线代习题答案(四)

习题四

（A类）

i.用消元法解下列方程组.

玉+4X2-2X3+3X4=6,

Xj+2X2+2X3=2,

2工1+2X2+4X4=2,

⑵2^+5X2+2X3=4,

3xl+2X2+2K3-3X4=1,

+2x2+4X3=6;

x[+2X2+3X3-3X4=8;

【解】⑴

14-23614-236

220426)11021

(A：»=3

22-31322-31

123-38-J123-38-J

-14-236

0-32-1-5

0-12-9-2

0—25—62

一

-14-23614-236

01-29201-292

G+3令、

0-32-1-51+2丐00-4261

0-25-62_001126

-14-23614-236

01-29201-292

■+4，、

J

001126001126

00-42610007425

得

‘玉+4X2-2X3+3X4=6

x-2X+9X=2

<234

x3+12X4=6

74X4=25

所以

187

211

W

144

五

25

74

⑵

①

玉+2X2+2X3=2

2%+=4

5X2+2X3②

x,+2X+X=6

243③

解②-®X2得X2-2%3=0

③-①得2X3=4

得同解方程组

x}+2X2+2X3=2④

x2-2X3=0⑤

、2X=4

3⑥

由⑥得X3=2,

由⑤得X2=2X3=4,

由④得x\=2-2x3-2x2=-10,

得(%1rX2,X3)T=(-l0,4,2)T.

2.求下列齐次线性方程组的基础解系.

X-x2+5X3-x4=0,

x,+3X2+2尤3=0,

%+x2-2%3+3X4=0,

(1)<X1+5%+恐=0,(2)•

3x,-x,+8x,+x.=0,

3M+5x.+8%=0;

%+3X2-9X3+7X4=0;

X]+工2+2冗3+2工4+7工5=0,%+2々一2七+2%4—％5=0,

(3)<2%+3X+XX=0,

243+54(4)<%+2X2.天+3/-2/二°，

2xjx+x=0.

3网+5X2+6色+84=0;+4X2-7X3+A5

【解】（1）

x}+3X2+2X3=0,

<%,+5X2+x3=0,

3Xj+5X2+8X3=0.

'132"'132-'132'

Li、）+2令、

A=151CT02-102-1

_358_0-42_000

得同解方程组

玉+3X2+2X3=0

2X2一£=0

得基础解系为

(2)系数矩阵为

-1-15-1-15

11-2302-74

A=丐F、「2

3-181丐一3乙02-74

13-97_04-148_

1-15-1

02-74

r(A)=2.

0000

0000

,其基础解系含有4-/?(4)=2个解向量.

基础解系为

3

'1

7

2

1

0

⑶

112271F11227

450。二”>01-14

A=23r3~ir\01

3568OjL0202-21

11227

o101-14

00007

得同解方程组

%+%2+2刍+2X4+7X5=0,

x2+x4-14X5=0,

7X5—0—尢弓—0.

10

取3=八，得基础解系为

_%」L°JLL

(-2,o,i,o,O)T,(—I,-i,o,i,o).

(4)方程的系数矩阵为

12-22-「■12-22-1'

/F、

A=12-13-2丐-2”0011-1

24-71100-3-33_

12-22-1

0011-1H(4)=2,

00000

・・・基础解系所含解向量为〃-RA)=5-2=3个

取x4为自由未知量

得基础解系

3.解下列非齐次线性方程组.

%+9+2X=1,

32玉+4-工3+14=1,

2x]一%+2X3=4,

⑴4⑵《4再+2X2-2X3+x4=2,

x]-2X2=3,

2x,+x2-x3-x4=1;

4%j+%+4X3=2;

%+/+元3+工4+毛=7，

x}_2X2+x3+x4=1,

3%]+2xo+毛+匕-3元5=-2,

(3)<Xj—2X2+X3—X4=-1,

x2+2K3+2X4+6X5=23,

X)-2X2+x3+x4=5;

5工1+4X24-3X3+3X4-x5=12.

