初中数学-题型突破05 动态型问题

题型突破（五）动态型问题

对于图形运动型试题,要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变的量,不变的关系或特殊关系,善于化动为静.通常借助函数、不等式、方程等模型求解.解题思路:求出所有动态问题中的“起点、拐点、终点”对应的时间,然后以这些关键时间点为临界值,确定分类标准,画出每种情形下的图形,结合题中相关条件解题.基本原则:多画图,画好图(图形越准确,对分析越有利).类型一点动型图Z5-1图Z5-14图Z5-1【分层分析】(2)探索三角形APQ是否是直角三角形,需要分类讨论,你知道如何分类讨论吗?而确定三角形是否是直角三角形通常多借助勾股定理逆定理来判断.(2)在点P,Q运动过程中,△APQ不可能是直角三角形.理由如下:若△APQ是直角三角形,因为在点P,Q运动过程中,∠PAQ,∠PQA始终为锐角,所以∠APQ=90°.连接QC.∴AQ2-AP2=QC2-PC2=PQ2.图Z5-1【分层分析】(3)解决与等腰直角三角形有关的问题常见的处理方式是什么?例如利用K字型全等,你能尝试求出运动时间吗?(3)如图,过点P作DE∥x轴,分别过点M,Q作MD⊥DE,QE⊥DE,垂足分别为点D,E,MD交x轴于点F,过点P作PG⊥x轴,垂足为点G,则PG∥y轴,∠D=∠E=90°.∴△APG∽△ACO.图Z5-1【分层分析】(4)要想求出Q'落在线段BC上时点Q'的坐标,就要想办法确定点Q'的轨迹,你能确定吗?【方法点析】在遇到直角三角形存在性问题时,需要根据顶点进行分类讨论;等腰直角三角形常见的处理方式便是构造K字型全等;确定一个动点的坐标,如果能确定其轨迹就方便多了.|题型精练|图Z5-21.[2018·南通]如图Z5-2,等边三角形ABC的边长为3cm,动点P从点A出发,以每秒1cm的速度沿A→B→C的方向运动,到达点C时停止,设运动时间为x(s),y=PC2,则y关于x的函数图象大致为 (

)图Z5-3C2.[2018·盐城]如图Z5-4,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,P,Q分别为边BC,AB上的两个动点,若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形,则AQ=

.

图Z5-43.[2018·苏州]如图Z5-5,已知AB=8,P为线段AB上的一个动点,分别以AP,PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE.点P,C,E在一条直线上,∠DAP=60°,M,N分别是对角线AC,BE的中点.当点P在线段AB上移动时,点M,N之间的最短距离为

.(结果保留根号)

图Z5-54.[2018·苏州]如图Z5-6①,直线l表示一条东西走向的笔直公路,四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地,点A,D在直线l上.小明从点A出发,沿公路l向西走了若干米后到达点E处,然后转身沿射线EB方向走到点F处,接着又改变方向沿射线FC方向走到公路l上的点G处,最后沿公路l回到点A处.设AE=x米(其中x>0),GA=y米.已知y与x之间的函数关系如图②所示.(1)求图②中线段MN所在直线的函数表达式.(2)试问小明从起点A出发直至最后回到点A处,所走过的路径(即△EFG)是否可以是一个等腰三角形?如果可以,求出相应x的值;如果不可以,说明理由.图Z5-64.[2018·苏州]如图Z5-6①,直线l表示一条东西走向的笔直公路,四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地,点A,D在直线l上.小明从点A出发,沿公路l向西走了若干米后到达点E处,然后转身沿射线EB方向走到点F处,接着又改变方向沿射线FC方向走到公路l上的点G处,最后沿公路l回到点A处.设AE=x米(其中x>0),GA=y米.已知y与x之间的函数关系如图②所示.(2)试问小明从起点A出发直至最后回到点A处,所走过的路径(即△EFG)是否可以是一个等腰三角形?如果可以,求出相应x的值;如果不可以,说明理由.图Z5-6图Z5-7图Z5-7解:(1)发现点E沿边AC从点A向点C运动的过程中,始终有△ABE≌△CBF.证明:∵△ABC与△EBF都是等边三角形,∴AB=CB,BE=BF,又∠CBF=∠ABE=60°-∠CBE,∴△ABE≌△CBF.图Z5-7图Z5-7图Z5-76.[2014·淮安]如图Z5-8,矩形OABC顶点B的坐标为(8,3),定点D的坐标为(12,0),动点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动,动点Q从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动,P,Q两点同时运动,相遇时停止.在运动过程中,以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR.设运动时间为t秒.(1)当t=

