2024年高考数学优等生培优第8讲 函数的周期性-解析版46

第8讲函数的周期性通关一、周期概念理解1.定义:设的定义城为,若对,存在一个非零常数,有,则称函数是一个周期函数,称为的一个周期.2.若是一个周期函数,则,那么,即也是的一个周期,进而可得也是的一个周期.3.最小正周期:若为的一个周期,也是的一个周期,则在某些周期函数中,往往存在周期中最小的正数,称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期,比如常值函数就没有最小正周期.通关二、常见周期性结论函数周期性的一些结论序号函数式满足关系()周期(1)(2)(3)(4)(5)或(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)结论一、型的周期为.也是函数的周期.【例1】定义在上的函数满足:,当时,;当时,,则（）A．336 B．337 C．338 D．339【答案】C【解析】因为,当时,;当时,,所以,所以,因为,所以的周期为6,所以.故选C.【变式】函数的定义域为,且,当时,;当时,,则（）A．671 B．673 C．1343 D．1345【答案】D【解析】因为,所以,所以函数是周期为3的周期函数.又当时,;当时,,所以,所以.故选D.结论二、型的周期为.【例2】已知在上是奇函数,且满足,当时,,则（）A． B． C． D．0【答案】A【解析】因为,所以的周期为10,因此.故选A. 【变式】设函数是定义在上的周期函数,且,若,,则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为,所以,即,所以f(x)是周期为3的函数，所以f(2017)=f(1)=，又f(1)>-2，所以>-2,所以＜0,所以m(m+1)(m-3)<0,所以m<-1或0<m<3.故选B.结论三、f(x+a)=f(x±b)型f(x+a)=f(x-b)⇔y=f(x)的周期为T=a+b.f(x+a)=f(x+b)⇔y=f(x)的周期为T=b-a.【例3】已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时f(x)=x3-1,当-1≤x≤1时，f(-x)＝-f(x),当x>时，f(x-)=f(x+)，则f(6)=（）. A.2 B.0 C.-1 D.-2【答案】A【解析】因为当x>时，f(x-)=f(x+)⇒T=1，所以f(6)=f(1)=-f(-1)＝-(-1-1)=2.故选A.【变式】已知f(x)是定义在R上的函数，满足f(x)+f(-x)=0，f(x-1)=f(x+1)，当x∈(0,1)时，f(x)=-x2+x，则函数f(x)的最小值为（） A. B. C. D.【答案】B【解析】由f(x−1)=f(x+1)可得f(x)是周期为2的周期函数，所以只需要求出一个周期内的最值即可。由f(x)+f(−x)=0可得f(x)为奇函数，所以考虑区间(−1,1)，在x∈(0,1)时，f(x)=−(x−)2+，所以f(x)max=f()=，而由于f(x)为奇函数，所以在x∈(−1,0)时，f(x)min=f(−)=−f()=-，所以f()=即为f(x)在(-1,1)上的最小值，从而也是f(x)在R上的最小值.故选B.结论四、f(a+x)=−f(x−b)型若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(a+x)=-f(x−b)，则y=f(x)是以T=2(a+b)为周期的周期函数。【例4】设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x+1)=-f(x−1)，若f(−1)>1，f(5)=a2−2a−4，则实数a的取值范围是（）. A.(-1,3) B.(-∞,-1)∪(3，+∞) C.(-3，1) D.(-∞,-3)∪(1，+∞)【答案】A【解析】由f(x+1)=-f(x−1)可得f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)=f(1)=a2-2a-4.又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(−1)>1，所以f(1)<-1，所以a2−2a-4<−1，解得−1<a<3.所以实数a的取值范围是(-1,3)，故选A。【变式】已知定义在R上的奇函数f(x)，对任意x都满足f(x+2)=f(4−x)，且当x∈［0，3]时，f(x)=log2(x+1)，则f(2019)=____________【答案】2【解析】由f(x)为奇函数且f(x+2)=f(4-x)，得f(6+x)=f(-x)=-f(x),所以f（12+x)=-f(6+x)=-[-f(x)]=f(x),则f（x)的周期T=12,所以f(2019)=f(12*168+3)=f(3).因为当x∈[0,3]时，f（x)=log2(x+1),所以f(2019)=f(3)＝log24=2.结论五、f(x)+f(x+a)=k型f(x)+f(x+a)=k(k为常数）⇒f(x)的周期为T=2a.