B【解题分析】

设曲线上任意一点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式可得出曲线上的点到直线的距离的最小值.【题目详解】设曲线上任意一点的坐标为，所以，曲线上的一点到直线的距离为，当时，取最小值，且，故选：B.【题目点拨】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

通过表示，再利用可计算出，再计算出可得答案.【题目详解】由于M，N分别是边AD，BC的中点，故，，所以，所以，所以，而，所以，即，故，故答案为【题目点拨】本题主要考查向量的基底表示，数量积运算，意在考查学生的空间想象能力，运算能力，逻辑分析能力，难度较大.14、【解题分析】分析：由对数运算和换底公式，求得的关系为，根据基本不等式确定详解：因为，所以，所以，即所以当且仅当，即，此时时取等号所以最小值为点睛：本题考查了对数的运算和对数换底公式的综合应用，根据“1”的代换联系基本不等式求最值，综合性强，属于中档题．15、6【解题分析】

根据题意作出图形，用正弦定理解出角，可得刚好构成直角三角形，可得答案.【题目详解】根据题意作出图形，如图.设向正东方向走千米到处，然后向南偏西的方向走3千米到处.即,由正弦定理得：.所以又,所以.所以，则.所以.则.故答案为：6【题目点拨】本题考查了正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16、【解题分析】

先根据的单调性求出的值域A，分类讨论求得的值域B，再将条件转化为A，进行判断求解即可．【题目详解】是上的递减函数，∴的值域为，令A=，令的值域为B，因为对任意都有使得，则有A，而，当a=0时，不满足A；当a>0时，，∴解得；当a<0时，，∴不满足条件A,综上得.故答案为.【题目点拨】本题考查了函数的值域及单调性的应用，关键是将条件转化为两个函数值域的关系，运用了分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

试题分析：（1）当时，，从而，再根据函数为偶函数可得在上的解析式，进而可得在上的解析式．（2）将问题转化为处理．由于为偶函数，故只可求出当时的最小值即可，可得．又，由，得，即为所求．试题解析：（1）设，则，∴，∵定义在偶函数，∴∴．（2）由题意得“对任意，都有成立”等价于“”．又因为是定义在上的偶函数.所以在区间和区间上的值域相同.当时，.设，则令，则当时，函数取得最小值，所以．又由，解得，因此实数的取值范围为.点睛：（1）利用偶函数的性质可求函数的解析式，对于偶函数的值域根据其对称性只需求在y轴一侧的值域即可，体现了转化的思想在解题中的应用．（2）本题中，将“对任意，都有成立”转化为“”来处理，是数学中常用的解题方法，这一点要好好体会和运用．（3）形如的函数的值域问题，可根据换元法转化为二次函数的值域问题求解．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）直接利用极化直的公式化简得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，再根据求出直线的斜率.【题目详解】解：（Ⅰ）由，，，得即所求曲线的直角坐标方程为：（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得由是的中点知，即所以直线的斜率为.【题目点拨】本题主要考查极直互化，考查直线参数方程t的几何意义解题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19、(1).(2).【解题分析】分析：（1）根据极坐标和直角坐标方程的转化，可直接求得直角坐标方程。（2）将直线参数方程转化为极坐标方程，将代入曲线C和直线方程，求得两个值，根据即可求出m的值。详解：（1）∵，∴，∴，故曲线的直角坐标方程为.（2）由（为参数）得，故直线（为参数）的极坐标方程为.将代入得，将代入，得，则，∴.点睛：本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程的转化应用，主要是记住转化的公式，属于简单题。20、（）证明见解析；（）；（）.【解题分析】试题分析：（1）当时，的定义域关于原点对称，而，说明为偶函数；（2）在上任取、，且，则恒成立，等价于恒成立，可求得的取值范围；（3）先证明不等式恒成立，等价于，即恒成立，利用配方法求得的最大值，即可得结果.试题解析：（）当时，，定义域关于原点对称，而，说明为偶函数．（）在上任取、，且，则，因为，函数为增函数，得，