陕西省商洛市高三上学期12月第一次模拟检测试题数学（文）

商洛市2024届高三第一次模拟检测数学试卷（文科）考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2､请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A B. C. D.2.（）A. B.C. D.3.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（）A. B. C.或 D.或4.已知，则（）A. B.C. D.5.根据国家统计局发布的数据，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示，则下列说法错误的是（）A.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为B.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为C.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的极差为D.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为6已知，则（）A. B. C. D.7.已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率是（）A. B. C. D.8.已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知函数在上单调递增，则的最大值是（）A.0 B. C. D.310.已知某比赛在这4支队伍之间进行，且队伍有一名主力队员缺席，导致队伍无缘前2名，假设剩下的3支队伍的水平相当，则这2支队伍都进入前3名的概率是（）A. B. C. D.11.已知是直线与函数图象的两个相邻交点，若，则（）A4 B.4或8 C.2 D.2或1012.在正四棱台中，，点在底面内，且，则的轨迹长度是（）A. B. C. D.第II卷二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量、满足，则与的夹角为________．14.已知实数满足约束条件.，则最大值为__________.15.在正四面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是__________.16.过双曲线的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的左顶点为，则的离心率为__________.三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在等差数列中，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.18.镇安大板栗又称中国甘栗､东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数；（2）现采用分层抽样的方法从质量在和内的板栗中抽取5颗，再从这5颗板栗中随机抽取2颗，求抽取到的2颗板栗中至少有1颗的质量在内的概率.19.如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且为棱的中点.（1）证明：平面；（2）若，求点到平面的距离.20.已知点，动点满足，动点的轨迹记为.（1）求的方程；（2）过点直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值.21.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程，（2）证明：.（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知直线，在第一象限内，直线与曲线交于点，与直线交于点，求的值.[选修45：不等式选讲]（10分）23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范围.商洛市2024届高三第一次模拟检测数学试卷（文科）考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2､请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运用交集性质即可得.【详解】由，，则.故选：C.2.（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】运用复数除法计算即可得.【详解】.故选：B.3.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理，结合三角形的性质进行求解即可.【详解】由题意可得，则或.因为，所以，所以.故选：A4.已知，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的单调性判断a的范围，根据对数的运算性质以及对数函数性质判断的范围，即可得答案.【详解】因为为R上的单调减函数，为上的单调增函数，故，所以,故选:D5.根据国家统计局发布的数据，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示，则下列说法错误的是（）A.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为B.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为C.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的极差为D.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为【答案】C【解析】【分析】通过分析折线图，结合中位数、极差、平均数的概念和公式解答即可.【详解】对A，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速从小到大依次为，.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为，A正确.对B，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为，B正确.对C，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的极差为，C错误.对D，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为8.，D正确.故选：C.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式和同角三角函数的商数关系求得，再由二倍角的正切公式求解.【详解】因为,,所以，所以，则.故选：.7.已知抛物线，过点直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，由题意可得为的中点，然后利用中点坐标公式和斜率公式可求得结果.【详解】设，则，因为，所以为的中点，所以，故直线的斜率.故选：D8.已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在时，一次函数的值不小于二次函数的值，然后解不等式组可求得结果.【详解】因为是定义在上的增函数，所以，解得.故选：B9.已知函数在上单调递增，则的最大值是（）A.0 B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】结合导数，将在上单调递增转化为恒成立，再参变分离，转化为恒成立，即求出的最小值即可得.