时,△PQR的边QR经过点B;

(2)设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式;图Z5-8(3)如图②,过定点E(5,0)作EF⊥BC,垂足为F,当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时,过点R作x轴、y轴的平行线,分别交EF,BC于点M,N,若∠MAN=45°,求t的值.图Z5-8解:(1)△PQR的边QR经过点B时,△ABQ构成等腰直角三角形,∴AB=AQ,即3=4-t,∴t=1.即当t=1秒时,△PQR的边QR经过点B.6.[2014·淮安]如图Z5-8,矩形OABC顶点B的坐标为(8,3),定点D的坐标为(12,0),动点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动,动点Q从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动,P,Q两点同时运动,相遇时停止.在运动过程中,以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR.设运动时间为t秒.(2)设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式;图Z5-86.[2014·淮安]如图Z5-8,矩形OABC顶点B的坐标为(8,3),定点D的坐标为(12,0),动点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动,动点Q从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动,P,Q两点同时运动,相遇时停止.在运动过程中,以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR.设运动时间为t秒.(3)如图②,过定点E(5,0)作EF⊥BC,垂足为F,当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时,过点R作x轴、y轴的平行线,分别交EF,BC于点M,N,若∠MAN=45°,求t的值.图Z5-87.[2019·威海]如图Z5-9,在正方形ABCD中,AB=10cm,E为对角线BD上一动点,连接AE,CE,过E点作EF⊥AE,交直线BC于点F.E点从B点出发,沿着BD方向以每秒2cm的速度运动,当点E与点D重合时,运动停止,设△BEF的面积为ycm2,E点的运动时间为x秒.(1)求证:CE=EF;(2)求y与x之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;(3)求△BEF面积的最大值.图Z5-9解:(1)证明:过点E作MN∥AB,交AD于M,交BC于N,如图①,∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,AB⊥AD,∴MN⊥AD,MN⊥BC,∴∠AME=∠FNE=90°=∠NFE+∠FEN,∵AE⊥EF,∴∠AEF=∠AEM+∠FEN=90°,∴∠AEM=∠NFE.∵∠DBC=45°,∠BNE=90°,∴BN=EN=AM.∴△AEM≌△EFN(AAS).∴AE=EF.∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADE=∠CDE,∵DE=DE,∴△ADE≌△CDE(SAS),∴AE=CE.∴CE=EF.7.[2019·威海]如图Z5-9,在正方形ABCD中,AB=10cm,E为对角线BD上一动点,连接AE,CE,过E点作EF⊥AE,交直线BC于点F.E点从B点出发,沿着BD方向以每秒2cm的速度运动,当点E与点D重合时,运动停止,设△BEF的面积为ycm2,E点的运动时间为x秒.(2)求y与x之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;图Z5-97.[2019·威海]如图Z5-9,在正方形ABCD中,AB=10cm,E为对角线BD上一动点,连接AE,CE,过E点作EF⊥AE,交直线BC于点F.E点从B点出发,沿着BD方向以每秒2cm的速度运动,当点E与点D重合时,运动停止,设△BEF的面积为ycm2,E点的运动时间为x秒.(3)求△BEF面积的最大值.图Z5-9例2[2018·黄冈]如图Z5-10,在直角坐标系xOy中,菱形OABC的边OA在x轴正半轴上,点B,C在第一象限,∠C=120°,边长OA=8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动,点N从A出发沿边AB-BC-CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动.过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于点P,交对角线OB于Q,点M和点N同时出发,分别沿各自路线运动,运动时间为t(秒),点N运动到原点O时,M和N两点同时停止运动.(1)当t=2时,求线段PQ的长.(2)求t为何值时,点P与N重合?(3)设△APN的面积为S,求S与t的函数关系式及t的取值范围.类型二线动型图Z5-10【分层分析】(1)如图Z5-10,在直角坐标系xOy中,菱形OABC的边OA在x轴正半轴上,点B,C在第一象限,∠C=120°,边长OA=8.如何求C,B的坐标?(2)在(1)的条件下,点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动,过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P,交对角线OB于Q,当t=2时,求OM,PM,QM及线段PQ的长.例2[2018·黄冈]如图Z5-10,在直角坐标系xOy中,菱形OABC的边OA在x轴正半轴上,点B,C在第一象限,∠C=120°,边长OA=8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动,点N从A出发沿边AB-BC-CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动.过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于点P,交对角线OB于Q,点M和点N同时出发,分别沿各自路线运动,运动时间为t(秒),点N运动到原点O时,M和N两点同时停止运动.(2)求t为何值时,点P与N重合?图Z5-10【分层分析】(3)点N从A出发沿边AB-BC-CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动,点M和点N同时出发,分别沿各自路线运动,点N运动到原点O时,M和N两点同时停止运动.求t为何值时,点P与N重合?此时P,N两点所走路程和为多少?类似于相遇运动吗?例2[2018·黄冈]如图Z5-10,在直角坐标系xOy中,菱形OABC的边OA在x轴正半轴上,点B,C在第一象限,∠C=120°,边长OA=8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动,点N从A出发沿边AB-BC-CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动.过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于点P,交对角线OB于Q,点M和点N同时出发,分别沿各自路线运动,运动时间为t(秒),点N运动到原点O时,M和N两点同时停止运动.(3)设△APN的面积为S,求S与t的函数关系式及t的取值范围.图Z5-10【分层分析】(4)为了求△APN的面积S,分哪几种情形考虑问题?|题型精练|图Z5-11图Z5-11图Z5-11图Z5-112.[2017·南充]如图Z5-12①,已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的图象过点O(0,0)和点A(4,0),函数图象最低点M的纵坐标为

