新教材2023版高中数学第三章排列组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.3组合与组合数第2课时组合数的应用学生用书新人教B版选择性必修第二册

第2课时组合数的应用[课标解读]能够结合具体实例，理解排列、组合与两个计数原理的关系，能够运用两个计数原理推导排列、组合的相关公式，并能够运用它们解决简单的实际问题．【教材要点】知识点一组合与排列的异同点共同点：排列与组合都是从n个________对象中取出m(m≤n)个对象．不同点：排列与对象的________有关，组合与对象的________无关．知识点二应用组合知识解决实际问题的四个步骤(1)判断：判断实际问题是否是组合问题．(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题．(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算．(4)结论：根据计算结果写出方案个数．【基础自测】1．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有________种．2．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．3．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种．(用数字作答)4．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种．题型1无限制条件的组合问题例1在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．状元随笔本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题．方法归纳解答简单的组合问题的思考方法1．弄清要做的这件事是什么事．2．选出的对象是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题．3．结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果．跟踪训练1[2022·北京西城高二模拟]从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动．(1)共有多少种不同的选择方法？(2)如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？题型2有限制条件的组合问题例2高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．(1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？状元随笔可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼，使用两个计数原理解决．方法归纳常见的限制条件及解题方法1．特殊对象：若要选取的对象中有特殊对象，则要以有无特殊对象，特殊对象的多少作为分类依据．2．含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．跟踪训练2“抗震救灾，众志成城”，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？题型3组合在几何中的应用例3平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？eq\a\vs4\al(状元随笔)解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数．方法归纳1．解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．2．图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．跟踪训练3四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？题型4分组分配问题例4将6本不同的书分为三组，在下列条件下分别有多少种不同的分配方法？(1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组).方法归纳一般地，n个不同的对象分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp，其中k组元素数目相等，那么分组方法数是Cnm1Cn-m1m跟踪训练4将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，在下列条件下分别有多少种不同的分配方法？(1)甲2本，乙2本，丙2本；(2)甲1本，乙2本，丙3本；(3)甲4本，乙、丙每人1本；(4)每人2本；(5)一人1本，一人2本，一人3本；(6)一人4本，其余两人每人1本．题型5排列、组合的综合应用【思考探究】排列问题也可以按“先选后排”分两步完成．第一步，先从n个不同对象取出m个，是组合问题，方法有Cn第二步，将选出的m个对象做全排列，有Am由分步乘法计数原理，则Anm＝CnmA例5有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．状元随笔(1)按选中女生的人数多少分类选取．(2)采用先选后排的方法．(3)先安排该男生，再选出其他人担任4科课代表．(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表．方法归纳解决排列、组合综合问题要采用先选后排的方法．解决时通常从以下三个途径考虑：1．以对象为主考虑，即先满足特殊对象的要求，再考虑其他对象；2．以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；3．先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．跟踪训练5男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长，又要有女运动员．教材反思第2课时组合数的应用新知初探·自主学习[教材要点]知识点一不同顺序顺序[基础自测]1．解析：把三张票分给10个人中的3人，不同分法有C103＝10×9×答案：1202．解析：甲选修2门，有C42＝6(种乙选修3门，有C43＝4(种丙选修3门，有C43＝4(种由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有6×4×4＝96(种)．答案：963．解析：有C31·C42·A22＝36种满足题意的分配方案．其中C31表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中某2答案：364．解析：每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有C72+答案：112课堂探究·素养提升例1解析：(1)从中任选5人是组合问题，共有C125＝(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C92＝(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C95＝(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C31＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C9跟踪训练1解析：(1)从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动，选择方法数为C63(2)没有女生入选的选择方法数为C43＝所以至少有1位女生入选的选择方法数为20－4＝16.例2解析：(1)从余下的34名学生中选取2名，有C342＝561(种∴不同的选法有561种．(2)从34名可选学生中选取3名，有C343＝5984(种或者C353-C34∴不同的选法有5984种．(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有C201C152∴不同的选法有2100种．(4)选取2名女生有C201C152种，选取3名女生有C153种，共有选取方法N＝C201∴不同的选法有2555种．(5)选取3名的总数有C353，至多有2名女生在内的选取方式共有N＝C353-C153＝∴不同的选法有6090种．跟踪训练2解析：(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C42种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C64种选法，所以共有C4(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法．方法一：(直接法)按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C②选3名外科专家，共有C③选4名外科专家，共有C根据分类加法计数原理，共有C42·C方法二：(间接法)不考虑是否有外科专家，共有C106种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C41·C65种选法；没有外科专家参加，有(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有C②有1名外科专家参加，有C③有2名外科专家参加，有C所以共有C66+C4例3解析：方法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准．第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有C42C第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有C41C第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C83＝由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个)．方法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C123＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C4故这12个点能构成三角形的个数为C123跟踪训练3解析：如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C53种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，不同的取法有3C53＋例4解析：(1)每组2本，均分为三组共有C62C42C2(2)一组1本，一组2本，一组3本共有C63C32C11＝(3)一组4本，另外两组各1本共有C64C21C1跟踪训练4解析：(1)(2)(3)中，由于每人分得的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得：(1)共有C62C42(2)共有C61C52(3)共有C64C21(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题．分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题．实际上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙三人．因此，(4)共有C62C42(5)共有C61C52(6)共有C64C21例5解析：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有C53C(2)除去该女生后，先选后排，有C74·(3)先选后排，但先安排该男生，有C74·(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C63种，再安排该男生有C31种，其余3人全排有A3跟踪训练5解析：(1)第一步：选3名男运动员，有C63种选