2024届安徽省无为县开城中学高二数学第二学期期末综合测试试题含解析

2024届安徽省无为县开城中学高二数学第二学期期末综合测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（）A． B． C． D．2．已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为，其展开式中的常数项为，则（）A． B． C． D．3．大学生小红与另外3名大学生一起分配到乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小红恰好分配到甲村小学的方法数为（）A．3 B．18 C．12 D．64．计算：（）A． B． C． D．5．如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（）A．4 B．3 C． D．6．已知函数f(x)=lnx+ln(a-x)的图象关于直线A．0 B．1 C．lna D．7．复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知a>0，b>－1，且a＋b＝1，则的最小值为()A． B． C． D．9．己知，则向量与的夹角为.A．30 B．60 C．120 D．150.10．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）．A． B．C． D．11．对于问题：“已知x,y,z是互不相同的正数，求证：三个数x+1A．x+1z,y+1C．x+1z,y+112．等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．复数的虚部是．14．在二项式展开式中，第五项为________.15．如图所示的数表为“森德拉姆筛”（森德拉姆，东印度学者），其特点是每行每列都成等差数列.在此表中，数字“121”出现的次数为___________.234567……35791113……4710131619……5913172125……61116212631……71319253137…………16．展开二项式，其常数项为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）函数，，实数为常数.（I）求的最大值；（II）讨论方程的实数根的个数.18．（12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，统计结果如下表所示，已知这100位顾客中一次购物量超过7件的顾客占.一次购物量1至3件4至7件8至11件12至15件16件及以上顾客数（人）272010结算时间（/人）0.511.522.5（1）确定，的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；（2）从收集的结算时间不超过的顾客中，按分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人的结算时间为的概率.（注：将频率视为概率）19．（12分）已知抛物线：上一点到其准线的距离为1．（1）求抛物线的方程；（1）如图，，为抛物线上三个点，，若四边形为菱形，求四边形的面积．20．（12分）一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球．如果不放回的依次取出2个球．回答下列问题：(Ⅰ)第一次取出的是黑球的概率；(Ⅱ)第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率；(Ⅲ)在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率．21．（12分）已知过点且圆心在直线上的圆与轴相交于两点，曲线上的任意一点与两点连线的斜率之积为．（1）求曲线的方程；（2）过原点作射线，分别平行于，交曲线于两点，求的取值范围．22．（10分）如图，在平行四边形中，，将沿对角线折起，折后的点变为，且．(Ⅰ)求证：平面平面；(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅲ）E为线段上的一个动点，当线段的长为多少时，与平面所成的角正弦值为？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】由题．又对应复平面的点在第四象限，可知，解得．故本题答案选．2、C【解题分析】

二项展开式的二项式系数和为，可得，使其通项公式为常数项时，求得，从而得到关于的方程.【题目详解】展开式中各项的二项式系数和为，，得，，当时，，解得：.【题目点拨】求二项式定理展开式中各项系数和是用赋值法，令字母都为1；而展开式各项的二项式系数和固定为.3、C【解题分析】

分两种情况计算：有一人和小红同地，无人与小红同地.【题目详解】大学生小红与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，每个村小学至少分配1名大学生，分两种情况计算：有一人和小红同地，无人与小红同地.小红恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数.故选：C【题目点拨】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4、B【解题分析】

直接利用组合数公式求解即可．【题目详解】由组合数公式可得.故选：B.【题目点拨】本题考查组合数公式的应用，是基本知识的考查．5、A【解题分析】

由条件可得，【题目详解】因为函数的图象在点P处的切线方程是所以，所以4故选：A【题目点拨】本题考查的是导数的几何意义，较简单.6、A【解题分析】

利用对称列方程解得a，从而求出f(1)。【题目详解】由题意得x1+xf所以f(x)=lnx+【题目点拨】本题主要考查了函数对称轴的问题，即在函数上任意两点x1,x2关于直线7、C【解题分析】

直接利用复数代数形式的运算法则化简，再利用复数的几何意义即可求出．【题目详解】，所以在复平面内，复数对应的点的坐标是，位于第三象限，故选C．【题目点拨】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的几何意义．8、A【解题分析】分析：由，且，变形可得利用导数求其最值；详解：，且a＋b＝1，∴．

令，解得，此时函数单调递增；令，解得此时函数单调递减．

∴当且仅当时，函数取得极小值即最小值，点睛：本题考查利用导数研究函数的最值，属中档题.9、B【解题分析】

将数量积公式进行转化，可计算，从而可求.【题目详解】因为、，所以，则、，所以，所以，故选：B.【题目点拨】本题考查空间向量的夹角计算，难度较易.无论是平面还是空间向量的夹角计算，都可以借助数量积公式，对其进行变形，先求夹角余弦值，再求夹角.10、D【解题分析】

根据最值计算，利用周期计算，当时取得最大值2，计算，得到函数解析式.【题目详解】由题意可知，因为:当时取得最大值2，所以:，所以:，解得:，因为:，所以:可得，可得函数的解析式:．故选D．【题目点拨】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题11、C【解题分析】

找到要证命题的否定即得解.【题目详解】“已知x，y，z是互不相同的正数，求证：三个数x+1z，y+1x，而它的反面为：三个数x+1z，y+1x，故选：C．【题目点拨】本题主要考查用反证法证明数学命题，命题的否定，属于基础题．12、B【解题分析】∵a1＋a5＝10，a4＝7，∴2a1＋二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】试题分析：因为，，所以，复数的虚部是．考点：复数的代数运算，复数的概念．点评：简单题，复数的除法，要注意分子分母同乘分母的共轭复数，实现分母实数化．14、60【解题分析】

根据二项式的通项公式求解.【题目详解】二项式的展开式的通项公式为：，令，则，故第五项为60.【题目点拨】本题考查二项式定理的通项公式，注意是第项.15、1【解题分析】

第1行数组成的数列是以2为首项，公差为1的等差数列，第列数组成的数列是以为首项，公差为的等差数列，求出通项公式，可求出结果．【题目详解】根据题意，第行第列的数记为．那么每一组与的组合就是表中一个数．

因为第一行数组成的数列是以2为首项，公差为1的等差数列，

所以，

所以第列数组成的数列是以为首项，公差为的等差数列，

所以．

令.

