山东省淄博市2024届高三上学期摸底质量检测数学试题（解析版）

PAGEPAGE1山东省淄博市2024届高三上学期摸底质量检测数学试题一、单项选择题1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，即，则，解得，所以，，所以，从而.故选：D.2.已知复数z满足，则复数（）A2 B.4 C.8 D.16〖答案〗A〖解析〗设，则，所以，所以.故选：A.3.设随机变量，且，则（）A.0.75 B.0.5 C.0.3 D.0.25〖答案〗D〖解析〗随机变量，显然，而，所以.故选：D.4.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱与底面ABCD所成的角为，则该正四棱台的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，分别为上底面和下底面的中心，连接，则⊥底面，过点作⊥于点，则⊥底面，因为上、下底面边长分别为2和4，所以，故，，，由于，故，故该正四棱台的体积为.故选：B5.已知等边的边长为，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如下图构建平面直角坐标系，且，，，所以在以为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为，而，故，综上，只需求出定点与圆上点距离平方的范围即可，而圆心与的距离，故定点与圆上点的距离范围为，所以.故选：B.6.设为等差数列的前n项和，则“对，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗设等差数列的公差为，若对，，即，若，则，即为单调递增数列，又因为，所以，所以，即，所以“对，”是“”的充要条件.故选：C7.已知函数，的定义域都为，为的导函数，的定义域也为，且，，若为偶函数，则下列结论中一定成立的个数为（）①②③④A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗因为，，所以，所以关于点对称，所以，②成立；因为为偶函数，所以，所以，所以为奇函数，关于对称，即，因为，，所以，所以的周期为，因为，所以，①成立；因为，所以，又，所以，因为不能确定，③不一定成立；因为周期为，所以，④成立；综上，一定成立的有个.故选：.8.已知函数，则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得，令，，则函数的定义域为，其最小正周期为，，所以，函数的图象关于点对称，函数的定义域为，对任意的，，所以，函数的图象也关于点对称，因为函数、在上均为增函数，则函数在上也为增函数，如下图所示：由图可知，函数、的图象共有六个交点，其中这六个点满足三对点关于点对称，因此，直线与的图象的所有交点的横坐标之和为.故选：C.二、多项选择题9.函数，，且为偶函数，则下列说法正确的是（）A.B.图象的对称中心为，C.图象的对称轴为，D.的单调递减区间为，〖答案〗AB〖解析〗对于A，因为函数，且为偶函数，所以，即，又因为，所以，故A正确；对于B，，令，则，所以图象的对称中心为，，故B正确；对于C，令，得图象的对称轴为，故C错误；对于D，若，则，为单调递增区间，故D错误.故选：AB10.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为，平均数为;去掉的两个数据的方差为，平均数为﹔原样本数据的方差为，平均数为，若=，则下列说法正确的是（

）A.B.C.剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数D.剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数〖答案〗ABD〖解析〗A.剩下的28个样本数据的和为，去掉的两个数据和为，原样本数据和为，所以，因为=，所以，故A选项正确；B.设，，因为，所以，所以，所以，故B选项正确；C.剩下28个数据的中位数等于原样本数据的中位数，故C选项错误；D.，所以原数据的22%分位数为从小到大的第7个；，所以剩下28个数据的22%分位数为从小到大的第7个；因为去掉了最小值，则剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数，故D正确.故选：ABD.11.如图，多面体，底面为正方形，底面，，，动点在线段上，则下列说法正确的是（）A.多面体的外接球的表面积为B.的周长的最小值为C.线段长度的取值范围为D.与平面所成的角的正弦值最大为〖答案〗AC〖解析〗对于A，由题意可知，多面体可以放在如图所示的正方体当中，设中点为，则为多面体的外接球球心，所以多面体的外接球半径为，则多面体的外接球的表面积为，故A正确.对于B，的周长为，将如下图所示展开，当三点共线时，最小，由，则，所以，所以，在中，由余弦定理得，，所以，则的周长最小为，故B错误.对于C，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，，则，故C正确.对于D，由，所以，设平面法向量，由，令，则，则与平面所成角的正弦值为，因为，所以，当，即时，取得与平面所成角的正弦值的最大值，故D错误.故选：AC12.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.函数与函数有相同的极小值B.若方程有唯一实根，则a的取值范围为C.若方程有两个不同的实根，则D.