重庆市2024届高三下册拔尖强基定时质量检测数学模拟试题（2月）附解析

重庆市2024届高三下学期拔尖强基定时质量检测数学模拟试题（2月）注意事项：1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，若，则实数组成的集合为（

）A． B． C． D．2．已知复数，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知，则（

）A． B． C． D．4．关于椭圆：，有下面四个命题：甲：长轴长为4；乙：短轴长为2；丙：离心率为；丁：右准线的方程为；如果只有一个假命题，则该命题是(

)A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．正多面体共有5种，统称为柏拉图体，它们分别是正四面体､正六面体（即正方体）､正八面体､正十二面体､正二十面体.连接正方体中相邻面的中心，可以得到另一个柏拉图体.已知该柏拉图体的体积为，则生成它的正方体的棱长为（

）A．2 B． C． D．46．下列说法正确的是（

）A．数据的方差是0.1，则有数据的方差为9B．将4名学生分配到2间宿舍，每间宿舍2人，则不同的分配方法共有种C．从4名男医生和5名女医生中选出3名医生组成一个医疗小分队，既有男医生又有女医生的组队方案共有种D．在回归直线方程中，相对于样本点的残差为7．已知函数则使不等式成立的实数x的取值范围为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.8．欧拉公式（本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（

）A．复数为纯虚数B．复数对应的点位于第二象限C．复数的共轭复数为D．复数在复平面内对应的点的轨迹是圆9．若实数a，b满足，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．10．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O，，其高为2，为圆O的内接三角形，且，P为圆上的动点，则（

