26.1.2 反比例函数的图像和性质 课件 2023-2024学年人教版数学九年级下册

人教版数学九年级下册第二十六章反比例函数26.1.2反比例函数的图像和性质（第1课时）学习新知校园内有一块矩形草坪面积为200

m2，它的长y(单位:m)与宽x(单位:m)之间满足的函数关系是什么?当它的长y(单位:m)增加时，它的宽x(单位:m)将怎样变化?问题思考一、描点法画反比例函数图象x…-6-4-3-2-112346……-1-1.5-2-3-66321.51……-2-3-4-6-12126432…1.列表2.描点3.连线列表时取值不能太少，也不能只取正值强调描点时横、纵坐标易混淆连线时用平滑曲线，不能画成折线，因为自变量x不等于0，所以画函数图象时，不能将左右两个图象连接起来.xy01xy01●●●●●●●●●●●●●●●●●●

反比例函数图象画法步骤：列表描点连线注意①列表时，

x的值不能为零，但仍可以零为基础，左右均匀、对称地取值。②连线时把y轴右边各点与左边各点分别用光滑曲线顺次连接，切忌用折线。③两个分支合起来才是反比例函数图象。二、反比例函数

(k>0)的性质观察教材图26.1-2的函数图象，思考回答:(1)你能描述反比例函数图象的形状吗?(2)反比例函数图象无限延伸后与x轴、y轴有公共点吗?与函数解析式之间有什么关系?(因为自变量x、函数值y不能等于0，所以函数图象与x轴、y轴没有交点)(3)函数图象在哪个象限内?该图象关于原点O对称吗?(在第一、第三象限，关于原点O对称)(4)观察函数图象，当x<0时，随着x的增大，y如何变化?当x>0时呢?你能根据函数解析式说明理由吗?

(当x<0时，随着x的增大，y减小;当x>0时，随着x的增大，y也减小)共同归纳(1)反比例函数

(k>0)的图象是双曲线;(2)双曲线的两支分别位于第一、第三象限;(3)在每个象限内，y随着x的增大而减小;(4)两支双曲线向两边无限延伸，与坐标轴没有交点;(5)两支双曲线关于坐标原点成中心对称.三、反比例函数y=

(k<0)的图象与性质(1)反比例函数y=

(k<0)的图象是双曲线;(2)双曲线的两支分别位于第二、第四象限;(3)在每个象限内，y随着x的增大而增大;(4)双曲线两支向两边无限延伸，与坐标轴没有交点;(5)双曲线两支关于坐标原点成中心对称.四、归纳反比例函数

(k≠0)的图象与性质

一般地，反比例函数

(k≠0)的图象是双曲线，它具有以下性质:(3)反比例函数图象向两边无限延伸，与两坐标轴没有交点，两支双曲线关于原点成中心对称.(1)当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小;(2)当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大;【追加思考】(1)反比例函数图象的位置及函数的增减性是由谁决定的?(2)反比例函数的性质“在每个象限内，y随x的增大而减小”中，可不可以去掉“在每个象限内”?为什么?反比例函数

的图象大致是(

)(2)已知函数

中，用哪个代数式表示比例系数k?(k2+1表示比例系数k，决定函数图象的位置)(3)你能判断k2+1的正负吗?(因为k2≥0，所以k2+1>0)(4)你能确定函数图象的位置吗?(由k2+1>0得函数图象在第一、三象限)(5)自变量x的取值范围是什么?(自变量x的取值范围是x≠0)故选D.〔解析〕(1)反比例函数解析式

(k≠0)中，哪个量决定函数图象的位置?(比例系数k决定函数图象的位置)D若点(-2，y1)，(-1，y2)，(1，y3)在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是(

)

A.y1>y2>y3

B.y2>y1>y3

C.y3>y1>y2

D.y3>y2>y1〔解析〕

(1)已知三点的横、纵坐标分别是什么?(2)函数值y1，y2，y3与已知点的横坐标有什么关系?(点的横坐标和纵坐标满足函数解析式)(3)已知函数解析式和自变量的值，怎样求出对应的函数值?(把点的横坐标代入函数解析式求出对应的函数值)(4)你能分别求出y1，y2，y3的值吗?三者的大小关系是什么?(把x1=-2，x2=-1，x3=1分别代入函数解析式求出y1，y2，y3)(5)反比例函数

