陕西省山阳2022年中考数学五模试卷含解析及点睛

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1,则点C的坐标为（）

J'A

Tv1

A.（5-1）B.（2,-1）C.（1,-73）D.（-1,73）

2.如图，四边形ABCD中，AD/7BC,NB=90。，E为AB上一点，分别以ED,EC为折痕将两个角（NA,ZB）

向内折起，点A,B恰好落在CD边的点F处.若AD=3,BC=5,则EF的值是（）

A

A.V15B.2^/15C.J17D.2历

3.如图，在RSABC中，NACB=90。，AC=BC=1,将绕点A逆时针旋转30。后得到RtAADE,点B经过的路径为

弧BD,则图中阴影部分的面积是（）

E

已BC11

A.--f-----D.—

22

=人的图像上一点，过点P做轴于点Q,若△QP。的面

4.如图，在平面直角坐标系中，P是反比例函数y

X

积为2,则女的值是（）

6.如图，点A、B、C在圆O上，若NOBC=4（）。，则NA的度数为（）

8.下列事件中，必然事件是（）

A.抛掷一枚硬币，正面朝上

B.打开电视，正在播放广告

C.体育课上，小刚跑完1000米所用时间为1分钟

D.袋中只有4个球，且都是红球，任意摸出一球是红球

9.下列计算或化简正确的是（）

A.26+4陵=6石B.V8=4>/2

C.J（—3）2=-3D.扃+石=3

10.二次函数了=⑺2+加+。6、b、c是常数，且a和）的图象如图所示，下列结论错误的是（）

A.4ac<b2B.abc<0C.b+c>3aD.a<b

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.下列说法正确的是.（请直接填写序号）

①“若a>b,则@>2.”是真命题.②六边形的内角和是其外角和的2倍.③函数y=31的自变量的取值范围

CCX

是XN-1.④三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.⑤正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形.

12.满足石<X<如的整数x的值是.

13.有一组数据：3,5,5,6,7,这组数据的众数为.

14.抛物线y=-x^+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-3+方x+c=。的解为.

15.不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、2个绿球和3个黑球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取

出1个球，则它是黑球的概率是.

16.从-2,-1,1,2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于-4小于2的概率是一.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）黄岩某校搬迁后，需要增加教师和学生的寝室数量，寝室有三类，分别为单人间（供一个人住宿），双人

间（供两个人住宿），四人间（供四个人住宿）.因实际需要，单人间的数量在20至3（）之间（包括20和30）,且四人

间的数量是双人间的5倍.

（1）若2018年学校寝室数为64个，以后逐年增加，预计2020年寝室数达到121个，求2018至2020年寝室数量的

年平均增长率；

（2）若三类不同的寝室的总数为121个，则最多可供多少师生住宿？

18.（8分）为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行

市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计

图.

种类ABCDE

出行方式共享单车步行公交车的士私家车

（1）参与本次问卷调查的市民共有人，其中选择B类的人数有人；

（2）在扇形统计图中，求A类对应扇形圆心角a的度数，并补全条形统计图；

（3）该市约有12万人出行，若将A,B,C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”方式的人

数.

19.（8分）在以“关爱学生、安全第一”为主题的安全教育宣传月活动中，某学校为了了解本校学生的上学方式，在全

校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A：结伴步行、B：自行乘车、C：家人接送、D：其他方式，

并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中信息，解答下列问题：

学红学无晾缀计留学牡学7日扇形统计图

（2）请补全条形统计图；请补全扇形统计图；

（3）“自行乘车”对应扇形的圆心角的度数是一度；

（4）如果该校学生有2000人，请你估计该校“家人接送”上学的学生约有多少人?

20.（8分）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做

这个三角形的“等底”.

(1)概念理解：

如图1,在AABC中，AC=6,BC=3,ZACB=30°,试判断AABC是否是“等高底”三角形，请说明理由.

(1)问题探究：

如图1,△ABC是“等高底”三角形，3c是“等底”，作△A3C关于所在直线的对称图形得到AATfC,连结44交

AC

直线5c于点D.若点B是的重心，求——的值.