【解】

(1)方程组的增广矩阵为

'i12।r-1121'

2-12!40-3-22

：为一27j〉

(Ab)=乃F

1-20：34-4”0-3-22

41420-3-4-2

-1121--112r

1

0-3-22-5”>50-3-22

00000012

00-2-4_0000

得同解方程组

%)+x2+2X3=1

<-3%—2看—2

尤3=2

(2)方程组的增广矩阵为

-21-11r■21-11r

(4闻=42-212令-2/j000-10

_21-1-11000-20

得同解方程组

2玉+/_13+14=L

-x4=0,n玉二°

—2%=0,

即

2xl+x2-Xj=1,

■X4=0«

令玉=当=0得非齐次线性方程组的特解

xT=(0,1,0,0)T.

又分别取

得其导出组的基础解系为

方程组的解为

一11[1]

0

22

1

x=+K1+k?0kkGR

0v2

01

0[0J[o_

1-21111'-1-211[1

⑶1-21-1!-1000-21-2

1-r\1

1-211；5.0000i4

RA)HR(Z)方程组无解.

(4)方程组的增广矩阵为

'11111!7''1111117

.3211-3-20-1-2-2-6-23

(A:Z>)=

0122623q-5/j0122623

5433-1120-1-2-2-6|-23

111117

»°T-2-2-6-23

K000000

000000

分别令

k、,k,,k3GR.

令％=%=%=°,

得非齐次线性方程组的特解为：炉=（_16,23,0,0,09,

方程组的解为

-16511

23—6-2-2

x=0+K0+k21+"30

0001

0100

其中心占,匕为任意常数•

4.某工厂有三个车间，各车间相互提供产品（或劳务），今年各车间出厂产量及对其它车间

的消耗如下表所示.

、车间

出厂产量总产量

123

（万元）（万元）

车间

10.10.20.4522X\

20.20.20.30X2

30.500.1255.6无3

表中第一列消耗系数0.1,0.2,0.5表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二,

三车间0.1万元，0.2万元，0.5万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.

解：根据表中数据列方程组有

x,-0.lx(-0.2尤2-0.45七=22,

<x2-0.2%)-0.2JC2-O.3X3=0,

-0.5%(-0.12X3=55.6,

0.9x(-0.2X2-0.45尤3=22,

即<0.2X(-0.8x,+O.3X3=0,

0.5%一0.88七=—55.6,

\=100,

解之,x2-70,

刍=120;

5.4取何值时，方程组

AXy+X2+X3-1,

《玉+A,X2+x3=2,

2

x}+x2+2X3=A,

(1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解.

【解】方程组的系数矩阵和增广矩阵为

'A1r'A11；1

A=121；B=1212

11211/d公

|A|=(A—I)2(A+2).

(1)当；IW1且/IW-2时，|4|#0,R(A)=R(B)=3.

方程组有惟一解

-2-11(2+1)2

2+22A+23(2+2)

(2)当/1=一2时,

--2111--1-21-2

1GF

B=1-21-2-211攵+2/j

11-24__11-24

-1-21—2一-21一2一

0-33-3T0-33-3,

03-3160003_

R(A)/R(8),，方程组无解.

⑶当;1=1时

一1111f'iiiir

B=11111000i0

今一4

1111100010

R(A)=R⑻<3,方程组有无穷解.

得同解方程组

得通解为

--T■f

无2=匕1+k?0+0,sR.

_o_10

6.齐次方程组

/lx+y+z=0,

〈x+Xy—z=0,

2x-y+z=0

当/i取何值时，才可能有非零解?并求解.

【解】方程组的系数矩阵为

211

A=1A—1

2-11

|A|=(2-4)(2+l)

当|A|=0即;1=4或X=-l时，方程组有非零解.

(i)当；I=4时，

41114-114-1

支、

A=14-1■>4110-155

r3~2r\

2-112-110-93

一-

14-114-1

1

6—

-4->0-310-31

0-31000

得同解方程组

王3

%+4X2一天=0

X2k1keR

—3%2+尤3=0

X33

1

(ii)当4=T时,

-1111-1

A1-1-14—“■»-11

2-112-1

得

X|一工2_%3=0

=><

x2+=0

(X,X2，％3¥=k•(一2,—3,1)T*eR

7.当〃力取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解？在有解时，求出其解.