的图象及增减性是怎样的?(反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小)(6)你能根据函数增减性判断y1，y2，y3的大小关系吗?(第三象限图象上的点的纵坐标小于0，且y随x的增大而减小;第一象限图象上的点的纵坐标大于0)C解法1:把三个点的横坐标分别代入y=，得y1=-，y2=-1，y3=1，∴y3>y1>y2

.故选C.解法2:可以看出点(-2，y1)，(-1，y2)在同一象限，

∵k=1>0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，

∵-2<-1<0，∴y2<y1<0，又∵1>0，∴y3>0，∴y3>y1>y2

.故选C.

(1)反比例函数的图象是双曲线，它有两支，它的两个分支是断开的.[知识拓展](2)当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限;当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限.(3)反比例函数

(k≠0)的图象的两个分支关于原点成中心对称..(4)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是因为x≠0，y≠0.

(5)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线的位置或函数的增减性可以判断k的符号.(6)反比例函数的增减性必须强调“在每一个象限内”，当k>0时，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，但不能笼统地说:当k>0时，y随着x的增大而减小.同样，当k<0时，在每一个象限内，y随着x的增大而增大，也不能笼统地说:当k<0时，y随着x的增大而增大.课堂小结函数正比例函数反比例函数关系式

图象自变量的取值范围图象位置性质当k>0时，图象经过第一、第三象限当k<0时，图象经过第二、第四象限

当k>0时，图象位于第一、第三象限当k<0时，图象位于第二、第四象限

当k>0时，y随x的增大而增大当k<0时，y随x的增大而减小

当k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小当k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大

y=kx(k≠0)(k≠0)过原点的直线与坐标轴没有交点的双曲线全体实数x≠0的全体实数检测反馈1.当x>0时，函数

图象在(

)

A.第四象限B.第三象限

C.第二象限D.第一象限解析:∵反比例函数

中，k=-5<0，∴此函数的图象位于第二、四象限，当x>0时，函数的图象位于第四象限.故选A.A2.对于反比例函数

，下列说法正确的是(

)

A.图象经过点(1，-3)

B.图象在第二、四象限

C.x>0时，y随x的增大而增大

D.x<0时，y随x的增大而减小解析:∵反比例函数

，∴xy=3，故图象经过点(1，3)，故A错误;∵k>0，∴图象在第一、三象限，故B错误;∵k>0，∴x>0时，y随x的增大而减小，故C错误;∵k>0，∴x<0时，y随x的增大而减小，故D正确.故选D.D3.反比例函数

的图象如图所示，以下结论:

①

常数m<-1;

②在每个象限内，y随x的增大而增大;

③若A(-1，h)，B(2，k)在图象上，则h<k;

④若P(x，y)在图象上，则P'(-x，-y)也在图象上.其中正确的是(

)

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④解析:由图象在第一、三象限可得m>0，所以①错误;观察图象可得，在每个象限内，y随x的增大而减小，所以②错误;当x=-1时，y=h<0，当x=2时，y=k>0，所以h<k，所以③正确;反比例函数图象关于原点成中心对称，所以点P(x，y)关于原点的对称点为P'(-x，-y)，所以④正确.故选C.C4.设有反比例函数

，(x1，y1)，(x2，y2)为其图象上两点，若x1<0<x2，y1>y2，则k的取值范围是

.

解析:因为x1<0<x2时，y1>y2，所以双曲线在第二、四象限，则k+2<0，解得k<-2.故填k<-2.-25.已知反比例函数

(1)求m的值;

(2)它的图象位于哪些象限?

(3)当

≤x≤2时，求函数值y的取值范围.解:(1)依题意可得m2-5=-1，且m-2≠0，解得m=-2.

∴当m=-2时，函数是反比例函数.

(2)当m=-2时，代入函数解析式可得

.

∵k=-4<0，∴它的图象位于第二、第四象限.

