2024届四川省简阳市数学高二下期末质量检测试题含解析

2024届四川省简阳市数学高二下期末质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价单位：元和销售量单位：件之间的四组数据如表：售价x46销售量y1211109为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性回归方程，那么方程中的a值为A．17 B． C．18 D．2．已知命题，则命题的否定为()A． B．C． D．3．函数在上单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知函数，若将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则下列结论中不正确的是A． B．是图象的一个对称中心C． D．是图象的一条对称轴5．将偶函数的图象向右平移个单位长度后，得到的曲线的对称中心为（）A． B．C． D．6．已知全集U=R，集合A=xxx+2<0，A．-2,1 B．-1,0C．(-2,-1]∪[0,1] D．(0,1)7．已知三角形的面积是，，，则b等于()A．1 B．2或1 C．5或1 D．或18．为自然对数的底数，已知函数，则函数有唯一零点的充要条件是（）A．或或 B．或C．或 D．或9．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为3，则判断框中填入的条件可以是（）A． B． C． D．10．已知函数，如果函数在定义域为(0, +∞)只有一个极值点，则实数的取值范围是A． B． C． D．11．某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖，按照这样的规则摸奖，中奖的概率为（）A． B． C． D．12．三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，Q是BC边上的一个动点，且直线PQ与面ABC所成角的最大值为则该三棱锥外接球的表面积为()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是__________.14．已知（1）正方形的对角线相等；（2）平行四边形的对角线相等；（3）正方形是平行四边形．由（1）、（2）、（3）组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是________15．已知函数，且过原点的直线与曲线相切，若曲线与直线轴围成的封闭区域的面积为，则的值为__________．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数对任意实数都有，且.（I）求的值，并猜想的表达式；（II）用数学归纳法证明（I）中的猜想.18．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点.（1）当时，求两点的极坐标；（2）设，求的值.19．（12分）（江苏省南通市高三最后一卷---备用题数学试题）已知函数，其中.（1）当时，求函数处的切线方程；（2）若函数存在两个极值点，求的取值范围；（3）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）已知点A是椭圆的上顶点，斜率为的直线交椭圆E于A、M两点，点N在椭圆E上，且；（1）当时，求的面积；（2）当时，求证：.21．（12分）已知函数（其中）．（Ⅰ）当时，证明：当时，；（Ⅱ）若有两个极值点.（i）求实数的取值范围；（ii）证明：.22．（10分）已知数列满足．（1）求；（2）求数列的前n项和；（3）已知是公比q大于1的等比数列，且，，设，若是递减数列，求实数的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

求出样本中心点，代入线性回归方程，即可求出a的值．【题目详解】由题意，，，线性回归方程，，．故选：B．【题目点拨】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．2、D【解题分析】分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得结果.详解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为，故选D.点睛：本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3、C【解题分析】

先由函数是奇函数求出，化原不等式为，再由函数的单调性，即可得出结果.【题目详解】因为为奇函数，若，则，所以不等式可化为，又在上单调递减，所以，解得.故选C【题目点拨】本题主要考查由函数的单调性与奇偶性解不等式，熟记函数基本性质即可，属于常考题型.4、C【解题分析】函数的图象向右平移个单位，可得,的图象关于轴对称，所以,时可得，故，，不正确，故选C.5、D【解题分析】

根据函数为偶函数求出函数解析式，根据余弦函数的图象和性质求对称轴即可.【题目详解】∵为偶函数，∴，∴．令，得．故选：D【题目点拨】本题主要考查了诱导公式和余弦函数的图象与性质，属于中档题.6、C【解题分析】

先弄清楚阴影部分集合表示的含义，并解出集合A、B，结合新定义求出阴影部分所表示的集合。【题目详解】由题意知，阴影部分区域表示的集合S=x集合A=xxx+2A∪B=-2,1，A∩B=因此，阴影部分区域所表示的集合为S=-2,-1∪0,1【题目点拨】本题考查集合的运算、集合的表示法以及集合中的新定义，考查二次不等式以及对数不等式的解法，解题的关键就是要弄清楚Venn图表示的新集合的意义，在计算无限集之间的运算时，可充分利用数轴来理解，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中等题。7、D【解题分析】