BC

(3)应用拓展：

如图3,已知A〃/i,4与A之间的距离为1.“等高底”△ABC的“等底”8C在直线/i上，点A在直线(上，有一边的

长是8C的夜倍.将A48c绕点C按顺时针方向旋转45。得到“C所在直线交/i于点O.求C。的值.

21.(8分)已知：a是-2的相反数，b是-2的倒数，则

(1)a=,b=；

(2)求代数式a?b+ab的值.

22.(10分)如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线一点，对角线BD与AC交于点O,以线段AG为边作

一个正方形AEFG,连接EB、GD.

(1)求证:EB=GD；

(2)若AB=5,AG=2也，求EB的长.

23.(12分)平面直角坐标系xOy(如图)，抛物线y=-x2+2mx+3m2(m>0)与x轴交于点A、B(点A在点B左侧),

与y轴交于点C,顶点为D,对称轴为直线1,过点C作直线1的垂线，垂足为点E,联结DC、BC.

(1)当点C(0,3)时，

①求这条抛物线的表达式和顶点坐标;

②求证：ZDCE=ZBCE；

(2)当CB平分NDCO时，求m的值.

24.顶点为D的抛物线y=-x?+bx+c交x轴于A、B(3,0),交y轴于点C,直线y=-gx+m经过点C,交x轴于

4

求出抛物线的解析式；如图1,点M为线段BD上不与

B、D重合的一个动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N,设点M的横坐标为x,四边形OCMN的面积为S,求S

3

与x之间的函数关系式，并求S的最大值；点P为x轴的正半轴上一个动点，过P作x轴的垂线，交直线y=--*

于G,交抛物线于H,连接CH,将ACGH沿CH翻折，若点G的对应点F恰好落在y轴上时，请直接写出点P的

坐标.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、A

【解析】

作AOJ_y轴于O,作CE_Ly轴于E,则NAOO=NOEC=90。，得出Nl+Nl=90。，由正方形的性质得出OC=A。,

Zl+Z3=90°,证出N3=NL由AAS证明△OCE丝△AOO,得至!|OE=AO=1,CE=OD=73.即可得出结果.

【详解】

解：作AD_Ly轴于。，作CEJLy轴于E,如图所示：

则NAOO=NOEC=90°,AZl+Zl=90°.

'：AO=1,AD=1,：.OD=M-1=邪,.•.点A的坐标为（1,6）,：.AD=1,0D=6

,四边形04BC是正方形，...NAOC=90。，OC=AO,AZl+Z3=90°,.,.Z3=Z1.

ZOEC=ZADO

在AOCE和AAO。中，,:N3=N2,：.AOCE^AAOD（AAS）,：.OE=AD=1,CE=OD=6,.,.点C的

OC^AO

坐标为（百，-1）.

故选A.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等得

出对应边相等是解决问题的关键.

2、A

【解析】

试题分析：先根据折叠的性质得EA=EF,BE=EF,DF=AD=3,CF=CB=5,贝ljAB=2EF,DC=8,再作DH_LBC于H,

由于AD〃BC,ZB=90°,则可判断四边形ABHD为矩形，所以DH=AB=2EF,HC=BC-BH=BC-AD=2,然后在

RtADHC中，利用勾股定理计算出DH=2任，所以EF=〃.

解：,••分别以ED,EC为折痕将两个角（NA,ZB）向内折起，点A,B恰好落在CD边的点F处，

；.EA=EF,BE=EF,DF=AD=3,CF=CB=5,

，AB=2EF,DC=DF+CF=8,

作DHJ_BC于H,

VAD/7BC,ZB=90°,

・••四边形ABHD为矩形，

ADH=AB=2EF,HC=BC-BH=BC-AD=5-3=2,

在RtADHC中，DH=yJDC2_HC2=2A/T^'

.,.EF=-^DH=V15.

故选A.

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，

对应边和对应角相等.也考查了勾股定理.

3、A

【解析】

先根据勾股定理得到AB=0,再根据扇形的面积公式计算出SW^ABD,由旋转的性质得到RtAADEgRSACB,于

是S阴影部分=$4ADE+Sa®ABD-SAABC=S扇彩ABD.

