新教材2023版高中数学课时作业三十一离散型随机变量的方差湘教版选择性必修第二册

课时作业(三十一)离散型随机变量的方差练基础1.已知随机变量X的分布列为X012Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)则D(X)＝()A.eq\f(8,3)B．eq\f(5,3)C.eq\f(2,3)D．eq\f(1,3)2．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为X1(甲得分)012P(X1＝xi)0.20.50.3X2(乙得分)012P(X2＝xi)0.30.30.4现有一场比赛，派哪位运动员参加较好？()A．甲B．乙C．甲、乙均可D．无法确定3．已知随机变量X服从二项分布B(4，eq\f(1,2))，则D(3X＋1)＝________．4．在某公司的一次投标工作中，中标可以获利10万元，没有中标会损失成本费0.05万元，如果中标的概率是0.4，计算：(1)该公司赢利的方差D(X)；(2)该公司赢利的标准差．提能力5.已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差是1，那么另一组数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1，2x6－1的方差是()A．1B．2C．3D．46．(多选)设0<p<eq\f(1,2)，随机变量ξ的分布列如下表所示，则当p在(0，eq\f(1,2))内增大时()ξ012P1－2pppA.E(ξ)先减少后增大B.E(ξ)一直增大C.D(ξ)先增大后减小D.D(ξ)一直增大7．已知随机变量ξ的分布列如下：且E(ξ)＝eq\f(7,2)，则实数x＝________，若随机变量η＝2ξ－3，则D(η)＝________．ξ234Pxyeq\f(2,3)8.甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(3,4).(1)在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列；(2)求ξ的期望及标准差．9．某学校举行“百科知识”竞赛，每个班选派一位学生代表参加．某班经过层层选拔，李明和王华进入最后决赛，决赛方式如下：给定4个问题，假设李明能且只能对其中3个问题回答正确，王华对其中任意一个问题回答正确的概率均为eq\f(3,4).由李明和王华各自从中随机抽取2个问题进行回答，而且每个人对每个问题的回答均相互独立．设李明和王华回答问题正确的个数分别为X和Y，求X，Y的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)，并由此决策派谁代表该班参加竞赛更好．培优生10.已知ξ的分布列如下表：ξ012P？！？其中，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此计算，下列各式中：①E(ξ)＝1；②D(ξ)>1；③P(ξ＝0)≤eq\f(1,2)，正确的个数是()A.0B．1C.2D．311．已知A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列如下：X15%10%P0.60.4X22%8%12%P0.10.50.4(1)在A，B两个项目上各投资200万元，Y1和Y2(单位：万元)表示投资项目A和B所获得的利润，求D(Y1)和D(Y2)；(2)将x(0<x<200)万元投资A项目，(200－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差之和．则当x为何值时，f(x)取得最小值？课时作业(三十一)离散型随机变量的方差1．解析：由题意：E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,3)＝1，所以D(X)＝(0－1)2×eq\f(1,3)＋(1－1)2×eq\f(1,3)＋(2－1)2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案：C2．解析：E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝(－1.1)2×0.2＋(－0.1)2×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝(－1.1)2×0.3＋(－0.1)2×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)<D(X2)，即甲比乙得分稳定，选甲参加较好．答案：A3．解析：因为随机变量X服从二项分布B(4，eq\f(1,2))，所以D(X)＝np(1－p)＝4×eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,2))＝1，所以D(3X＋1)＝32×D(X)＝9.答案：94．解析：(1)∵在某公司的一次投标工作中，中标可以获利10万元，没有中标损失成本费0.05万元．如果中标的概率是0.4，公司的平均盈利为10×0.4＋(－0.05)×0.6＝3.97(万元)，所以公司盈利的方差：D(X)＝(10－3.97)2×0.4＋(－0.05－3.97)2×0.6＝24.2406；(2)公司盈利的标准差为eq\r(D（X）)＝eq\r(24.2406)≈4.923.5．解析：设Y＝2X－1，依题意得D(X)＝1，则D(Y)＝22D(X)＝4，即另一组数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1，2x6－1的方差是4.答案：D6．解析：由题，得E(ξ)＝3p，易知，当p在(0，eq\f(1,2))内增大时E(ξ)一直增大，D(ξ)＝(3p－0)2×(1－2p)＋(3p－1)2×p＋(3p－2)2×p＝－9p2＋5p＝－9(p－eq\f(5,18))2＋eq\f(25,36)，为关于p的二次函数，对称轴为p＝eq\f(5,18)，开口向下，所以当p在(0，eq\f(1,2))内增大时，D(ξ)先增大后减少．答案：BC7．解析：由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝\f(1,3),2x＋3y＋\f(8,3)＝\f(7,2)))，解得x＝y＝eq\f(1,6)，所以D(ξ)＝eq\f(1,6)×(eq\f(7,2)－2)2＋eq\f(1,6)×(eq\f(7,2)－3)2＋eq\f(2,3)×(eq\f(7,2)－4)2＝eq\f(7,12)，所以D(η)＝4D(ξ)＝4×eq\f(7,12)＝eq\f(7,3).答案：eq\f(1,6)eq\f(7,3)8．解析：(1)由题意，ξ可取0，1，2.P(ξ＝0)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)；P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(7,18)；P(ξ＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,2).故ξ的分布列为：ξ012Peq\f(1,9)eq\f(7,18)eq\f(1,2)(2)由(1)有E(ξ)＝0×eq\f(1,9)＋1×eq\f(7,18)＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(25,18)，D(ξ)＝(0－eq\f(25,18))2×eq\f(1,9)＋(1－eq\f(25,18))2×eq\f(7,18)＋(2－eq\f(25,18))2×eq\f(1,2)＝eq\f(149,324)，所以eq\r(D（ξ）)＝eq\f(\r(149),18).9．解析：由题意知：李明回答问题正确个数X所有可能的取值为1，2，∴P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)))＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)))＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，∴E(X)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，D(X)＝(1－eq\f(3,2))2×eq\f(1,2)＋(2－eq\f(3,2))2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)；∵王华回答问题正确的个数Y～B(2，eq\f(3,4))，∴E(Y)＝2×eq\f(3,4)＝eq\f(3,2)，D(Y)＝2×eq\f(3,4)×(1－eq\f(3,4))＝eq\f(3,8)；∵E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，∴派李明代表该班参加竞赛更好．10．解析：设“？”处的数据为x，则“！”处数据为1－2x，则0≤x≤eq\f(1,2)，故E(ξ)＝0×x＋1×(1－2x)＋2x＝1，∵E(ξ)＝1，∴D(ξ)＝x×(0－1)2＋(1－2x)(1－1)2＋x(2－1)2＝2x≤1，P(ξ＝0)＝x≤eq\f(1,2).答案：C11．解析：(1)依题意得：Y11020P0.60.4Y241624P0.10.50.4E(Y1)＝10×0.6＋20×0.4＝14，E(Y2)＝4×0.1＋16×0.5＋24×0.4＝18，D(Y1)＝(10－14)2×0.6＋(20－14)2×0.4＝24，D(Y2)＝(4－18)2×0.1＋(16－18)2×0.5＋(24－18)2×0.4＝36.(2)设投资A项目所获利润为Z1＝e