【例5】已知函数f（x)是R上的偶函数，且满足f（x+1)+f(x)=3.当x∈[-1,0]时，f（x)=2+x,则f(-2007.5)的值为（） A.0.5 B.1.5 C.-1.5 D.1【答案】B【解析】由f(x+1)+f(x)=3可得f(x)+f(x-1)=3,两式相减可得f（x+1)=f(x-1),所以f（x)的周期T=2,再由f（x)是偶函数可得f(-2007.5)=f(0.5)=f(-0.5)=1.5.故选B.【变式】已知函数f（x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图像关于点（1,0)对称且f（2)=4,则f(22)=____________【答案］-4【解析】因为y=f(x-1)的图像关于点（1,0)对称，所以y=f(x)的图像关于点（0,0)对称，即函数f（x)为奇函数.由f(x＋6)+f(x)=2f(3)得f(x+12)+f(x+6)=2f(3),所以f（x+12)=f(x),T=12,因此f（22)=f(-2)=-f(2)=-4.结论六、=型f(x+α)=⇔y=f(x)的周期为T=2a.【例6】函数f（x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f（1)=-5,则f(f（5))=（） A.-5 B.5 C. D.【答案】D【解析】由题意得f(x)=f(x+4),则f(5)=f(1)=-5,那么f(f(5))=f(-5)=f(-1)==-故选D.【变式】已知函数y=f(x)满足f(x+1)=和f(2-x)=f(x+1),且当x∈［,1]时,f(x)=2x+2,则f(2018)=（） A.0 B.2 C.4 D.5【答案】C【解析】函数y=f(x)满足f(x+1)=和f(2-x)=f(x+1),可知函数是以4为周期的周期函数，且关于x=对称。又由当x∈[,1]时，f(x)=2x+2，所以f(2018)=f（504*4+2)=f(2)=f(1)=2*1+2=4,故选C.结论七、=型=⇔y=f(x)的周期为T=2a.【例7】设偶函数f（x)对任意x∈R都有f(x)=,且当x∈[-3,-2]时，f(x)=4x,则f(119.5)=（）. A.10 B.-10 C. D.【答案】C【解析】因为函数f(x)对任意x∈R都有f(x)=,所以f(x+3)=，则f(x+6)=f(x),即函数f(x)的周期为6,所以f(119.5)=f(20*6-0.5)=f(-0.5)==，又因为偶函数f（x),当x∈[-3,-2]时，有f(x)=4x,所以f(119.5)====.故选C。【变式】设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=,且当x∈[-3,-2]时，f(x)=2x,则f(113.5)的值是_______________【答案】【解析】因为f(x+6)=f[(x+3)+3]=＝=f(x),所以f(x)的周期T=6，f(113.5)=f(18*6+5.5)=f(5.5)===.结论八、f(x)·f(x+a)=k型f(x)·f(x+a)=k(k为常数）⇒f(x)的周期为T=2a.【例8】设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13.若f(x)=2,则f(2015)＝（） A. B. C.13 D.【答案】B【解析】由函数的关系式可得f(x)f(x+2)=13，f(x+2)f(x+4)=13,所以f(2015)＝f(504*4-1)=f(-1).关系式f(x)f(x+2)=13中，令x=-1可得f(-1)f(1)＝2f(-1)=13,所以f（-1)=,所以f（2015)=.故选B.【变式】已知f(x)是定义在R上的函数，并满足f(x)f(x+2)=-2.当1<x<2时，f(x)=x3+sin,则f(5.5)=（）. A. B. C. D.【答案】C【解析】由f(x)f(x+2)=-2可知f(x)≠0,所以f(x)f(x+2)=f(x+2)f(x+4)=-2,所以f(x+4)=f(x),即函数的周期是4,因为f(5.5)=f(5.5-4)=f(1.5),且当1<x<2时，f(x)=x3+sin，所以f(1.5)=+=+=+=.故选C.结论九、f(x+a)=型f(x+a)=⇔y=f(x)的周期为T=2a.【例】9定义在R上的函数f（x)对任意x∈R,都有f（x＋2)=，f(2)=,则f(2016)等于（） A. B. C. D.【答案】D【解析】由f(x+2)=及所求f(2016)可联想到周期性，所以考虑f(x+4)===f(x),所以f（x)是周期为4的周期函数，故f(2016)=f(4),而由已知可得f(4)＝=,所以f（2016)=,故选D.【变式】定义在R上的函数f(x)满足:f(x+2)=，当x∈(0，4)时，f(x)=x2-1,则f(2010)=____________【答案】3【解析】因为定义在R上的函数f(x)满足：f(x+2)=,所以f(x+4)===f(x)，故函数的周期是4,所以f(2010)=f(2).