直线l的解析式为y=x.(1)求二次函数的解析式;(2)直线l沿x轴向右平移,得直线l',l'与线段OA相交于点B,与x轴下方的抛物线相交于点C,过点C作CE⊥x轴于点E,把△BCE沿直线l'折叠,当点E恰好落在抛物线上点E'时,如图②,求直线l'的解析式;图Z5-12(3)在(2)的条件下,l'与y轴交于点N,把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B'ON'.P为l'上的动点,当△PB'N'为等腰三角形时,求符合条件的点P的坐标.图Z5-122.[2017·南充]如图Z5-12①,已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的图象过点O(0,0)和点A(4,0),函数图象最低点M的纵坐标为

直线l的解析式为y=x.(2)直线l沿x轴向右平移,得直线l',l'与线段OA相交于点B,与x轴下方的抛物线相交于点C,过点C作CE⊥x轴于点E,把△BCE沿直线l'折叠,当点E恰好落在抛物线上点E'时,如图②,求直线l'的解析式;图Z5-122.[2017·南充]如图Z5-12①,已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的图象过点O(0,0)和点A(4,0),函数图象最低点M的纵坐标为

直线l的解析式为y=x.(3)在(2)的条件下,l'与y轴交于点N,把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B'ON'.P为l'上的动点,当△PB'N'为等腰三角形时,求符合条件的点P的坐标.图Z5-12类型三面动型图Z5-13【分层分析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+5)(x-3),把(0,5)代入即可解决问题.图Z5-13图Z5-13|题型精练|图Z5-14图Z5-15[答案]A图Z5-16图Z5-16图Z5-16图Z5-17图Z5-17图Z5-174.[2018·天水]如图Z5-18所示,在正方形ABCD和△EFG中,AB=EF=EG=5cm,FG=8cm,点B,C,F,G在同一条直线l上.当点C,F重合时,△EFG以1cm/s的速度沿直线l向左开始运动,t秒后正方形ABCD与△EFG重合部分的面积为Scm2.请解答下