【详解】由题意可得，因为在上单调递增，所以恒成立，即恒成立，设，则，当0时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故，即.故选：A.10.已知某比赛在这4支队伍之间进行，且队伍有一名主力队员缺席，导致队伍无缘前2名，假设剩下的3支队伍的水平相当，则这2支队伍都进入前3名的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意列出所有符合题意排名情况，再选出这2支队伍都进入前3名的所有情况，即可得出结果.【详解】根据题意，由于队伍无缘前2名，所以这4支队伍按排名先后的情况有：，共12种，其中这2支队伍排在前3位的情况有：，共8种，故所求概率.故选：C11.已知是直线与函数图象的两个相邻交点，若，则（）A.4 B.4或8 C.2 D.2或10【答案】D【解析】【分析】因为的图象与直线的相邻交点的距离为或，占周期的比例为或，由此结合周期公式列式求解即可.【详解】设的最小正周期为，则或，即或，解得或.故选：D12.在正四棱台中，，点在底面内，且，则的轨迹长度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如图1，连接，作，垂足为，结合正四棱台的性质可证平面，根据已知条件求出，再结合可求得，而为定点，从而可得点的轨迹是以为圆心，为半径的弧，再分别作，可求出，再利用弧长公式可求得结果.【详解】如图1，连接，作，垂足为，因为四棱台为正四棱台，所以平面平面，因为平面平面，平面，所以平面.因为，所以，因为，所以.因为点在底面内，且，所以.以为圆心，为半径画圆，如图2，则是的轨迹.分别作，垂足分别为.由题意可得，在和中，，所以，所以，故的轨迹长度是.故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查立体几何中的轨迹问题，解题的关键是根据题意，从而可得点的轨迹是以为圆心，为半径的，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题.第II卷二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量、满足，则与的夹角为________．【答案】【解析】【分析】在等式两边平方，求出的值，结合向量夹角的取值范围可求得结果.【详解】由可得，得，所以，，，因此，.故答案为：.14.已知实数满足约束条件.，则的最大值为__________.【答案】4【解析】【分析】首先画出可行域，然后通过平移直线即可确定取最大值时经过的点，进而可得答案.【详解】画出可行域如下：因为，所以，将向上平移，经过点时，有最大值；即当直线经过点时，取得最大值，且最大值为.故答案为：4.15.在正四面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是__________.【答案】【解析】【分析】作辅助线，作出异面直线与所成角或其补角，求出相关线段的长，解三角形即可求得答案.【详解】如图，取线段的中点，连接.因为是棱的中点，则为的中位线，故，则是异面直线与所成角或其补角.正四面体中,设，由于是棱的中点，故，则，从而.在中，由余弦定理可得，由于异面直线所成角范围为大于等于小于，故异面直线与所成角的余弦值是，故答案为：16.过双曲线的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的左顶点为，则的离心率为__________.【答案】2【解析】【分析】利用数形结合的方法，找出之间的等量关系式，利用解方程的方法即可求出双曲线的离心率.【详解】设为坐标原点，的焦距为.过点作垂直于轴，垂足为.双曲线的渐近线方程为：，易得，所以，由可得，即，所以，得，所以，故.故答案为：2.三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在等差数列中，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程组，求得首项和公差，即得答案.（2）由（1）可得的表达式，确定数列为等比数列，即可求得答案.【小问1详解】设等差数列的公差为，由题意可得，解得故.【小问2详解】由（1）可得，则，从而.因为，所以是首项为2，公比为4的等比数列.由等比数列的前项和公式可得.18.镇安大板栗又称中国甘栗､东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数；（2）现采用分层抽样的方法从质量在和内的板栗中抽取5颗，再从这5颗板栗中随机抽取2颗，求抽取到的2颗板栗中至少有1颗的质量在内的概率.【答案】（1）57.5（2）.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图可求判断板栗质量的中位数在内，然后设该板栗园的板栗质量的中位数为，列方程可求得结果；（2）根据分层抽样的定义结频率分布直方图可求出从质量在和内的板栗中所抽取的数量，然后利用列举法可求得答案.【小问1详解】因为，所以该板栗园的板栗质量的中位数在内.设该板栗园的板栗质量的中位数为，则，解得，即该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5.【小问2详解】由题意可知采用分层抽样的方法从质量在内的板栗中抽取2颗，分别记为；从质量在内的板栗中抽取颗，分别记为.从这5颗板栗中随机抽取2颗的情况有，共10种，其中符合条件的情况有，共7种，故所求概率.19.如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且为棱的中点.（1）证明：平面；（2）若，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）借助三棱柱的性质与线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判断定理即可得；（2）借助等体积法求点面距.【小问1详解】由三棱柱的性质可知，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为为的中点，且是等边三角形，所以，因为、平面，且，所以平面；【小问2详解】因为，所以，则的面积，作，垂足为，有平面，所以，又因为、平面，，所以平面，因为是等边三角形，所以，则，因为平面，、平面，所以，，则，故的面积，设点到平面的距离为，则三棱锥的体积，因为，所以，所以.20.已知点，动点满足，动点的轨迹记为.（1）求的方程；（2）过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可确定椭圆的长轴长以及焦距，进而求得，即得答案.（2）首先设直线方程，联立椭圆方程，可得根与系数关系式，由此求得弦长，结合原点到直线的距离，即可求得面积表达式，然后换元，利用函数的单调性，即可求得答案.【小问1详解】因为，所以是以为焦点，且长轴长为4的椭圆.设的方程为，则，可得.又椭圆焦距为，所以，所以的方程为；【小问2详解】由题意可知直线的斜率不为0，设直线，联立，整理得，则，.由弦长公式可得.点到直线的距离，则的面积，设，则，因为，在上单调递增，此时，即时取等号，所以，所以，当且仅当时，，即面积最大值为.【点睛】方法点睛：求解面积的最大值，一般方法是要结合直线和椭圆方程，求出面积的表达式，进而利用基本不等式或者是结合函数单调性，求解最值.21.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程，（2）证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【