2024届山东省济南市济钢高级中学数学高二下期末学业水平测试试题含解析

2024届山东省济南市济钢高级中学数学高二下期末学业水平测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若不等式|ax+2|＜6的解集为（﹣1，2），则实数a等于（）A．8 B．2 C．﹣4 D．﹣82．圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是（）A． B． C． D．3．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①是周期函数；②三角函数是周期函数；③是三角函数A．②③① B．②①③ C．①②③ D．③②①4．已知直线经过抛物线的焦点，与交于两点，若，则的值为（）A． B． C．1 D．25．直线与曲线所围成的曲边梯形的面积为（）A．9 B． C． D．276．函数的所有零点的积为m，则有（）A． B． C． D．7．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．150 B．200 C．300 D．4008．已知，命题“若”的否命题是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则9．展开式的常数项为（）A．112 B．48 C．-112 D．-4810．圆ρ=8sinθ的圆心到直线A．2 B．3 C．2 D．211．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为3，点是侧面的两条对角线的交点，则直线与底面所成角的正切值为（）A． B． C． D．112．等差数列的前项和是，且，，则（）A．39 B．91 C．48 D．51二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为__________．14．设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有________种.15．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a＝________.16．某大学宿舍三名同学，，，他们来自北京、天津、上海三个不同的城市，已知同学身高比来自上海的同学高；同学和来自天津的同学身高不同；同学比来自天津的同学高，则来自上海的是________同学.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图所示，球的表面积为，球心为空间直角坐标系的原点，且球分别与轴的正交半轴交于三点，已知球面上一点.（1）求两点在球上的球面距离；（2）过点作平面的垂线，垂足，求的坐标，并计算四面体的体积；（3）求平面与平面所成锐二面角的大小.18．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.19．（12分）已知函数的最小值为.（1）若，求证：；（2）若，，求的最小值.20．（12分）已知数列，…的前项和为.（1）计算的值，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的表达式.21．（12分）“DD共享单车”是为城市人群提供便捷经济、绿色低碳的环保出行方式，根据目前在三明市的投放量与使用的情况，有人作了抽样调查，抽取年龄在二十至五十岁的不同性别的骑行者，统计数据如下表所示：男性女性合计20～35岁4010036～50岁4090合计10090190(1)求统计数据表中的值；(2)假设用抽到的100名20～35岁年龄的骑行者作为样本估计全市的该年龄段男女使用“DD共享单车”情况，现从全市的该年龄段骑行者中随机抽取3人，求恰有一名女性的概率；(3)根据以上列联表，判断使用“DD共享单车”的人群中，能否有的把握认为“性别”与“年龄”有关，并说明理由.参考数表：参考公式：，.22．（10分）如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA＝2km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P（点P不与A，B重合），并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P．当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA＝，公路MB，MN的总长为．（1）求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）当为何值时，投资费用最低？并求出的最小值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

利用不等式的解集和对应方程的根的关系来求解.【题目详解】因为的解集为，所以和是方程的根，所以解得.故选：C.【题目点拨】本题主要考查绝对值不等式的解法，明确不等式的解集和对应方程的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.2、C【解题分析】分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解的位置，推出结果即可.详解：圆锥底面半径为，高为2，是一条母线，点是底面圆周上一点，在底面的射影为；，，过的轴截面如图：，过作于，则，在底面圆周，选择，使得，则到的距离的最大值为3，故选：C点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题．3、A【解题分析】

根据“三段论”的排列模式：“大前提”“小前提”“结论”，分析即可得到正确的顺序.【题目详解】根据“三段论”的排列模式：“大前提”“小前提”“结论”，可知：①是周期函数是“结论”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③是三角函数是“小前提”；故“三段论”模式排列顺序为②③①.故选：A【题目点拨】本题考查了演绎推理的模式，需理解演绎推理的概念，属于基础题.4、B【解题分析】试题分析：因为抛物线的焦点为，则由题意，得①．又由，得，所以②，由①②得，故选B．考点：1、直线与抛物线的位置关系；2、弦长公式．5、A【解题分析】直线x=0,x=3,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积为：.本题选择A选项.6、B【解题分析】

作函数y=e-x与y=|log2x|的图象，设两个交点的坐标为（x1，y1），（x2，y2）（不妨设x1＜x2），得到0＜x1＜1＜x2＜2，运用对数的运算性质可得m的范围．【题目详解】令f（x）=0，即e-x=|log2x|，

作函数y=e-x与y=|log2x|的图象，

设两个交点的坐标为（x1，y1），（x2，y2）

（不妨设x1＜x2），

结合图象可知，0＜x1＜1＜x2＜2，

即有e-x1=-log2x1，①

e-x2=log2x2，②

由-x1＞-x2，

②-①可得log2x2+log2x1＜0，

即有0＜x1x2＜1，

即m∈（0，1）．

故选：B．【题目点拨】本题考查指数函数和对数函数的图象，以及转化思想和数形结合的思想应用，属于中档题．7、C【解题分析】

求出，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数．【题目详解】∵，，所以，所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为．故选C．【题目点拨】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．8、A【解题分析】