【详解】

VZACB=90°,AC=BC=1,

AB=V2,

又ABC绕A点逆时针旋转30。后得到RtAADE,

ARtAADE^RtAACB,

AS阴影部分=SAADE+S扇形ABI)—SAABC=S扇形ABD=：，

6

故选A.

【点睛】

本题考查扇形面积计算，熟记扇形面积公式，采用作差法计算面积是解题的关键.

4、C

【解析】

根据反比例函数k的几何意义，求出k的值即可解决问题

【详解】

解：•.•过点P作PQ_Lx轴于点Q,AOPQ的面积为2,

.k

一=2,

2

Vk<0,

故选：C.

【点睛】

本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

5^B

【解析】

作AD1BC的延长线于点D,如图所示:

在RtAADC中，BD=AD,贝!|AB=V2BD.

/9AD1V2

cosz_ACB=----=—f==—，

AB拒2

故选B.

6、C

【解析】

根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得NB00100。，再利用圆周角定理得到NA=;NBOC.

【详解】

VOB=OC,

/.ZOBC=ZOCB.

又NOBC=40。，

AZOBC=ZOCB=40°,

AZBOC=180o-2x40°=100°,

:.NA=ZBOC=50°

故选：C.

【点睛】

考查了圆周角定理.在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半.

7、A

【解析】

试题分析：根据直角三角形两锐角互余求出N3,再根据两直线平行，同位角相等解答.

解：VDB±BC,N2=50°,

:.N3=90°-Z2=90°-50°=40°,

VAB/7CD,

.*.Zl=Z3=40°.

故选A.

8、D

【解析】

试题解析：A.是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意；

B.是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意；

C,是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意；

D.袋中只有4个球，且都是红球，任意摸出一球是红球，是必然事件，符合题意.

故选D.

点睛：事件分为确定事件和不确定事件.

必然事件和不可能事件叫做确定事件.

9、D

【解析】

解：A.不是同类二次根式，不能合并，故A错误;

B.a=2近,故B错误；

C.J(—3)2=3,故C错误;

D.亚丁G=j27+3=®=3,正确.

故选D.

10、D

【解析】

根据二次函数的图象与性质逐一判断即可求出答案.

【详解】

由图象可知：A>0,

/.b2-4ac>0,

:.b2>4ac,

故A正确；

•・•抛物线开口向上，

Aa<0,

・・,抛物线与y轴的负半轴，

Ac<0,

h

•・•抛物线对称轴为x=-一<0,

2a

Ab<0,

.\abc<0,

故B正确；

,当x=l时，y=a+b+c>0,

V4a<0,

:.a+b+c>4a,

:.b+c>3a,

故C正确；

•.•当x=-1时，y=a-b+c>0,

«\a-b+c>c,

Aa-b>0,

Aa>b,

故D错误；

故选D.

考点：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程、

不等式之间的转换，根的判别式的熟练运用.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、酗⑤

【解析】

根据不等式的性质可确定①的对错，根据多边形的内外角和可确定②的对错，根据函数自变量的取值范围可确定③的

对错，根据三角形中位线的性质可确定④的对错，根据正方形的性质可确定⑤的对错.

【详解】

①“若。>方，当cvo时，则故①是假命题；

CC

②六边形的内角和是其外角和的2倍，根据②真命题；

③函数尸叵1的自变量的取值范围是忘-1且存0,故③是假命题；

X

④三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，故④是真命题；

⑤正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故⑤是真命题；

故答案为②④⑤

【点睛】

本题考查了不等式的性质、多边形的内外角和、函数自变量的取值范围、三角形中位线的性质、正方形的性质，解答

本题的关键是熟练掌握各知识点.

12、3,1

【解析】

直接得出2〈石<3,1<炳<5,进而得出答案.

【详解】

解：V2<75<3,1<V18<5»

•••石〈尤〈风的整数x的值是：3,1.

故答案为：3,1.

【点睛】

此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近的有理数是解题关键.

13、1

【解析】

根据众数的概念进行求解即可得.

【详解】

在数据3,1,1,6,7中1出现次数最多，

所以这组数据的众数为1,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了众数的概念，熟知一组数据中出现次数最多的数据叫做众数是解题的关键.

