2024届江西省南昌五校数学高二第二学期期末预测试题含解析

2024届江西省南昌五校数学高二第二学期期末预测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知某批零件的长度误差（单位）服从正态分布，若，，现从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率（）A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.31742．下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是（）A． B． C． D．3．设锐角的三个内角的对边分别为且，，则周长的取值范围为（）A． B． C． D．4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a7+a9＝21，则S13＝（）A．36 B．72 C．91 D．1825．用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程没有实根B．方程至多有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根6．在某次试验中，实数的取值如下表：013561.35.67.4若与之间具有较好的线性相关关系，且求得线性回归方程为，则实数的值为（）A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.97．若函数在定义域内单调，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．函数的部分图象可能是（）A． B．C． D．9．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是A． B．C． D．10．已知函数，函数有四个不同的零点、、、，且满足:，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（）A． B．C． D．12．用反证法证明：“实数中至少有一个不大于0”时，反设正确的是（）A．中有一个大于0 B．都不大于0C．都大于0 D．中有一个不大于0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为__________（用数字作答）14．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.15．二项式的展开式中含项的系数为____16．已知复数z满足（1+2i）•（1+z）＝﹣7+16i，则z的共轭复数_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时,对于任意正实数，不等式恒成立，试判断实数的大小关系.18．（12分）已知函数，且当时，取得极值为.（1）求的解析式；（2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.19．（12分）如图,在四棱锥S-ABCD中，平面，底面ABCD为直角梯形，,,且（Ⅰ）求与平面所成角的正弦值.（Ⅱ）若E为SB的中点，在平面内存在点N，使得平面，求N到直线AD,SA的距离.20．（12分）有名学生排成一排，求分别满足下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果.（1）甲不在两端；（2）甲、乙相邻；（3）甲、乙、丙三人两两不得相邻；（4）甲不在排头，乙不在排尾。21．（12分）《厉害了，我的国》这部电影记录：到2017年底，我国高铁营运里程达2.5万公里，位居世界第一位，超过第二名至第十名的总和，约占世界高铁总量的三分之二.如图是我国2009年至2017年高铁营运里程（单位：万公里）的折线图.根据这9年的高铁营运里程，甲、乙两位同学分别选择了与时间变量的两个回归模型①：；②.（1）求，（精确到0.01）；（2）乙求得模型②的回归方程为，你认为哪个模型的拟合效果更好？并说明理由.附：参考公式：，，.参考数据：1.3976.942850.220.093.7222．（10分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）求函数在上的最大值和最小值；

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

，由此可得答案．【题目详解】解：由题意有，故选：B．【题目点拨】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．2、D【解题分析】

由奇函数和偶函数图象的对称性，根据的图象和的定义域便可判断出错误，而由的单调性便可判断选项错误，从而得出正确．【题目详解】选项：根据的图象知该函数非奇非偶，可知错误；选项：的定义域为，知该函数非奇非偶，可知错误；选项：时，为增函数，不符合题意，可知错误；选项：，可知函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在上单调递减，可知正确.本题正确选项：【题目点拨】本题考查奇函数和偶函数图象的对称性，函数单调性的问题，属于基础题．3、C【解题分析】因为△为锐角三角形，所以，，，即，，，所以，；又因为，所以，又因为，所以；由，即，所以，令，则，又因为函数在上单调递增，所以函数值域为，故选C点睛：本题解题关键是利用正弦定理实现边角的转化得到周长关于角的函数关系，借助二次函数的单调性求最值，易错点是限制角的取值范围.4、C【解题分析】

根据等差数列的性质求出,根据等差数列的前项和公式可得.【题目详解】因为{an}为等差数列,所以,所以,所以.故选C.【题目点拨】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前项和.属于基础题.5、A【解题分析】分析：反证法证明命题时，假设结论不成立．至少有一个的对立情况为没有．故假设为方程没有实根．详解：结论“方程至少有一个实根”的假设是“方程没有实根．”点睛：反证法证明命题时，应假设结论不成立，即结论的否定成立．常见否定词语的否定形式如下：结论词没有至少有一个至多一个不大于不等于不存在反设词有一个也没有至少两个大于等于存在6、D【解题分析】

根据表中数据求得，代入回归直线方程即可求得结果.【题目详解】由表中数据可知：，又，解得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查利用回归直线求解数据的问题，关键是明确回归直线恒过点，属于基础题.7、A【解题分析】

采用等价转化的思想，可得在恒成立，然后分离参数，对新函数的值域与比较，可得结果.【题目详解】，依题意可得：函数在定义域内只能单调递增，恒成立，即恒成立，，，故选：A【题目点拨】本题考查根据函数单调性求参数范围，熟练使用等价转化以及分离参数的方法，属基础题.8、A【解题分析】