又x∈(0,4)时，f(x)=x2-1，所以f(2010)=f(2)=22-1=3.结论十、f(x+a)=型f(x+a)=⇔y=f(x)的周期为T=4a.【例10】已知f(x)是定义在实数集上的函数，且f(x+2)=,f(1)=,则f(2015)=____________【答案】【解析】f(x+4)===⇒f(x+8)==f(x)⇒T=8，f(2015)=f(251*8+7)=f(7)=f(-1)⇒f(-1+2)=⇒f(-1)=⇒f(2015)=f(-1)=.【变式】已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f（x+2)[1-f(x)]=1+f(x)，f(1)=2018,则f（2017)的值为____________【答案】2018【解析】紧扣已知条件，并多次使用，发现f（x）是周期函数，显然f（x)≠1,于是f（x+2)=，f(x+4)===.所以f(x+8)==f(x),故f(x)是以8为周期的周期函数，从而f(2017)=f(8*252+1)=f(1)=2018.结论十一、两线型若函数y=f(x)的图像关于直线x=a与x=b(a≠b)对称，则y=f(x)是以T=2(b-a)为周期的周期函数。推论：偶函数y=f(x)满足f（a+x)=f(a-x)⇔y=f(x)的周期T=2a.【例11】设函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=0及直线x=1对称，且x∈[0，1]时，f（x)=x2,则f()=（） A. B. C. D.【答案】B【解析】因为函数y=f(x)关于直线x=0对称，所以f(x)=f(-x)。又函数f(x)关于直线x=1对称，所以f(1-x)=f(1+x).则f(x)=f(-x)=f(1-x-1)=f(1+x+1)=f(x+2),可知f（x)是周期为2的周期函数，所以f（)=f（)=.故选B.【变式】已知定义域为R的函数y=f(x)在［0,7]上只有1和6两个零点，且y=f(x+2)与y=f(x+7)都是偶函数，则函数y=f(x)在［0,2013]上的零点个数为（） A.404 B.804 C.806 D.402【答案】C【解析】因为f(x+2)，f(x+7)为偶函数，所以f(x+2)=f(-x+2)，f(x+7)=f(-x+7)，所以f(x)关于x=2,x=7轴对称，所以f(x)为周期函数，且T=2*（7-2）=10，所以将[0,2013]划分为[0,10]∪[10,20]∪…∪[2000,2010]∪[2010,2013].因为f(x)关于x=2，x=7轴对称，所以f(x)=f(4-x)，f(x)=f(14-x).因为f(1)=f(6)=0，f(8)=f(14-8)=f(6)=0，f(3)=f(4-3)=f(1)=0,所以在[0，10]中只含有四个零点，而[0,10]∪[10,20]∪…∪[2000,2010]共201组，所以N=201*4=804.在[2010，2013]中，含有零点f(2011)=f(1)=0，f(2013)=f(3)=0共两个。所以一共有806个零点。故选C。结论十二、一点一线型若函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称且关于(b,0)中心对称(a≠b),则y=f(x)是以T=4（b-a）为周期的周期函数。推论：奇函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)⇔y=f(x)的周期T=4a.【例12】已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2-x)=f(x),若f(1)=3,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=（）. A.-3 B.0 C.3 D.2018【答案】C【解析】因为f(x)为（-∞，+∞）上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)且f(0)=0,又因为f(2-x)=f(x),所以f(x)=-f(x-2)=-[-f(x-4)]=f(x-4),所以f(x)是周期为4的周期函数，又f(1)=3,f(2)=f(2-2)=f(0)=0,所以f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-3,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=f(1)+f(2)=3.故选C。【变式】奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1,则f(8)+f(9)=【答案】1【解析】因为f(0)=0，f(-x)=-f(x),f(x+2)=f(-x+2),所以f(x+4)=f(-x)=-f(x),所以f(x+8)=f(x),T=8,故f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1.结论十三、两点型若函数y=f(x)的