14、xi=LX2=-1.

【解析】

直接观察图象，抛物线与X轴交于1,对称轴是X=-1,所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与X轴的另一交点

坐标，从而求得关于X的一元二次方程-x2+"+c=o的解.

【详解】

解：观察图象可知，抛物线y=-/+打+。与x轴的一个交点为（1,0）,对称轴为x=-L

.•.抛物线与x轴的另一交点坐标为（-1,0）,

••.一元二次方程-炉+加+，=0的解为XI=1,X2=-1.

故本题答案为：Xl=l,X2=~1.

【点睛】

本题考查了二次函数与一元二次方程的关系.一元二次方程-x2+bx+c=0的解实质上是抛物线y=-x2+bx+c与x轴交点的

横坐标的值.

15、3

7

【解析】

一般方法:如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）

='.根据随机事件概率大小的求法,找准两点:①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概

n

率的大小.

【详解】

•••不透明袋子中装有7个球,其中有2个红球、2个绿球和3个黑球，

3

二从袋子中随机取出1个球,则它是黑球的概率是：］

3

故答案为:

【点睛】

本题主要考查概率的求法与运用，解决本题的关键是要熟练掌握概率的定义和求概率的公式.

16、7

【解析】

列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于-4小于2的结果数，根据概率公式计算可得.

【详解】

解：列表如下：

-2-112

-22-2-4

-12-1-2

1-2-12

2-4-22

由表可知，共有12种等可能结果，其中积为大于-4小于2的有6种结果,

...积为大于-4小于2的概率为三=：,

故答案为：＞

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；

树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)2018至2020年寝室数量的年平均增长率为37.5%；(2)该校的寝室建成后最多可供1名师生住宿.

【解析】

(1)设2018至2020年寝室数量的年平均增长率为x,根据2018及2020年寝室数量，即可得出关于x的一元二次方

程，解之取其正值即可得出结论；

(2)设双人间有y间，则四人间有5y间，单人间有(12L6y)间，可容纳人数为w人，由单人间的数量在20至30

之间(包括20和30),即可得出关于y的一元一次不等式组，解之即可得出y的取值范围，再根据可住师生数=寝室

数x每间寝室可住人数，可找出w关于y的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题.

【详解】

(1)解：设2018至2020年寝室数量的年平均增长率为x,

根据题意得：64（1+x）2=121,

解得：xi=0.375=37.5%,x2=-2.375（不合题意，舍去）.

答：2018至2020年寝室数量的年平均增长率为37.5%.

（2）解：设双人间有y间，可容纳人数为w人，则四人间有5y间，单人间有（121-6y）间，

•.•单人间的数量在20至30之间（包括20和30）,

121-6y>20

•,{121-6y<30'

解得：15—<y<16y.

66

根据题意得：w=2y+20y+121-6y=16y+121,

当y=16时，16y+121取得最大值为1.

答：该校的寝室建成后最多可供1名师生住宿.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系,

正确列出一元二次方程；（2）根据数量之间的关系，找出w关于y的函数关系式.

18、（1）800,240；（2）补图见解析；（3）9.6万人.

【解析】

试题分析：（1）由C类别人数及其百分比可得总人数，总人数乘以B类别百分比即可得；

（2）根据百分比之和为1求得A类别百分比，再乘以360。和总人数可分别求得；

（3）总人数乘以样本中A、B、C三类别百分比之和可得答案.

试题解析：（1）本次调查的市民有200・25%=800（人），

；.B类别的人数为80（）x30%=240（人），

故答案为800,240；

（2）TA类人数所占百分比为1-（30%+25%+14%+6%）=25%,

二A类对应扇形圆心角a的度数为360°x25%=90°,A类的人数为800x25%=200（:人），

(3)12x(25%+30%+25%)=9.6(万人),

答：估计该市“绿色出行”方式的人数约为9.6万人.

考点：1、条形统计图；2、用样本估计总体；3、统计表；4、扇形统计图

19、(1)本次抽查的学生人数是120人；(2)见解析；(3)126；(4)该校“家人接送”上学的学生约有500人.