考查函数的定义域、在上的函数值符号，可得出正确选项.【题目详解】对于函数，，解得且，该函数的定义域为，排除B、D选项.当时，，，则，此时，，故选：A.【题目点拨】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点、函数值符号进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9、C【解题分析】

根据且，可依次排除，从而得到答案.【题目详解】由图象知，且中，，不合题意；中，，不合题意；中，，不合题意；本题正确选项：【题目点拨】本题考查函数图象的识别，常用方法是利用排除法得到结果，排除时通常采用特殊位置的符号来进行排除.10、D【解题分析】

作出函数的图象，可得出当直线与函数的图象有四个交点时的取值范围，根据图象得出，，并求出实数的取值范围，将代数式转化为关于的函数，利用双勾函数的基本性质求出的取值范围.【题目详解】作出函数的图象如下图所示：由图象可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，由于二次函数的图象关于直线对称，则，又，由题意可知，，，，可得，，由，即，解得.，令，则，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，当时，，当时，，所以，，因此，的取值范围是，故选：D.【题目点拨】本题考查函数零点的取值范围，解题时要充分利用图象的对称性以及对数的运算性质得出一些定值条件，并将所求代数式转化为以某个变量为自变量的函数，转化为函数值域求解，考查化归与转化思想、函数方程思想的应用，属于中等题.11、D【解题分析】

本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【题目详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【题目点拨】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.12、C【解题分析】

根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而要证明题的否定为：“都大于0”，从而得出结论．【题目详解】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题：“实数中至少有一个不大于0”的否定为“都大于0”，故选：．【题目点拨】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

通过先分析个位数字的可能，再排列十位和千位即得答案.【题目详解】根据题意，个位数字是1,3,5共有3种可能，由于还剩下4个数字，排列两个位置故可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为,故答案为36.【题目点拨】本题主要考查排列组合相关知识，难度不大.14、1【解题分析】试题分析：利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB的概率，然后直接利用条件概率公式求解．解：P（A）=，P（AB）=．由条件概率公式得P（B|A）=．故答案为．点评：本题考查了条件概率与互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于对条件概率的理解与公式的运用，属中档题．15、【解题分析】分析：根据二项式定理的通项公式，写出的系数．详解：所以，当时，所以系数为．点睛：项式定理中的具体某一项时，写出通项的表达式，使其满足题目设置的条件．16、4﹣6i【解题分析】

根据复数的乘除法运算法则求得复数，再根据共轭复数的概念可得答案.【题目详解】由（1+2i）•（1+z）＝﹣7+16i，得，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查了复数的乘除法运算法则，考查了共轭复数的概念，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)当时增；减；当时减；增；(2)【解题分析】

（1）求出函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调性；（2）设，求导数判断函数的单调性，求出函数的极值，转化为，即可求解.【题目详解】（1）由题意，函数，则，令，解得，当时，在上，，函数单调递增；在上，，函数单调递减.当时，在上，，函数单调递减；在上，，函数单调递增.综上可得：当时，函数在单调递增，在单调递减；当时，函数在单调递减，在单调递增.（2）当时，设则，令，即，解得，当时，，即单调递增，当时，，即单调递减，所以，要使得不等式恒成立，只需，即，所以，故实数的大小关系为.【题目点拨】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．18、（1）（2）【解题分析】分析：(1)先根据导数几何意义得，再与函数值联立方程组解得的解析式；(2)先化简方程得，再利用导数研究函数在上单调性，结合函数图像确定条件，解得结果.详解：（1），由题意得，，即，解得，∴.（2）由有两个不同的实数解，得在上有两个不同的实数解，设，由，由，得或，当时，，则在上递增，当时，，则在上递减，由题意得，即，解得，点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）N到直线AD,SA的距离分别为1,1.【解题分析】

（Ⅰ）以点A为原点，以AD所在方向为x轴，以AS所在方向为z轴，以AB所在方向为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量方法求与平面所成角的正弦值；（Ⅱ））设，再根据已知求出x,z,再求出N到直线AD,SA的距离.【题目详解】解：（I）以点A为原点，以AD所在方向为x轴，以AS所在方向为z轴，以AB所在方向为y轴，建立空间直角坐标系，D(1,0,0),S(0,0,2),,,,设平面的一个法向量为则由设与平面所成角为，则.（II）设,S(0,0,2),B(0,2,0),E(0,1,1),由故N到直线AD,SA的距离分别为1,1.【题目点拨】本题主要考查线面角的求法，考查点到直线距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20、（1）30240（2）10080（3）14400（4）30960【解题分析】

（1）先把甲安排到中间6个位置的一个，再对剩下位置全排列；（2）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列；（3）把甲乙丙3人插入到另外5人排列后所形成的6个空中的三个空，结合公式求解；（4）可采用间接法得到；【题目详解】（1）假设8个人对应8个空位，甲不站两端，