则，则120的正约数有4×2×2=1个.所以121在表中出现的次数为1次故答案为：1．【题目点拨】本题考查归纳推理的应用，涉及行列模型的等差数列应用,和正约数的个数的求解，解题时利用首项和公差写出等差数列的通项公式，运用通项公式求值，16、【解题分析】

利用二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，再代入通项可得出二项式展开式的常数项.【题目详解】二项式展开式的通项为，令，得.所以，二项式展开式的常数项为，故答案为：.【题目点拨】本题考查二项展开式中常数项的计算，解题时要充分利用二项式展开式通项，利用的指数来求解，考查运算求解能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解题分析】

（1）直接对函数进行求导，研究函数的单调性，求最大值；（2）对方程根的个数转化为函数零点个数，通过对参数进行分类讨论，利用函数的单调性、最值、零点存在定理等，判断函数图象与轴的交点个数.【题目详解】（Ⅰ）的导数为.在区间，，是增函数；在区间上，，是减函数.所以的最大值是.（Ⅱ），方程的实数根个数，等价于函数的零点个数..在区间上，，是减函数；在区间上，，是增函数.在处取得最小值.①当时，，没有零点；②当时，有唯一的零点；③当时，在区间上，是增函数，并且.，所以在区间上有唯一零点；在区间上，是减函数，并且，，所以在区间上有唯一零点.综上所述，当时，原方程没有实数根；当时，原方程有唯一的实数根；当时，原方程有两个不等的实数根.【题目点拨】在使用零点存在定理时，证明在某个区间只有唯一的零点，一定要证明函数在该区间是单调的，且两个端点处的函数值相乘小于0；本题对数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等进行综合考查，对解决问题的综合能力要求较高.18、（1），，；（2）【解题分析】

（1）由条件可得，从而可求出，的值，再计算顾客一次购物的结算时间的平均值

（2）结算时间不超过的顾客有45人，则按分层抽样抽取5人，从结算时间为的人中抽取2人，从结算时间为的人中抽取3人，列举出基本事件数，再列举出至少有1人结算时间为所包含基本事件数，用古典概率可求解.【题目详解】解：（1）由已知得，∴，，∴.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，

所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，

顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，

其估计值为.（2）结算时间不超过共有45人，其中结算时间为的有18人，

结算时间为的有27人，

结算时间为的人数：结算时间为的人数，

则按分层抽样抽取5人，从结算时间为的人中抽取人，

从结算时间为的人中抽取人.记抽取结算时间为的2人分别为，，

抽取结算时间为的3人分别为，，，

表示抽取的两人为，，基本事件共有10个：，，，，，，

，，，.记至少有1人结算时间为为事件，包含基本事件共有7个：，，，，，，，∴，故至少有1人结算时间为的概率.【题目点拨】本题考查统计中求平均数和分层抽样以及用古典概率公式计算概率,属于基础题.19、(1)；(1)或【解题分析】

（1）利用点在抛物线上和焦半径公式列出关于的方程组求解即可．（1）设出A,C点的坐标及直线AC,利用设而不求和韦达定理求出AC中点的坐标，然后求出B点的坐标，利用B在抛物线上以及直线BD和直线AC的斜率互为负倒数列出方程组求出B点坐标，然后求出AC的长度，即可求出面积．【题目详解】（1）由已知可得，消去得：，抛物线的方程为（1）设，，菱形的中心当轴，则在原点，，，，菱形的面积，解法一：当与轴不垂直时，设直线方程：，则直线的斜率为消去得：，，∵为的中点∴，点在抛物线上，且直线的斜率为．解得：，，综上，或解法二：设，直线的斜率为，直线的斜率为，可以设直线：消去得：∵，解方程：，解得，，接下去同上．【题目点拨】本题考查了直线与抛物线的位置关系，计算量较大，考查计算能力，属于难题．20、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解题分析】

（Ⅰ）黑球有3个，球的总数为5个，代入概率公式即可；（Ⅱ）利用独立事件的概率公式直接求解即可；（Ⅲ）直接用条件概率公式求解．【题目详解】依题意，设事件A表示“第一次取出的是黑球”，设事件B表示“第二次取出的是白球”（Ⅰ）黑球有3个，球的总数为5个，所以P（A）；（Ⅱ）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为P（AB）；（Ⅲ）在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率为P（B|A）．【题目点拨】本题考查了古典概型的概率公式，考查了事件的相互独立性及条件概率，属于基础题．21、（1）；（2）.【解题分析】分析：（1）先求出圆C的方程，再利用直接法求曲线的方程.(2)设，射线的斜率为，则射线的斜率为,求出，再换元求其取值范围.详解：（1）∵圆过点，，∴圆心在直线上，又圆心在直线