【解析】

(1)本次抽查的学生人数：18+15%=120(人)；

(2)A：结伴步行人数120-42-30-18=30(人)，据此补全条形统计图;

42

(3)“自行乘车”对应扇形的圆心角的度数360。、石=126°；

(4)估计该校“家人接送”上学的学生约有：2000x25%=50()(人).

【详解】

解：(1)本次抽查的学生人数：18+15%=120(人)，

答：本次抽查的学生人数是120人;

(2)A：结伴步行人数120-42-30-18=30(人),

补全条形统计图如下:

学生上学方式条形统计图

个人数(人)

60L

50

40

30

20

10

OABCD上学

“结伴步行’'所占的百分比为黑xl00%=25%；“自行乘车”所占的百分比为言xl00%=35%,

“自行乘车”在扇形统计图中占的度数为360。'35%=126。，补全扇形统计图，如图所示

学生上学方式扇形统计图

(3)“自行乘车”对应扇形的圆心角的度数360天工=126°,

故答案为126；

(4)估计该校“家人接送”上学的学生约有：2000x25%=500(人)，

答：该校“家人接送”上学的学生约有500人.

【点睛】

本题主要考查条形统计图及扇形统计图及相关计算，用样本估计总体.解题的关键是读懂统计图，从条形统计图中得

到必要的信息是解决问题的关键.

20、(1)AABC是“等高底”三角形；(1)—；(3)CD的值为2可，1啦，1.

23

【解析】

(1)过4作于。，则△4OC是直角三角形，NADC=90。，根据30。所对的直角边等于斜边的一半可得：

AO=』AC=3,根据“等高底”三角形的概念即可判断.

2

(1)点8是AAA'C的重心，得到BC=2BD,设班＞=刘则AD=BC=2x,CD=3x,

根据勾股定理可得AC=岳x,即可求出它们的比值.

(3)分两种情况进行讨论:①当AB=6BC时和②当AC=6BC时.

【详解】

(1)△A5C是“等高底”三角形；

理由：如图1,过A作于O,则AAOC是直角三角形，ZADC=90°,

:.AD=-AC=3,

2

：.AD=BC=3,

即△ABC是“等高底”三角形；

(D如图1,,••△ABC是“等高底”三角形,8c是“等底”,

图2

...AD=BC,

•••△ABC关于BC所在直线的对称图形是△48C,

:.ZADC=90°,

,••点B是A/U'C的重心，

...BC=2BD,

设8D=x,则AO=3C=2x,CD=3x,

由勾股定理得AC=>/万x,

.ACV13xV13

••---------------=-------

BC2x2

(3)①当43=及时，

I.如图3,作AE_L8C于E,£>F_L4C于F,

,••“等高底”△A8C的“等底”为8C,6与6之间的距离为1,AB=42BC-

•*-BC=AE=2,AB=2V2,

：.BE=\,即EC=4,

:.AC=2非,

•.,△ABC绕点C按顺时针方向旋转45。得到△ABC,

：.ZDCF=45°,

设Of=CF=x,

'：h//h,

...ZACE=NDAF,

DFAE1=-

・・---=----=—,即nAF=2刘

AFCE2

•••AC=3x=2瓜

.,.x=-V5,C£)=V2x=-VK),

33

II.如图4,此时△ABC等腰直角三角形，

图4

VXABC绕点C按顺时针方向旋转45。得到^A'B'C,

...AACQ是等腰直角三角形，

■•CD=y[2AC=2y/2.

②当AC=&8C时，

I.如图5,此时AA8C是等腰直角三角形，

图5

•:AABC绕点C按顺时针方向旋转45。得到△ABC,

：.A'Cl/,,

：.CD=AB=BC=2；

n.如图6,作AEJ_3。于E,则AE=BC,

."­AC=08C=Vl4E,

NACE=45。，

.,.△ABC绕点C按顺时针方向旋转45。，得到△A'B'C时，点”在直线八上，

：.A'C//h,即直线A'C与无交点，

综上所述，B的值为3丽,2瓶,2.

【点睛】

属于新定义问题，考查对与等底高三角形概念的理解，勾股定理，等腰直角三角形的性质等，掌握等底高三角形的性

质是解题的关键.