(3)∵反比例函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大，且≤x≤2，

∴-8≤y≤-2.人教版数学九年级下册第二十六章反比例函数26.1.2反比例函数的图像和性质（第2课时）学习新知思考并回答下列问题.

1.判断点(1，2)是否在正比例函数y=2x的图象上，你是如何判定的?

问题思考(点在函数y=2x的图象上，将点的坐标代入函数解析式，满足函数解析式)2.判断点(3，2)，(2，3)是否在反比例函数

的图象上，点(-2，-3)，(-3，-2)呢?如何判定?（四个点都在反比例函数的图象上）(教材例3)已知反比例函数的图象经过点A(2，6).

(1)这个函数的图象位于哪些象限?y随x的增大如何变化?

(2)点B(3，4)，C

，D(2，5)是否在这个函数的图象上?解:(1)∵点A(2，6)在第一象限，

∴这个函数的图象位于第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.(2)设这个反比例函数的解析式为

，∵点A(2，6)在其图象上，∴点A的坐标满足

，即6=，解得k=12.∴这个反比例函数的解析式为y=.∵点B，C的坐标满足y=，而点D的坐标不满足y=，∴点B，C在函数y=的图象上，点D不在这个函数图象上.(教材例4)如图所示，它是反比例函数

图象的一支.根据图象，回答下列问题.

(1)图象的另一支位于哪个象限?常数m的取值范围是什么?

(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2).如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系?思考下列问题.

(1)反比例函数图象的两支有什么对称性?(反比例函数图象的两支关于原点成中心对称)(2)函数图象的一支位于哪个象限?(函数图象的一支在第一象限)(3)函数图象所在象限和解析式中的哪个量有关?(函数图象所在象限和解析式中的比例系数有关)(4)函数解析式中的比例系数用哪个式子表示?(比例系数k用式子m-5

表示)(5)在比例系数范围确定的情况下，在图象的另一支上，y随x的变化如何变化?(在图象的另一支上，y随x的增大而减小)解:(1)反比例函数的图象只有两种可能:位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限，因为这个函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.

∵这个函数图象位于第一、第三象限，

∴m-5>0，解得m>5.(2)∵m-5>0，∴在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小，

∴当x1>x2时，y1<y2.【追加思考】

(1)点A(x1，y1)和点B(x2，y2)一定在同一象限吗?有几种可能?

(2)能否分情况画出示意图，并确定y1与y2的大小关系?探究比例系数k的几何意义如图所示，点A在反比例函数

(x>0)的图象上，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，你能求出矩形OBAC的面积吗?

思考下列问题.(1)如何求图中矩形的面积?(2)矩形的两个邻边长与点A的坐标之间有什么关系?(3)点A在反比例函数图象上，它的横、纵坐标与比例系数3之间是否有等量关系?(4)你能求出矩形OBAC的面积吗?(5)求出的矩形面积与比例系数3之间有什么关系?【拓展思考】(1)若点A在反比例函数y=(x<0)的图象上，矩形的面积又是多少?它与比例系数之间有什么关系?(2)如图所示，若点A是反比例函数y=(k≠0)图象上任意一点呢?(3)若连接OA，则△AOB与△AOC的面积又是多少?【结论】

反比例函数y=(k≠0)中比例系数k的几何意义:S矩形ABOC=|x||y|=|k|，S△ABO=S△ACO=|k|.[知识拓展](1)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线的位置或函数的增减性可以判断k的符号.(2)过双曲线

(k≠0)上的任意一点P(x，y)作x轴、y轴的垂线，这一点与两个垂足、原点所构成的矩形的面积为S矩形=|k|;这一点与其中一垂足、原点所构成的三角形的面积为S△=|k|.检测反馈1.如图所示，点B在反比例函数

(x>0)的图象上，横坐标为1，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形OABC的面积为(

)

A.1

B.2

C.3

D.4解析:由反比例函数

(k≠0)中比例系数k的几何意义可得矩形OABC的面积为|k|=2.故选B.B2.如图所示，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数

的图象相交于点E(-1，2)，若y1>y2>0，则x的取值范围在数轴上表示正确的是(

)解析:∵正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于点E(-1，2)，∴根据图象可知当y1