）A．若平面，则三棱锥外接球的表面积为B．若，则C．三棱锥体积的最大值为D．点A到平面距离的最大值为11．已知函数，则下列说法正确的有（

）A．的周期为 B．关于点对称C．在上的最大值为 D．在上的所有零点之和为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.12．．13．某社区对在抗击疫情工作中表现突出的3位医生、2位护士和1位社区工作人员进行表彰并合影留念．现将这6人随机排成一排，则3位医生中有且只有2位相邻的概率为．14．已知，，点P在曲线上，则的最小值为.15．若对任意恒成立，则实数k的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．在矩形ABCD中，，点E是线段AD的中点，将△ABE沿BE折起到△PBE位置（如图），点F是线段CP的中点．(1)求证：DF∥平面PBE：(2)若二面角的大小为，求点A到平面PCD的距离．17．已知正项数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，证明：．18．某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：游客投球目标为由近及远设置的A，B，C三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进A桶，奖励游客面值20元的景区消费券；投进B桶，奖励游客面值60元的景区消费券；投进C桶，奖励游客面值90元的景区消费券；投不进则没有奖励.游客各次投球是否投进相互独立.(1)向A桶投球3次，每次投进的概率为p，记投进2次的概率为，求的最大值点；(2)游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由.19．在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB(1)若，求tanC的值：(2)已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且求△ABC的面积．20．在平面直角坐标系中，已知抛物线：和点.点在上，且.(1)求的方程；(2)若过点作两条直线，，与相交于，两点，与相交于，两点线段，中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，.证明：，且为定值.21．设函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)若在上单调递增，求.1．C【分析】若，所以或，解出的值，将的值代入集合，检验集合的元素满足互异性.【详解】因为，所以，解得，或，解得，当时，，，，满足题意.当时，，不满足集合的互异性.当时，，，若，满足题意.当时，，，若，满足题意.故选：C.2．A【分析】由求出即可得出.【详解】由，可得，解得或0，所以是的充分不必要条件.故选：A.3．B【分析】利用题目条件结合诱导公式即可得出答案.【详解】故选：B.4．B【分析】根据椭圆的性质将四个命题表示成与a、b、c的关系，根据数量关系即可判断其中的假命题．【详解】依题意，甲：；乙：；丙：；丁：；∵，∴甲丙丁真命题，故乙为假命题﹒故选：B﹒5．D【分析】设出棱长，根据体积即可求出.【详解】设正方体棱长为，可得该柏拉图体是由两个四棱锥构成，四棱锥的底面为边长为的正方形，高为，则柏拉图体的体积为，解得，∴.故选：D.6．D【分析】根据方差、残差以及分组分配的相关计算公式，逐个选项进行验证求解，即可得到答案.【详解】对于A，由已知得，，则对于，可得，，A错误；对于B，将4名学生分配到2间宿舍，每间宿舍2人，则不同分配方法有种，B错误；对于C，从4名男医生和5名女医生中选出3名医生组成一个医疗小分队，既有男医生又有女医生的组队方案共有种，而种，故C错误；对于D，残差，故D正确；故选：D7．C【分析】由函数定义得函数为奇函数，由导数确定函数在的单调性，从而得其在R上的单调性，然后由单调性解函数不等式后由对数函数性质得结论．【详解】因为，时，，因此时也有，即函数是奇函数，时，，，所以是减函数，所以奇函数在R上是减函数，又，所以，不等式为，所以，，故选：C．8．ABD【分析】根据纯虚数、共轭复数的定义，及复数的几何意义，对各选项逐一分析即可求解.【详解】解：对A：因为复数为纯虚数，故选项A正确；对B：复数，因为，所以复数对应的点为位于第二象限，B正确；对C：复数的共轭复数为，故选项C错误；对D：复数在复平面内对应的点为，因为，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选项D正确.故选：ABD.9．BCD【分析】根据给定条件，求出a，b的关系，再利用不等式性质判断A，B；指对数函数、幂函数单调性分析判断C，D作答.【详解】因，则，于是有，A不正确；，即，B正确；由得：，因此，，C正确；因，函数在R上单调递减，函数在上单调递增，则，D正确.故选：BCD10．ACD【分析】对于A，取的中点，根据题意得到为三棱锥外接球的球心，根据正弦定理和勾股定理求出球的半径即可得解；对于B，只能推出与在上底面内的射影垂直，推不出；对于C，求出的最大值即可求出三棱锥体积的最大值；对于D，根据C选项中的结果以及等体积法可求出点A到平面距离的最大值.【详解】对于A，取的中点，易得，则为三棱锥外接球的球心，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，所以三棱锥外接球的表面积为.故A正确；对于B，过过平面，垂足为，连，则，又因为，，所以平面，所以，只有当经过的中点时，才有，故B不正确；对于C，在中，由余弦定理得，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以，所以三棱锥体积的最大值为.