新教材2023版高中数学第五章计数原理3组合问题第2课时组合的应用学生用书北师大版选择性必修第一册

第2课时组合的应用题型一无限制条件的组合问题例1现有10名学生，男生6人，女生4人．(1)要选2名男生去参加乒乓球赛，有多少种不同选法？(2)要选男、女生各2人参赛，有多少种不同选法？(3)要选2人去参赛，有多少种不同选法？方法归纳解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出的元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出的元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．跟踪训练1(1)有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有()A．70个B．80个C．82个D．84个(2)若7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)题型二有限制条件的组合问题角度1“至多”与“至少”问题例2(1)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片最多一张，不同取法的种数为()A．232B．252C．472D．484(2)现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查，至少有1件是次品的抽法有________种．方法归纳“至多”“至少”问题的常用解题方法有两种：(1)直接分类法，注意分类要细、要全；(2)间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．跟踪训练2从六位同学中选出四位参加一个座谈会，要求小张、小王两名同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为()A．9B．14C．12D．15角度2“含”与“不含”问题例3在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训，在下列条件下，各有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．方法归纳“含……”或“不含……”是组合应用的常见题型．其解法一般为直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把特殊元素去掉再取出，分步计数．必要时，还需对元素进行分类，对题目中的元素分类后，要弄清被取出的元素“含有”哪一类，“含有”多少个，或者对于某个特殊元素，被取出的元素中含不含这个特殊元素，这是解题的关键．当用直接法分类较多时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．跟踪训练3从6个人中选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有________种安排方法．题型三分配问题例4把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法．(1)甲2本、乙2本、丙2本；(2)甲1本、乙2本、丙3本；(3)甲4本、乙1本、丙1本．方法归纳对于不等分组，只需将元素按要求依次分配给每个对象即可．跟踪训练46名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A．120种B．90种C．60种D．30种易错辨析忽略元素无序，造成计数重复例55本不同的书全部分给4名同学，每名同学至少一本，不同的分法种数为________．解析：先把5本书分成4堆，然后分给4名同学．第1步，从5本书中任意取出2本捆绑成一个整体，有C计数原理知，不同的分法种数为C答案：240【易错警示】易错原因纠错心得解答此题时易得到如下错解：先从5本书中取4本分给4名同学，有A54种方法，剩下的1本书可以给任意一名同学，有4种分法，不同的分法种数为4该解题过程中出现了重复选取的情况．设5本书分别为a，b，c，d，e，4名同学分别为甲、乙、丙、丁．按照上述分法可能有如下的表1和表2：表1甲乙丙丁abcde表2甲乙丙丁ebcda表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书e给甲；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书a给甲．从结果上看以上两种情况是完全相同的，而在计数时把它们当成了不同的情况，造成重复计数．对于元素无序的分配问题，一般不能采用分步计数，而是采取先选后排的方法，即可避免重复计数．[课堂十分钟]1．若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有()A.A54种B．45种C．542．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有()A．140种B．120种C．35种D．34种3．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是()A．5040B．36C．18D．204．某书店有11种杂志，20元1本的有8种，10元1本的有3种．小张用100元钱买杂志(每种至多买1本，100元钱刚好用完)，则不同买法的种数为________．(用数字作答)5．有6名男医生、4名女医生，从中选3名男医生、2名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则共有多少种不同的分派方案？第2课时组合的应用题型探究·课堂解透例1解析：(1)从6名男生中选2人的组合数是C62＝(2)分两步完成，先从6名男生中选2人，再从4名女生中选2人，均为组合C62·(3)从10名学生中选2名的组合数C102＝跟踪训练1解析：(1)分两类分别求即可，共有C42C51+(2)第一步，安排周六有C所以不同的安排方案共有C73答案：(1)A(2)140例2解析：(1)方法一本题的解题关键是抓住有无红色卡片来讨论．若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C则有＝方法二从16张不同的卡片中任取3张，共有C16(2)方法一(直接法)分两类：第1类，抽出1件次品，抽法种数为C第由分类加法计数原理知，不同的抽法种数为C21×C8方法二(间接法)从10件产品中任取3件的抽法有C103答案：(1)C(2)64跟踪训练2解析：方法一(直接法)分两类：第1类，小张、小王两名同学都不参加，有C第根据分类加法计数原理，可得不同的选法种数为C4方法二(间接法)不同的选法种数为C64答案：A例3解析：(1)从中任取5人是组合问题，不同的选法种数为C125(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，不同的选法种数为C92(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需要从另外的9人中选5人，不同的选法种数为C95(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：第1步，从甲、乙、丙中选1人，有C第根据分步乘法计数原理，可得不同的选法种数为C3跟踪训练3解析：从6个人中选取1个人安排在第一天有C61＝6(种)方法，然后从余下的5个人中选取1个人安排在第二天有C51＝5(种)方法，再从剩余的4个人中选取2个人安排在第三天有C42＝6(种)方法，根据分步乘法计数原理知不同的安排方法有6×5×答案：180例4解析：(1)第一步，从6本不同的书中选2本书分配给甲，有C第二步，从剩下的第三步，剩下的根据分步乘法计数原理知，共有C62(2)第一步，从6本不同的书中选1本书分配给甲，有C第二步，从剩下的第三步，剩下的根据分步乘法计数原理知，共有C61(3)第一步，从6本不同的书中选4本书分配给甲，有C第二步，从剩下的第三步，剩下的根据分步乘法计数原理知，共有跟踪训练然后从其余最后剩下的故不同的安排方法共有答案：课堂十分钟1分配要求，故有答案：2．解析：不同的选法共