根据否命题的定义：即否定条件又否定结论，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是“若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3”故选A9、D【解题分析】

把按照二项式定理展开，可得的展开式的常数项．【题目详解】由于故展开式的常数项为，故选D．【题目点拨】本题考查二项式定理的应用，考查了二项式展开式，属于基础题.10、C【解题分析】

先把圆和直线的极坐标方程化成直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式求解.【题目详解】由ρ=8sinθ得x2+y直线tanθ=3的直角坐标方程为所以圆心到直线3x-y=0的距离为0-4故选：C【题目点拨】本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11、C【解题分析】

通过作DH垂直BC，可知为直线与底面所成角，于是可求得答案.【题目详解】如图，过D作DH垂直BC于点H，连接DH，AH，于是DH垂直平面ABC，故为直线与底面所成角，而，,故，故选C.【题目点拨】本题主要考查线面角的相关计算，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度一般.12、B【解题分析】解：由题意结合等差数列的通项公式有：，解得：，数列的前13项和：.本题选择B选项.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离为d，即3k2≤4k，∴0≤k≤，故可知参数k的最大值为.14、【解题分析】试题分析：若集合中分别有一个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有三个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有四个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有三个元素，则选法种数有种；若集合中有三个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；若集合中有三个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有四个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；总计有种．故答案应填：．考点：组合及组合数公式．【方法点睛】解法二：集合中没有相同的元素，且都不是空集，从个元素中选出个元素，有种选法，小的给集合，大的给集合；从个元素中选出个元素，有种选法，再分成两组，较小元素的一组给集合，较大元素的一组给集合，共有种方法；从个元素中选出个元素，有种选法，再分成两组，较小元素的一组给集合，较大元素的一组给集合，共有种方法；从个元素中选出个元素，有种选法，再分成两组，较小元素的一组给集合，较大元素的一组给集合，共有种方法；总计为种方法．根据题意，中最小的数大于中最大的数，则集合中没有相同的元素，且都不是空集，按中元素数目这和的情况，分种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，进而区别运用，考查分类讨论的数学思想，属于压轴题．15、1【解题分析】由双曲线可知a>0，且焦点在x轴上，根据题意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．故实数a＝1.点睛：如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．16、A【解题分析】

根据题意确定天津的同学，再确定上海的同学即可【题目详解】由于同学，同学都与同学比较，故同学来自天津；同学比来自天津的同学高，即比同学高；而同学身高比来自上海的同学高，故来自上海的是同学【题目点拨】本题考查三者身份推理问题，总会出现和两个人都有关系的第三方，确定其身份是解题关键三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）.【解题分析】分析：（1）根据题意求出，即可得到两点在球上的球面距离；（2）根据题意，可证与重合，利用向量可求，求出的面积，即可得到四面体的体积；（3）利用空间向量可求面与平面所成锐二面角的大小..详解：（1），，，∴∴，∴，两点在球上的球面距离；（2），面，，，∴，∴，∴与重合，∴，的面积，则四面体的体积.（3）设平面的法向量，得得平面的法向量，设两法向量夹角，，所以所成锐二面角的大小为.点睛：本题考查球面距离，几何体的体积，利用空间向量求二面角的大小，属中档题.18、（1）的普通方程为：，的直角坐标方程为：（2）的最小值为，此时的直角坐标为【解题分析】

（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案.（2）最小值为点到直线的距离，,再根据三角函数求最值.【题目详解】（1）：，化简：.：，由，，化简可得：.所以的普通方程为：，的直角坐标方程为：；（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，即为到的距离的最小值，利用三角函数性质求得最小值.，其中，，当且仅当，时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.【题目点拨】本题考查了参数方程，极坐标方程，利用三角函数求最小值可以简化运算.19、（1）见解析；（2）4【解题分析】

试题分析：（1）由绝对值三角不等式得，从而，要证明，只需证明，作差即可得证；（2）由题意，，展开后，利用基本不等式求解即可.试题解析：（1）.要证明，只需证明，∵，∵，∴，∴，∴，可得.（2）由题意，，故，当且仅当，时，等号成立.20、（1），（2）见解析【解题分析】分析：（1）计算可求得，由此猜想的表达式；

（2）利用数学归纳法，先证明当时，等式成立，再假设当时，等式成立，即，去证明当时，等式也成立即可．详解：（I）猜想（II）①当时，左边=，右边=，猜想成立．②假设当时猜想成立，即，那么，所以，当时猜想也成立．根据①②可知，猜想对任何都成立．点睛：本题考查归纳推理的应用，着重考查数学归纳法，考查运算推理能力，属于中档题．21、(1)，.(2)；(3)答案见解析.【解题分析】试题分析：(