由三角形面积公式，计算可得的值,即可得B的值,结合余弦定理计算可得答案.【题目详解】根据题意:三角形的面积是,即,又由，则则或，若则此时则；若,则,此时则；故或.故选：D.【题目点拨】本题考查三角形的面积公式,考查余弦定理在解三角形中的应用,难度较易.8、A【解题分析】

作出函数的图像如图所示，其中，则，设直线与曲线相切，则，即，设，则，当时，，分析可知，当时，函数有极大值也是最大值，，所以当时，有唯一解，此时直线与曲线相切．分析图形可知，当或或时，函数的图像与函数的图像只有一个交点，即函数有唯一零点．故选.【题目点拨】本小题主要考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的处理方法，考查利用导数求相切时斜率的方法，考查数形结合的数学思想方法.首先画出函数的图象，分段函数的图象注意分界点的位置是实心的函数空心的.然后将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点来解决.9、B【解题分析】

模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件．【题目详解】程序运行中，变量值变化如下：，判断循环条件，满足，，判断循环条件，满足，……，，判断循环条件，满足，，，判断循环条件，这里应不满足，输出．故条件为．判断框中填入，故选：B.【题目点拨】本题考查程序框图，解题时可模拟程序运行，根据输出结论确定循环条件．10、C【解题分析】分析：求函数的导函数，并化简整理，结合函数在定义域为(0, +∞)只有一个极值点进行讨论即可.详解：函数的定义域为(0, +∞)①当时，恒成立，令，则，即在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极小值，符合题意；②当时，时，又函数在定义域为(0, +∞)只有一个极值点，在处取得极值.从而或恒成立，构造函数，，设与相切的切点为，则切线方程为，因为切线过原点，则，解得，则切点为此时.由图可知：要使恒成立，则.综上所述：.故选：C.点睛：导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．11、B【解题分析】

可将中奖的情况分成第一次两球连号和第二次取出的小球与第一次取出的号码相同两种情况，分别计算两种情况的概率，根据和事件概率公式可求得结果.【题目详解】中奖的情况分为：第一次取出两球号码连号和第二次取出两个小球与第一次取出的号码相同两种情况第一次取出两球连号的概率为：第二次取出两个小球与第一次取出号码相同的概率为：中奖的概率为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查和事件概率问题的求解，关键是能够根据题意将所求情况进行分类，进而通过古典概型和积事件概率求解方法求出每种情况对应的概率.12、C【解题分析】

根据题意画出图形，结合图形找出△ABC的外接圆圆心与三棱锥P﹣ABC外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．【题目详解】三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直线PQ与平面ABC所成角为θ，如图所示；则sinθ==，且sinθ的最大值是，∴（PQ）min=2，∴AQ的最小值是，即A到BC的距离为，∴AQ⊥BC，∵AB=2，在Rt△ABQ中可得，即可得BC=6；取△ABC的外接圆圆心为O′，作OO′∥PA，∴=2r，解得r=2；∴O′A=2，取H为PA的中点，∴OH=O′A=2，PH=，由勾股定理得OP=R==，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是S=4πR2=4×=57π．故答案为C【题目点拨】本题主要考查正弦定理和线面位置关系，考查了几何体外接球的应用问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键求外接球的半径．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

设大铅球的半径为，则，求出，由此能求出这个大铅球的表面积．【题目详解】解：设大铅球的半径为，

则，

解得，

∴这个大铅球的表面积

故答案为：．【题目点拨】本题考查球的表面积的求法，考查球的体积、表面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14、正方形的对角线相等【解题分析】分析：三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理.在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中“平行四边形的对角线相等”，含有小项的前提叫小前提，如本例中的“正方形是平行四边形”，另外一个就是结论.详解：由演绎推理三段论可得，本例中的“平行四边形的对角线相等”是大前提，本例中的“正方形是平行四边形”是小前提，则结论为“正方形的对角线相等”，所以答案是：正方形的对角线相等.点睛：该题考查的是有关演绎推理的概念问题，要明确三段论中三段之间的关系，分析得到大前提、小前提以及结论是谁，从而得到结果.15、【解题分析】分析：先根据导数几何意义求切点以及切线方程，再根据定积分求封闭区域的面积，解得的值.详解：设切点，因为，所以所以当时封闭区域的面积为因此，当时，同理可得，即点睛：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．16、π【解题分析】依题意，由正弦定理得sinAcosB-sinBcosA=12三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）；（II）证明见解析.【解题分析】