故C正确；对于D，设点A到平面距离为，则，因为，所以，即点A到平面距离的最大值为，故D正确.故选：ACD11．BCD【分析】对A，根据正弦与正切的周期判断即可；对B，计算是否成立即可；对C，求导分析的单调性，进而求得上的最大值即可；对D，根据的对称性与单调性，数形结合分析即可【详解】对A，因为的周期为，的周期为，故的周期为，A错误；对B，因为，故关于点对称，B正确；对C，因为导函数在上为减函数，且当时，，即，故在上，，单调递增；在上，，单调递减.故；对D，分析在上的所有零点即图象交点的横坐标，又均关于对称，故分析时的图象即可.由C选项,在上单调递增；在上单调递减，又关于对称，在上，为减函数，故可画出在区间上的简图.故图象交点有三对关于的对称点，故零点和为,故D正确故选：BCD12．【分析】根据诱导公式可得，进而根据对数的运算性质及二倍角正弦公式化简即可求解.【详解】解：因为，所以，故答案为：.13．##【分析】由题意，先将2位护士和1位社区工作人员排成一排，然后将3位医生分成两组，一组2人一组1人，最后利用插空法即可得3位医生中有且只有2位相邻的排法，从而根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】解：由题意，先将2位护士和1位社区工作人员排成一排，有种排法，然后将3位医生分成两组，一组2人一组1人，有种分组方法，然后插入到2位护士和1位社区工作人员所排成的4个空中的2个空，有种插空方法，最后交换相邻2位医生的位置有种方法，所以3位医生中有且只有2位相邻共有种排法，又6人随机排成一排有种排法，所以所求概率为，故答案为：.14．##【分析】由题意得，点在以为圆心，半径为的下半圆上，计算并化简得，将表示为点到点的距离的平方，求解点到圆上任意点的最小距离，即可得答案.【详解】设，由题意，点在，即点在以为圆心，半径为的下半圆上，，其中表示为点到点的距离的平方，当点到点的距离最小时，取最小值，点到点的最小距离为，所以的最小值为.故答案为：【点睛】求解本题的关键是将转化为点到点的距离的平方减去，通过求解点到圆上任意点的最小距离，从而求解出的最小值.15．【分析】先证明结论，然后将对任意恒成立变形为恒成立，构造函数，利用结论求得，即可求得答案.【详解】先证明一个结论：，设，当时，递减，当时，递增，故，即；对于对任意恒成立，分离参数得恒成立，令，则，当且仅当时取等号，而是增函数，且，故存在,使得，故等号能够成立，故，故答案为：【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，解答时要注意分离参数，构造函数，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题,其中关键的地方是巧妙变形，利用结论求得函数的最值.16．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用线面平行的判定定理即得；（2）由题建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离的向量求法即得.【详解】（1）设PB的中点为G点，连接GF和GE，因为点G、点F分别为PB和PC的中点，所以且，又且，所以且，所以四边形GFDE为平行四边形，所以，又GE平面PBE，DF平面PBE，所以DF∥平面PBE；（2）由二面角的大小为可知，平面平面，取BE得中点O，连接，则，平面，如图建立空间直角坐标系，则，，所以，设平面PCD的法向量为，则，令则，又，所以点A到平面PCD的距离为.17．(1)(2)证明见解析【分析】（1）将题中条件转化，得到，之后利用累加法可求得答案；（2）由（1）可知，利用时，放缩，再根据裂项相消法即可得出证明．【详解】（1）由已知，即．又，故，即（且）．所以，当时，当时，．所以．（2）当时，．．法二：．.【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，在放缩时，注意的条件.18．(1)(2)游客甲选择向B桶投球更有利，理由见解析【分析】（1）根据二项分布的概率公式求得，利用导数求得最大值点p0；（2）求出游客分别投进A，B，C三桶纯收入的数学期望，再比较大小，进行决策.【详解】（1）3次向A桶投球投进2次的概率..令，得.当时，；当时，.∴在上单调递增，在上单调递减，∴所以的最大值点.（2）由（1）得游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为.设投进A桶的纯收入为X元，；设投进B桶的纯收入为Y元，；设投进C桶的纯收入为Z元，；因为，所以游客甲选择向B桶投球更有利.19．(1)或；(2).【分析】（1）利用同角关系式可得或sin，然后利用和角公式即得；（2）由题可得，利用角平分线定理及条件可得，进而可得，，即得.【详解】（1）因为，所以，解得或sin,当时，，，所以，；当时，因为，所以，又，所以．（2）∵，∴，，∴，即，∴，由角平分线定理可知，，又，所以，由，可得，∴，，所以．20．(1)(2)证明见解析【分析】（1）由已知，根据点坐标，借助可表示出点坐标，然后带入抛物线方程，即可完成方程的求解；（2）由已知，分别设出，，，四点坐标，然后利用坐标分别表示出和的方程，然后将点代入方程，从而得到等量关系，然后代入到斜率的表达式中即可证明.【详解】（1）由已知，，，则，代入抛物线可得：.（2）设，，，则：，整理得，代入，可知，则同理可得，则设，的中点分别为，，则，则则21．(1)在上单调递减，在上单调递增(2)【分析】（1）求得，设，得到，得到在上单调递增，得到在上单调递增，结合，即可求解；（2）令，利用导数求得，得到和，令，得出时，；，得到，分，，和，四种情况讨论，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）解：因为，可得