8.3.2独立性检验课件-高二下学期数学人教A版2019选择性

8.3.2独立性检验1.通过实例了解独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的基本思想，会用独立性检验解决简单的实际问题.

问题：在上节例1中，通过频率比较得到“两所学校学生的数学成绩优秀率存在差异”的结论，但由于数据的随机性，这一推断有可能是错误的.如何从概率的角度去研究两个分类变量X和Y是否有关联？设X和Y为定义在样本空间Ω上的两个分类变量，可设X，Y∈{0，1}.例： 我们希望判别的是性别是否影响学生的数学成绩，即事件{Y=1}和{X=1}或{X=0}之间是否有关联.用概率语言表示，就是判断下面的关系是否成立：H0：P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)知识点一：零假设考虑以Ω为样本空间的古典概型，设X和Y为定义在Ω上，取值于{0，1}的成对分类变量，判断事件{X=1}和{Y=1}之间是否有关联.即判断下面的假定关系H0：P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)是否成立,通常称H0为零假设或原假设. P(Y=1|X=0)表示从{X=0}中随机选取一个样本点，该样本点属于{X=0，Y=1}的概率；P(Y=1|X=1)表示从{X=1}中随机选取一个样本点,该样本点属于{X=1，Y=1}的概率.概念生成注意：{X=0}和{X=1},{Y=0}和{Y=1}都是互对立事件.由条件概率的定义可知，零假设H0等价于或P(X=0,Y=1)P(X=1)=P(X=1,Y=1)P(X=0)①因为{X=0}和{X=1}为对立事件，P(X=0)=1-P(X=1)所以P(X=0,Y=1)=P(Y=1)-P(X=1,Y=1),P(X=0,Y=1)=P(Y=1)-P(X=1,Y=1),①式等价于P(X=1)P(Y=1)=P(X=1,Y=1).因此，零假设H0等价于{X=0}和{X=1}独立.思考：请用条件概率的知识，分析零假设，给出分类变量X和Y独立的定义.知识点二：独立性检验{X=0}与{Y=0}独立;{X=0}与{Y=1}独立;{X=1}与{Y=0}独立;{X=1}与{Y=1}独立.根据已经学过的概率知识，下面的四条性质彼此等价:以上性质成立，分类变量X和Y独立，即下面四个等式成立：H0：分类变量X和Y独立.用概率语言,将零假设改述为P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0);P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1);P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0);P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1).②假定我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示.XY合计Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb+dn=a+b+c+d

对于随机样本，表中的频数a，b，c，d都是随机变量，而表中的相应数据是这些随机变量的一次观测结果.

(1)请根据分类变量X和Y独立的定义及等价条件，利用列联表中的数据，构造一个用于推断两个分类变量是否独立的统计量.事件{Y=0}和{Y=1}的频数事件{X=0}和{X=1}的频数n是样本容量事件{X=x，Y=y}(x，y=0，1)的频数 (2)如何基于②中的四个等式及列联表中的数据，构造适当的统计量，对成对分类变量X和Y是否相互独立作出推断

在零假设H0成立的条件下，根据频率稳定于概率的原理，由②中的第一个等式，用概率P(X=0)和P(Y=0)对应的频率的乘积估计概率P(X=0，Y=0),该频数的观测值a和期望值

应该比较接近.视为事件{X=0，Y=0}发生的频数的期望值(或预期值).而把

综合②中的四个式子,如果零假设H0成立,下面四个量的取值都不应该太大:

反之,当这些量的取值较大时,就可以推断H0不成立. 一般来说，若频数的期望值较大，则③中相应的差的绝对值也会较大；而若频数的期望值较小，则③中相应的差的绝对值也会较小.为了合理地平衡这种影响，作如下处理：化简得

④

基于小概率值α的检验规则：

用χ2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据，当它比较大时推断H0不成立，否则认为H0成立.这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.概念生成

当χ2≥xα时，推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2<xα时，没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立.χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828我们推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05；(2)当χ2<x0.05=3.841时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立.例如：对于小概率值α=0.05，我们有如下的具体检测规则：(1)当χ2≥x0.05=3.841时，

例1：采用简单随机抽样的方法抽取甲乙两校数学测试成绩，整理成2×2列联表，如表所示 解：零假设为H0：分类变量X与Y相互独立，即两校学生的数学成绩优秀率无差异.学校数学成绩合计不优秀(Y=0)优秀(Y=1)甲校(X=0)331043乙校(X=1)38745合计711788计算得：

上节例1没有考虑由样本随机性可能导致的错误，推断依据不太充分.

当我们接受零假设H0时，也可能犯错误.我们不知道犯这类错误的概率p的大小，但是知道，若α越大，则p越小

疗法疗效合计未治愈治愈甲155267乙66369合计21115136解：零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异.将所给数据进行整理，得到两种疗法治疗数据的列联表，根据列联表中的数据，经计算得到

不影响疗法疗效合计未治愈治愈甲155267乙66369合计21115136疗法疗效合计未治愈治愈乙66369甲155267合计21115136疗法疗效合计治愈未治愈甲521567乙63669合计11521136

例3：为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样，调查了9965人，得到如下结果(单位：人)依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险.解：零假设为H0：吸烟和患肺癌之间没有关系根据列联表中的数据，经计算得χ2=

根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001，即我们有99.9％的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”.吸烟肺癌合计非肺癌患者肺癌患者非吸烟者7775427817吸烟者2099492148合计9874919965根据表中的数据计算不吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为吸烟者中不患肺癌和患肺癌的评率分别为 可见，在被调查者中，吸烟者患肺癌的频率是不吸烟者患肺癌频率的4倍以上.于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为吸烟者患肺癌的概率明显大于不吸烟者患肺癌概率，即吸烟更容易引发肺癌.由通过频率分析吸烟对患肺癌影响的规律：

应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节：归纳总结

思考：独立性检验