（I）根据的值猜想的表达式；（II）分和两步证明.【题目详解】（I），，，，猜想.（II）证明：当时，，猜想成立；假设时，猜想成立，即，则当时，，即当时猜想成立.综上，对于一切均成立.【题目点拨】本题考查抽象函数求值与归纳猜想.18、(1)，(2)【解题分析】

将曲线化为极坐标方程，联立求出两点的极坐标联立直线参数方程与曲线的普通方程，运用根与系数之间关系求出结果【题目详解】（1）曲线的普通方程，化为极坐标方程为与联立，得，又∵，∴或∴两点的极坐标分别为，（2）直线的普通方程为化为参数方程为（为参数）①曲线的普通方程为②把①代入②，得整理得，∴∴【题目点拨】需要运用公式将普通方程与极坐标方程和参数方程之间的转化，在求解长度问题时，运用参数方程来解答会降低计算量。19、(1).(2).(3).【解题分析】

（1）首先将代入函数解析式，求出函数的导数，求出函数的切线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，化简求得结果；（2）求出函数的导数，利用函数存在两个极值点，是方程的两个不等正根，韦达定理得到关系，将化为关于的函数关系式，利用导数求得结果；（3）将恒成立问题应用导数来研究，分类讨论，求得结果.【题目详解】（1）当时，，故，且，故所以函数在处的切线方程为（2）由，可得因为函数存在两个极值点，所以是方程的两个不等正根，即的两个不等正根为所以，即所以令，故，在上单调递增，所以故得取值范围是（3）据题意，对任意的实数恒成立，即对任意的实数恒成立.令，则①若，当时，，故符合题意；②若，（i）若，即，则，在上单调赠所以当时，，故符合题意；（ii）若，即，令，得（舍去），，当时，，在上单调减；当时，，在上单调递增，所以存在，使得，与题意矛盾，所以不符题意.③若，令，得当时，，在上单调增；当时，，在上单调减.首先证明：要证：，即要证：，只要证：因为，所以，故所以其次证明，当时，对任意的都成立令，则，故在上单调递增，所以，则所以当时，对任意的都成立所以当时，即，与题意矛盾，故不符题意，综上所述，实数的取值范围是.【题目点拨】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有导数的几何意义，应用导数研究函数的极值点，应用导数研究不等式恒成立问题，涉及到的解题思想是分类讨论，注意思路清晰是解题的关键.20、（1）（2）证明见解析【解题分析】

（1）由椭圆对称性确定直线斜率为1，斜率为-1，求出点坐标后可得三角形面积；（2）由直线方程为求得点坐标（横坐标即可），得，同理得（直线斜率为），利用得的方程，利用函数的知识（导数）证明此方程的解在区间上．【题目详解】（1）由椭圆对称性知点M、N的纵坐标相等，横坐标互为相反数，且，由题意，，方程为，于是可以设点其中，于是，解得，所以.（2）据题意，直线，联立椭圆E，得：，即：，则，那么，同理，知：，由，得：，即：.令，则，所以单调增，又，，故存在唯一零点，即.【题目点拨】本题考查直线与椭圆相交中的三角形面积，考查求直线方程．解题方法是求出直线与椭圆的交点坐标，得出弦长，由弦长关系得关系式．本题考查了运算求解能力．21、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（i）（ii）见解析【解题分析】

（Ⅰ）将代入解析式，并求得导函数及，由求得极值点并判断出单调性，并根据单调性可求得的最小值，由即可证明在上单调递增，从而由即可证明不等式成立；（Ⅱ）（i）由极值点意义可知有两个不等式实数根，分离参数可