当时，若，则成立〖答案〗ACD〖解析〗对于A，定义域，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，定义域，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，故A正确；对于B，若方程有唯一实根，由于当时，，且，结合已求的单调性和最值可知，或，故B错误；对于C，因为方程有两个不同的实根，假设，则，则，即，两式相减得，即，由对数均值不等式，则，即得证，故C正确；对于D，当时，若，则，即，显然，则，则成立，故D正确.故选：ACD下面补证C选项对数均值不等式：要证，即证，设，即证，即证，令，，则在单调递增，当时，得证.三、填空题13.将序号分别为1，2，3，4，5，6的六张参观券全部分给甲、乙等5人，每人至少一张，如果分给甲的两张参观券是连号，则不同分法共有________种．〖答案〗120〖解析〗由题意得，如果分给甲的两张参观券是连号，则有种分法，再将剩余的4张分给剩余4个人，有种分法，所以一共有种分法.故〖答案〗为：12014.已知圆，则直线与圆的位置关系是__________.〖答案〗相交〖解析〗因为表示圆的方程，所以，即.因为圆的圆心到直线的距离，所以直线与圆相交.故〖答案〗为：相交15.已知函数的部分图象如图所示，A，B分别为图象的最低点和最高点，过A，B作x轴的垂线分别交x轴于点，．将画有该图象的纸片沿着x轴折成120°的二面角，此时________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，如图所示，在平面内，作，且，连接，显然，四边形是矩形，为二面角的平面角，即，所以在中，由余弦定理得，，因为，所以，又因为，面，，所以面，因为面，，在直角中，故〖答案〗为：16.已知实数x，y满足，则的最小值为________．〖答案〗〖解析〗由题意得，，即求曲线上一点到距离最小值，又因为在直线上，所以当曲线与直线平行时，距离取得最小值，令，解得或（舍去），当时，点到直线距离为，即所求曲线上一点到距离最小值为.故〖答案〗为：四、解答题17.设函数，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.解：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到由题设知及可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得从而.根据得到，进一步求最小值.试题〖解析〗（Ⅰ）因为，所以由题设知，所以，.故，，又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以.因为，所以，当，即时，取得最小值.18.如图，AB是半球O的直径，，依次是底面上的两个三等分点，P是半球面上一点，且．（1）证明：；（2）若点在底面圆上的射影为中点，求直线与平面所成的角的正弦值．（1）证明：连接，因为依次是底面上的两个三等分点，所以四边形是菱形，设，则为中点，且，又因为，故是等边三角形，连接，则，又因为面，，所以面，因为面，所以，因为依次是底面上的两个三等分点，所以，所以，又因为AB是半球O的直径，P是半球面上一点，所以，因为面，，所以面，又因为面，所以（2）解：因为点在底面圆上的射影为中点，所以面，因为面，所以，又因为，所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以，设平面的法向量，则，令，则，设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为19.设锐角的内角所对的边分别为，已知.（1）求证：；（2）求的取值范围；（3）若，求面积的取值范围.（1）解：因为，由正弦定理得，所以，又因为为锐角三角形，可得，所以，可得，即.（2）解：因为，且为锐角三角形，且，可得，所以又因为，即，可得，所以，则，即的取值范围是.（3）解：由正弦定理得，所以，又由，可得，设在为单调递减函数，可得，所以，故的取值范围是.20.已知和均为等差数列，，，，记，，…，（n=1，2，3，…），其中，，，表示，，，这个数中最大的数．（1）计算，，，猜想数列的通项公式并证明；（2）设数列的前n项和为，若对任意恒成立，求偶数m的值．（1）解：设等差数列和的公差为、，那么，解得，∴，，那么，，，，猜想的通项公式为，当时，，所以数列关于单调递减，所以；（2）解：，所以，因对任意恒成立，所有，解得，所以．21.已知函数．（1）若时，恒有，求a的取值范围；（2）证明：当时，．（1）解：由若时，恒有，所以当时，恒成立，设，则令，则，显然在单调递增，故当时，，当时，，则对恒成立，则在单调递增，从而当时，，即在单调递增，所以当时，，符合题意；当时，，又因为，所以存在，使得，所以当时，，单调递减，，则单调递减，此时，不符合题意.综上所述，a的取值范围为（2）证明：要证当时，，即证，设，则，令，则单调递增，所以当时，，则单调递增，所以当时，，则当时，，即单调递增，所以当时，，原式得证22.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，根据以往甲、乙两名运动员对阵的比赛数据可知，若甲发球，甲得分的概率为，乙得分的概率为；若乙发球，乙得分的概率为，甲得分的概率为．规定第1回合是甲先发球．（1）求第3回合由甲发球的概率；（2）①设第i回合是甲发球的概率为，证明：是等比数列；②已知：若随机变量服从两点分布，且，，2，…，n，则．若第1回合是甲先发球，求甲、乙