工%+%+&+/=0

X1+2X2+33—=1

%+%2+2%3+3X=1x+2X+2X=1

(1)4⑵<234

3xl-x2-x3-2X4=a-%2-(Q_3)此3_2%=b

2x,+3X-x+bx=-6ax

2343%+2X2+%3+4=-1

【解】方程组的增广矩阵为

(1)

123-1!1123-1i1

.11231乃一，0-1-14；0

(A:5)=6山、1r3-7r2

3-1-1-2a*4-2q'0-7-101ci—3rA-r2

23Tb-6_0-1-7b+2-8_

-123-1：1123-1:1

0-1-1400-1-140

------->

00-3-27a-300-3-27a-3,

00-6b-2|-8000b+52-2a--2_

(i)当b^-52时，方程组有惟一解

a4(。+1)cz-326(a+l)

3h+523h+52

Q—318(Q+1)2(。+1)

-3b+524b+52

(ii)当b=-52，。#-1时，方程组无解.

(iii)当6=-52,o=-l时,方程组有无穷解.

得同解方程组

一

玉+2X2+3七%4=1

<—%2—83+4/0

一3xj—27———4

玉+2X2+3X3-Z=0

其导出组<-X2-X3+4X4=0的解为

——27X4=0

-尤「

无।=2%,-2-

x=13X13

24/=k.keR

毛=-9%4，X3-9

./=必_X4._1_

非齐次线性方程组（*）的特解为

5

3

取X4=l,

/.原方程组的解为

keR

⑵

■1111o-

01221

(A：&)=

0-1(a—3)-2b忆-3”

321a-1

11110

1

0122口+令

00a-\0b+i

0-1-2a-3-1

1111i0

012211

00a-\01b+l

000a-\|0

(i)当o-lWO时，R(A)=H(才)=4,方程组有惟一解.

b-a+2

a-i

。—2b—3

a-\

匕+1

a-\

0

(ii)当〃一1=0时为W—1时，方程组R(A)=2vH(彳)=3,

・・・此时方程组无解.

(iii)当〃=1,反-1时，方程组有无穷解.

得同解方程组

%+&+九3+Z=0,

x2+2X3+2X4=1.

取

=x3+x4-1,

・•・得方程组的解为

攵1,42£R

11

8.设4=22

33

【解】设B=(bib24)，其中瓦(i=l,2,3)为列向量,

由

A3=OnA(4b24)=0

=>A4=0(i=l,2,3)

b24

的解.由

A

得同解方程组

玉

=—x2-2X3,

X2=x2,

尤3=%3，

其解为

kvk2eR

取

则

-20

100

010

9.已知7,%，箱是三元非齐次线性方程组AxH的解，且R（4）=l及

71+72

求方程组Ax=b的通解.

【解】Ax=b为三元非齐次线性方程组

R（A）=1=>Ax=O的基础解系中含有3-R（A）=3-l=2个解向量.

1-10

7一〃3=（7+%）-（%+%）0-1=-1

00

-1-T-0'

7一％=（7+小）一（%+7）=1-1二0

1-01

由"|,〃2，〃3为Ax=6的解=>7-7，〃1一小为Ax=O的解,

且（7一〃2）线性无关=7一名，7一〃2为Ax=O的基础解系.

又

〃3）］

，方程组Ax=b的解为

X=7+K（7—〃3）+42（7一〃2）

k、,k?GR

10.求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成.

设齐次线性方程组为Ax=O

由左或为AD的基础解系，可知

—2左1+3k>

x=

k2

令k\=X2,%2=X3

=>Ax=O即为XI+2X2-3%3=0.

-121~

-2-3-2

⑵4（白。6）=0=>4的行向量为方程组为（中2工3大4工5）021=0的解.

352

—1—3—2

xt—2X2+3X4-x5=0

即《

2玉一3X2+2X3+5X4-3/=0的解为

%-2X2+x3+2X4-2X5-0

1-203-f-1-203-1

丁4>

2-325-3为一2“012-1-1

1-212-2_001-1-1

TT

得基础解系为7=（-5-1110）T}2=(-l-1101)

-5-111()

A=

-1-1101

方程为

-5%j―工2+七+%4=°，

—Xj—/+无3+“5=

x,-x2=q

x-x=a

2325

1.证明：线性方程组<X3-X4=«3有解的充要条件是gq=0.

i=\

*4一天=%

x5-x{=a5

【解】

-1-1oooS

01-100ia2

M、

Z=001-10a3

0001-1a4

-10001|%

'1-1000I

01-100a2

nniinzr一+乃、

wuu।“3

0001-1a4

0—1001；+Oj

'1-1000iat

01-100a2

001—10：cty--->

0001-1aA

00—101：+a5.