I

21-12--

2

【解析】

试题分析：(1)利用相反数和倒数的定义即可得出.

(2)先因式分解，再代入求出即可.

试题解析：(1);。是-2的相反数，。是-2的倒数，

C,1

:.a=2,b=—.

2

(2)当a=2,〃=；时，a2b+ab=ab(a+l)=2x(-g)x(2+l)=-3.

点睛:只有符号不同的两个数互为相反数.

乘积为1的两个数互为倒数.

22、(1)证明见解析；(2)753；

【解析】

(1)根据正方形的性质得到NGAD=NEAB,证明△GADgZiEAB,根据全等三角形的性质证明；(2)根据正方形的

性质得到BD_LAC,AC=BD=5及，根据勾股定理计算即可.

【详解】

(1)在△GAD和△EAB中，ZGAD=90°+ZEAD,ZEAB=90°+ZEAD,

.*.ZGAD=ZEAB,

AC=AE

在4GAD和4EAB中，，ZGAD=ZEAB,

AD=AB

/.△GAD^AEAB,

，EB=GD；

(2)•四边形ABCD是正方形，AB=5,

ABDIAC,AC=BD=5&,

:.ZDOG=90°,OA=OD=-BD=,

22

••，AG=2夜，

.*.OG=OA+AG=—,

2

由勾股定理得，GD=y]0D2+0G2=V53.

.*.EB=V53.

【点睛】

本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的对角线相等、垂直且互相平分是解题的关键.

23、(1)y=-X2+2X+3；D(1,4)；(2)证明见解析；(3)m=—；

3

【解析】

(D①把C点坐标代入y=-x2+2mx+3m2可求出m的值，从而得到抛物线解析式，

然后把一般式配成顶点式得到D点坐标；

②如图1,先解方程-x2+2x+3=0得B(3,0),则可判断AOCB为等腰直角三角形得到N

OBC=45°,再证明△CDE为等腰直角三角形得到/DCE=45。，从而得到NDCE=NBCE；

(2)抛物线的对称轴交x轴于F点，交直线BC于G点，如图2,把一般式配成顶点式得

到抛物线的对称轴为直线x=m,顶点D的坐标为(m,4m2),通过解方程-x2+2mx+3m2=0

得B(3m,0),同时确定C(0,3m2),再利用相似比表示出GF=2m2,则DG=2m2,接着证

明NDCG=NDGC得至!|DC=DG,所以11?+(4m2-3m2)2=4m4,然后解方程可求出m.

【详解】

(1)①把C(0,3)代入y=-x2+2mx+3m2得3m2=3,解得mi=l,mz=-1(舍去)，

二抛物线解析式为y=-x2+2x+3；

y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

.,•顶点D为(1,4)；

②证明：如图1,当y=0时，-X2+2X+3=0,解得X2=3,贝(JB(3,0),

VOC=OB,

AAOCB为等腰直角三角形，

/.ZOBC=45°,

•・・CE_L直线x=l,

AZBCE=45°,

VDE=LCE=1,

/.△CDE为等腰直角三角形，

，ZDCE=45°,

/.ZDCE=ZBCE；

(2)解：抛物线的对称轴交x轴于F点，交直线BC于G点，如图2,

y=-x2+2mx+3m2=-(x—m)24-4m2,

J抛物线的对称轴为直线x=m,顶点D的坐标为(m,4m2),

当y=0时，-x2+2mx+3m2=0,解得xi=-m,X2=3m,贝！1B(3m,0),

当x=0时，y=-x2+2mx+3m2=3m2,贝!JC(0,3m2),

VGF//OC,

GFBFGF2m,

»•即on~—2=o—，解得GF=2m2,

OCBO3m23zn

/•DG=4m2-2m2=2m2,

VCB平分NDCO,

/.ZDCB=ZOCB,

VZOCB=ZDGC,

AZDCG=ZDGC,

ADC=DG,

即m2+(4m2-3m2)2=4m4,

:.nr=—,

3

而m>0,

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利

用待定系数法求函数解析式；灵活应用等腰直角三角形的性质进行几何计算；理解坐标与图形性质，记住两点间的距

离公式.

981981