-1-1000|q-

01-100a2

001-10%

0001-1a,

!5

00001i

;/=l

方程组有解的充要条件，即R(A)=4=R(A)

5

<=>=0得证.

/=1

12.设〃*是非齐次线性方程组Nx=b的一个解，。，务，…片，一是对应的齐次线性方程组的一

个基础解系.证明

(1)…©”,线性无关;

(2)rj力'*+Z-线性无关.

(证明］

(1)…域-线性无关Q

切*+女高=0成立，

当且仅当Jl,=0(i=l,2,-,n-r)>0

4(切*+Z高+…+*©_,)=0

^kAJ］*+klA^+-+kn_rA^_r=Q

：《,御，…，L为Ax=0的基础解系

=>A&=0(i=1,2,・・・,〃一r)

nkArf=0由于Arj=6w0

=kb=0=>k=0..

由于0，&,・・・片,〜为线性无关

%©…=。=%=0(，=1,2,・・・,〃-r)

・・・〃”,5忑2,…，e线性无关.

(2)证〃*,〃*+。,线性无关.

。krf+勺①*+露+…+*(〃*+J)=0成立

当且仅当k=0(i=l,2,…,〃-r),且仁0

切*+勺(〃+。)+…+kn_r⑺"+e„_r)=0

即

(k+KT-----1-kn_r)7+左高H------Hkn_r^n_r=0

由⑴可知，［*,舄,…©i线性无关.

即有ki=0(i=1,2,•••,n-r),K

Z+&I+冗n—r=0=>攵=0

丁川*+配…线性无关.

（B类）

1.B

2.C

3.D

4.C

5.t=-3

6.R(A)=2t2；2

7.设g,n2,…,ns是非齐次线性方程组Ax=b的一组解向量，如果cni+c2n2+-+csns也是

该方程组的一个解向量，则C1+C2+…+Cs=.

解：因为nI,。2,…，Qs是Ax=b的一组解向量，则Ani=b,An2=b，…,Ans=b，又

Gnl+C2n2+…+Csns也是Ax=b的一解向量，所以A(Gy+…+CsQs)=b,即C1Ani+

CAn2+…+CsAns=b,即Cib+C2b+-+Gb=b,(Cl+…+G)b=b,所以C+…+Cs=l.

8.设向量组四=(1,0,2,3),c(2~(111,3,5),(Xy—(11—1,a+2,1),cx^—(1,2,

4,a+8),£=(1,1,6+3,5)

问：(1)a,b为何值时，户不能由四，a2,%,a,线性表出？

(2)a,b为何值时，£可由名，a2,a,,见惟一地线性表出？并写出该表出式・

(3)a,6为何值时，£可由四，a2,。3，a」线性表出，且该表出不惟一？并写出

该表出式.

【解】

B=x.a,+x2a2+x3ai+x4a4

'1111i

-01-12i

A=(A:b)=6-24

23a+24b-卜3q-3/j

_351a+8f

riiiiIi1riiii!r

IJ

01-12I101-121

6F、

01a2h+l00a+\0b

02-2a+5\2000a+\\0

_«__•_

(1)/不能由％,a3,4线性表出。方程组(*)无解，即。+1=°，且・即。=-1，且

bWO.

⑵£可由四，a2,%，%惟一地线性表出O方程组(*)有惟一解，即。+1¥0,即a#-l.

(*)等价于方程组

Xj+x2+x3+x4=1

x2-x3+2X4=1

(4+1)忍=b

m+Dz=0

b…+1=2+1Q+/7+1

a+la+1a+1

2-0=-丝

。+1a+1

2ba+8+1b

-p=------a.+------------a,+------

a+1a+1a+1

⑶/可由a-a2,a,,%线性表出,且表出不惟一。方程组（*）有无数解，即有

a+1=0/=0=〃=-1,6=0.

Xy=k2-2区

x+x+x+x=\x=k-2k2+1

方程组（*）<=>>l2i4=>2}

x2—x3+2X4-1X：—k、